对称问题经典例题

一、要点梳理

1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.

2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。

3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法

4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等

二、基础练习

1、已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为 ( )

A.(x ＋1)2＋y 2＝1

B.x 2＋y 2＝1

C.x 2＋(y ＋1)2＝1

D.x 2＋(y －1)2＝1 2、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线 ( )

A.关于x 轴对称但不关于y 轴对称

B.关于y 轴对称但不关于x 轴对称

C.关于原点对称

D.以上都不对 3、函数y ＝－e x 的图象 ( )

A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称

B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称

C.与x

y e -=的图象关于y 轴对称 D.与x

y e -=的图象关于坐标原点对称

4、曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为___________.

5、光线从点A （-3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点B （-2，6），求射入y 轴后的反射线的方程。

变式：已知直线l 1: x+my+5=0和直线l 2:x+ny+P=0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是( )

A 、

m =5 B 、p=-5 C 、m=-n 且p= -5 D 、

m 1

1-=且p=-5 6. 直线0632=-+y x 交x 、y 轴于A 、B 两点，试在直线x y -=上求一点P ，使B P A P 11+最小，则P 点的坐标是_______ 思考、已知函数3

21()3

f x x x x =

++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点1122(,),(,)M x y N x y ，且恒有12y y +为定值0y ，则0y 的值为（） A. 13-

B. 23-

C. 4

- D. 2- 7、已知点M （3，5），在直线：022=+-y x 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ ?的周长最小。

8、在直线:90l x y -+=上任取一点P ，过点P 且以椭圆22

1123

x y +=的焦点为焦点作椭圆。问：点P 在何处时，所作椭圆的长轴最短？并求具有最短长轴的椭圆的方程。

9、已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1

10、已知抛物线y =ax 2－1上存在关于直线x +y =0成轴对称的两点，试求实数a 的取值范围.

变式：已知椭圆方程为13

2=+y x ，

试确定实数m 的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线m x y +=4对称。

11、已知函数()ln

(01)1x

f x x x

=<<- （1）在函数)(x f y =的图象上是否存在一点（m ,n ），使得)(x f y =的图象关于（m,n ）对称？（2）令1()(

)2x g x f x +=+，是否存在这样的实数b ，使得任意的a ∈]3

,41[时，对任意的x ∈),0(+∞，不等式b ax x x g +->2)(恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由.

12、已知抛物线2:4C y x =，过M (m ,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点.

（Ⅰ）若m =3，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；

（Ⅱ）若0>m ，且存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求m 的取值范围.

（Ⅲ）若0

13、设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线2

2x y =上，l 是AB 的垂直平分线．

（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； (Ⅱ)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．

14、已知函数f （x ）=3

213

x x ax b -++的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2. (Ⅰ)求实数a,b 的值； (Ⅱ)设g （x ）=f(x)+

x -是[2,+∞]上的增函数。（i ）求实数m 的最大值；

(ii)当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。

参考解答：

1、C ；

2、C ；

3、D ；

4、（x －6）2+4（y －10）2=4；

5、解： A （-3，4）关于x 轴的对称点1A （-3，-4）在经x 轴反射的光线上；A 1（-3，-4）关于y 轴的对称点

2A （3，-4）在经过射入y 轴的反射的光线上，∴B A k 2=

6-=--+

∴所求直线方程为 )2(26+-=-x y ，即022=-+y x 变式、C ；6、(0,0)；思考、B ；解析：

323231111()(3311)(1)3333

f x x x x x x x x =

++=+++-=+- 311()(1)33f x x ∴+=+从而()f x 的图像关于定点1

(1,)3

--对称，

所以点P 为1(1,)3--，12012

2()33

y y y +==-=-

7、解：可求得点M 关于l 的对称点为1M （5，1），点M 关于y 轴的对称点为2M （-3，5），则

MPQ ?的周长就是12PM QP Q M ++，连12M M ，

则直线12M M 与y 轴及直线022=+-y x 的交点P 、Q 即为所求。

直线1M 2M 的方程为072=-+y x ，直线1M 2M 与y 轴的交点坐标为Q )2

,0(，由方程组??

?=-+=+-0

72022y x y x 得交点)49,25(P ，∴点)49,25(P 、Q )27

,0(即为所求。

8、略

9、解：设P 1B =x ，∠P 1P 0B =θ，则CP 1=1－x ，

∠P 1P 2C 、∠P 3P 2D 、∠AP 4P 3均为θ，∴tan θ=B P B

P 01=x .

又tan θ=21CP CP =2

1CP x -=x ，∴CP 2=x x -1=x 1

－1.

而tan θ=

P D

P 23=)11(23--x DP =x

DP 133-=x ，∴DP 3=x （3－x 1

）=3x －1. 又tan θ=

43AP AP =4)13(1AP x --=432AP x -=x ，∴AP 4=x x 32-=x

2－3.

依题设12x >5

.∴

21>tan θ>5

. 10、解法一：设抛物线上关于直线l 对称的两相异点为P

（x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），

设直线PQ 的方程为y =x +b ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组???-=+=1

ax y b x y ，

有两组不同的实数解，即得方程 ax 2－x －（1+b ）=0. ① 判别式Δ=1+4a （1+b ）＞0. ②

由①得x 0=

21x x +=a 21，y 0=x 0+b =a 21

+b . ∵M ∈l ，∴0=x 0+y 0=a 21+a

21+b ，即b =－a 1，代入②解得a ＞43

解法二：设同解法一，由题意得

21122

212

1212

1110.22

y ax y ax y y x x y y x x ?=-?=-??-=?-??+++=??，①

，

②，③④

将①②代入③④，并注意到a ≠0，x 1－x 2≠0，得

1222122112

x x a x x a a ?

+=???+=-+?

，

由二元均值不等式易得2（x 12+x 22）＞（x 1+x 2）2（x 1≠x 2）. 将⑤⑥代入上式得2（－

a +

a 2）＞（a 1）2，解得a ＞4

. 解法三：同解法二，由①－②，得y 1－y 2=a （x 1+x 2）（x 1－x 2）.

∵x 1－x 2≠0，∴a （x 1+x 2）=2

1x x y y --=1.

∴x 0=

21x x +=a 21

.∵M （x 0，y 0）∈l ， ∴y 0+x 0=0，即y 0=－x 0=－a 21，从而PQ 的中点M 的坐标为（a 21，－a

）.

∵M 在抛物线内部，∴a （

a 21）2

－（－a

21）－1＜0. 解得a ＞43.（舍去a ＜0，为什么?）

变式：解法一：该问题等价于存在直线n x y +-=4

，使得这直线与椭圆有两个不同的交点P 、Q ，线段PQ 的中点落在直线m x y +=4上。

由???

????+-==+n x y y x 4113422消去y 得0481681322=-+-n nx x ∵直线与椭圆有两个不同交点。

∴2

2130)4816(1346422<

<-?>-?-=?n n n ① 8n 241n

故PQ 中点为)13

12,134(n n M 又M 在直线m x y +=4上 ∴m n n +?=13441312，∴n m 13

4-= ② 由①②知13

213132<

m 解法二：设),(21y x A 、),(22y x B 是椭圆上关于直线m x y +=4对称的相异的两点，

AB 中点为),(00y x M 。则2211143x y +=,22

22143

x y +=,

由点差法得003x y =，代入004y x m =+解得，M 点坐标为)3,(m m --。而M 是AB 中点，∴M 点在椭圆内部。

∴139422<+m m 。解得13

213132<

<-m 。 11、【解析】（1）若存在一点（m ，n ），使得y =f (x )的图象关于点（m ，n ）对称，则f (x +m )+f (m －x )=2n

即22

ln ln ln

11(1)x m m x m x x m m x m x +--+=---+-- 当1,02m n =

=时f (x +m )+f (m －x )=2n 且1,02?? ???

在y=f(x)的图像上，所以在y=f(x)的图像上存在一点1,02?? ???，使得y=f(x)的图像关于1,02?? ?

对称。（2）g ()x =l n l x

x x x

=++-

++21121n ()1+x (x ＞－1), 构造函数F ()x =l n (),12

ax x x +-+

则(),1

21121122112112

?? ??

-+=+--++=-++='x a x ax x x ax ax ax x x F

因为a x ,0>∈]3

,41[所以,02,01>>+ax x

若0)(<'x F ，则x ∈)121,0()(),121,0(-∴-a x F a 在上是减函数；

若0)(>'x F ，则x ∈),121

()(),,121(+∞-∴+∞-a

x F a 在上是增函数；所以当)(,121x F a x 时-=取最小值，即)121()(min -=a F x F =ln 2)121(12121-++-a a a a =ln

14112121-+++-a a a a =ln a a

a +-4121

记=)(a h ln

a +-11,又,)21

(111111)1(2)(2222-=+-=++-?='a a h

因为

a 1∈[3，4]所以0)(>'a h ,即)(a h 在]3

1,41[上为增函数，所以432ln )41()(min -==h a h

所以若使b x F >)(恒成立，只需l b <4

2-n .

所以存在这样的实数a b 使得对,432ln -<∈]3

,41[，对任意的x ∈),0(+∞时，

不等式ln （1+x ）＞x-ax 2+b 恒成立.

12、（Ⅰ）解：由题意，直线l 的方程为3y x =-，由2

34y x y x

=-??

=? 得

21241202,6y y y y --=?=-=，故()()1,2,9,6A B -

以AB 为直径的圆的圆心为AB 中点()5,2

，半径为

=()()22

:5232x y ∴-+-=圆的方程为.

（Ⅱ）解：设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , (0)MB AM λλ=>.

则1122(,),(,)AM m x y MB x m y =--=-, 所以 2121

()

x m m x y y λλ-=-??

=-? ○1

因为点A , B 在抛物线C 上,

所以22

11224,4y x y x ==, ○

2 由○1○2，消去212,,x y y 得1x m λ=.

若此直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，则2||||||OM MB AM =?，

即2||||||

O M A M A M λ=?，所以22211[()]m x m y λ=-+，因为2114y x =，1x m λ=，所以22111

[()4]m

m x m x x =

-+，整理得2

211(34)0x m x m --+=， ○

3 因为存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，所以关于x 1的方程○3有正根，因为方程○3的两根之积为m 2>0, 所以只可能有两个正根，

所以222340

0m m ->??

>??，解得4m ≥.

故当4m ≥时，存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列. （Ⅲ）定点位N(-m ,0)。

13、解：（Ⅰ）B A FB FA l F ,||||?=?∈两点到抛物线的准线的距离相等．

∵抛物线的准线是x 轴的平行线，2121,,0,0y y y y 依题意≥≥不同时为0，

∴上述条件等价于;0))((21212

22121=-+?=?=x x x x x x y y

∵21x x ≠， ∴上述条件等价于 .021=+x x 即当且仅当021=+x x 时，l 经过抛物线的焦点F ．另解：（Ⅰ）∵抛物线22x y =，即41,22

=∴=

p y x ，∴焦点为1

(0,)8

F （1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x （2）直线l 的斜率存在时，设为k ，截距为b

即直线l ：y =kx +b 由已知得：

12121212221k b k y y x x y y x x ?++?=?+??-?=-?-?

221

212221212221

2222k b k x x x x x x x x ?++=?+????-?=-?-? 22121212212k b k x x x x x x +?+=?+?????

+=-??

2212

104b x x ?+=-+≥14b ?≥ 即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1

(0,)8

F 所以当且仅当

x x

+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F

（II ）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为b x y +=2；过点A 、B 的直线方程可写为m x y +-=2

，所以21,x x 满足方程,02122

=-+

m x x 得4

121-=+x x ； A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,0841>+=?m 即.32

>m 设AB 的中点N 的坐标为),(00y x ，则.16

21,81(2100210m m x y x x x +=+-=-=+=

由.32

321165165,41161,=->+=+-=+∈m b b m l N 于是得

即得l 在y 轴上截距的取值范围为（9）．

法二:y 1=2x 12, y 2=2x 22

, 相减得

121200121

2()4,4,2

y y x x x x x x -=+=-=-即 0011,84x y b =-=-+, 中点在抛物线内必2

009232

y x b >>

得 14、解：（Ⅰ）由2'()2f x x x a =-+及题设得'(0)3(0)2f f =??

=-?即3

2a b =??=-?

。

（Ⅱ）（ⅰ）由321()3231m g x x x x x =

-+-+- 得2

2'()23(1)

m g x x x x =-+--。 ()g x 是[2,)+∞上的增函数， '()g x ∴0≥在[2,)+∞上恒成立，

即2

230(1)m

x x x -+-

≥-在[2,)+∞上恒成立。

设2(1)x t -=。

[2,),[1,)x t ∈+∞∴∈+∞，即不等式20m

t t

≥在[1,)+∞上恒成立当0m ≤时，不等式20m

t t +-

≥在[1,)+∞上恒成立。当0m >时，设2m

y t t

=+-，[1,)t ∈+∞

因为2'10m y t =+>，所以函数2m

y t t

=+-在[1,)+∞上单调递增，因此min 3y m =-。

min 0,30y m ≥∴-≥，即3m ≤。又0m >，故03m <≤。

综上，m 的最大值为3。

（ⅱ）由（ⅰ）得3213()3231g x x x x x =-+-+-，其图像关于点1

(1,)3Q 成中心对称。证明如下：32

13()3231

g x x x x x =-+-+-

3213(2)(2)(2)3(2)2321g x x x x x ∴-=---+--+--32183

3331x x x x

=-+-++-

因此，2

()(2)3

g x g x +-=。

上式表明，若点(,)A x y 为函数()g x 在图像上的任意一点，则点2

(2,)3

B x y --也一定在函数()g x 的图像上。

而线段AB 中点恒为点1

(1,)3

Q ，由此即知函数()g x 的图像关于点Q 成中心对称。

《简单的轴对称图形》典型例题1(1)(答案)

《简单的轴对称图形》典型例题例1 想一想等边三角形的三个内角各是多少度，它有几条对称轴。例2 如图，已知ABC ?是等腰三角形，AC AB 、都是腰，DE 是AB 的垂直平分线，12=+CE BE 厘米，8=BC 厘米，求ABC ?的周长．例3 AC AB ABC =,:中在已知? _____ ,100)3(____,30)2(___ __,,70)1(00为则它的另外两内角分别若一角为为则它的另外两内角分别若一个角为则若=∠=∠=∠C B A ο 例 4 如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠110ACD ，求ABC ?各内角的度数.

例5 如下图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，用轴对称的性质证明：BE＝CE．例6如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数．

参考答案例1 分析：由等腰三角形的性质易知等边三角形三个内角相等都是60°，它有三条对称轴。解：三个内角都是60°，它有三条对称轴。说明：等边三角形是等腰三角形的特例，所以等腰三角形的性质对其都是适用的，在数学的学习时这样的情况是会经常出现的。例2 分析：本题依据线段垂直平分线的性质可以得到．解：DE Θ是AB 的垂直平分线 ∴BE AE = ∴12=+CE AE 厘米AC = ABC ?Θ是等腰三角形 ∴12==AC AB 厘米 ∴ABC ?的周长是3281212=++=++BC AC AB 厘米例3 分析：注意到题中所给的条件AB ＝AC ，得到三角形为等腰三角形。利用等腰三角形的性质对问题（1）可得οο55,55=∠=∠C B ；对问题（2）考虑到所给这个角可能是顶角也可能是底角；对问题（3）由三角形内角和为ο180可得此等腰三角形的顶角只能为ο100这一种情况。略解：（1）οο55,55=∠=∠C B （2）另外两内角分别为：οοοο120,30;75,75（3）οο40,40 说明：通过题目中的（2）、（3）渗透分类思想，训练思维的严密性。

八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题

第十三章《轴对称》一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系： 1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；

简单的轴对称图形练习习题

欢迎阅读页脚内容 A B C N O 图3 轴对称复习练习题1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______． 2．下列10个汉字：林上下目王?田天王显吕，其中不是轴对称图形的是______有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________． 3.如图，镜子中号码的实际号码是___________． 4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______． 5．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是． 6．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于 7 8的长915和6________________________．Ｄ．2.．三条角平分线的交点 345．如图3，已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（）A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 6．如图4所示,Rt △ABC 中∠C=90°,AB 的中垂线 DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（）A ．AC=AE=BE B ．AD=BD C ．CD=DE D ．AC=BD 7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o 8．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交 AC 于点E ，则△BEC 的周长为（）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 9．如图，AB ＝AC,BD ＝°，则∠ABD 的度数是（） A D E

轴对称整章知识点复习题含答案

m C A B P 图3 图2 m C A B 第十二章轴对称知识点总结我保证认真独立地完成今天的作业！签名：____________ 一、知识梳理 1、轴对称图形____________________ ____________________________ 这条直线叫做________________。互相重合的点叫做________________。轴对称_______________________________________________ _ 这条直线叫做________________。。互相重合的点叫做________________。。 2、轴对称图形与轴对称的区别与联系：区别________________________________________________。联系________________________________________________。 3、轴对称的性质： _______________________________________________。 _______________________________________________。 4、线段的垂直平分线定义： ________________________________________________ 如图2， ∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 5、线段的垂直平分线性质:_______________________________________________。如图3， ∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 6、等腰三角形定义:___________________________________________： 7、等腰三角形性质:___________________________________________： ___________________________________________： 8、等腰三角形判定。判定①。___________________________________________：判定②___________________________________________：

三年级轴对称图形练习题

三年级数学下册轴对称图形练习题一、填空。 1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（），折痕所在的直线叫做（）。 2、圆的对称轴有（）条，半圆形的对称轴有（）条。 3、在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）相等。 4、（）三角形有三条对称轴，（）三角形有一条对称轴。 5、正方形有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，等腰梯形有（）条对称轴。 6、如果把一个图形沿着一条直线折过来，直线两侧部分能够完全重合，那么这个图形就叫做___________，这条直线叫做________． 7、对称轴_______连结两个对称点之间的线段． 8、宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形，?请再写出三个这样的汉字：_________． 9、长方形有_____条对称轴，正方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴． 10、如图是一种常见的图案，这个图案有_____条对称轴，请在图上画出对称轴． 11、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 . 12、下列图形中是轴对称图形的在括号里画“√”。二、选择题。 1、下列英文字母中，是轴对称图形的是（） A、S B、H C、P D、Q 2、下列各种图形中，不是轴对称图形的是（） 3、下图是一些国家的国旗，其中是轴对称图形的有（） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 4、下列图形中：角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形，其中一定是轴对称图形的有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 5、下列图形中，对称轴最多的是（）。 A、等边三角形 B 、正方形 C 、圆 D、长方形 6、下面不是轴对称图形的是（）。 A、长方形 B、平行四边形 C、圆 D、半圆 7、要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用第（）种画法。8题）

轴对称知识点及对应例题(经典).

第十三章轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个 2．图中，轴对称图形的个数是【】 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点四、线段垂直平分线的性质 6．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。 7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，PB ＝PC ，连AP 并延长交BC 于D ，求证：AD 垂直平分 BC 8．如图,DE 是?ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC ＝8厘米，AB ＝10厘米，则?EBC 的周长为【】 A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米 C E B D A

七年级数学下册《轴对称图形典型例题》

轴对称图形典型例题例1 如下图，已知，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC， ∴∠P AB＝∠P AC（到角两边距离相等的点在这个角平分线上），∵∠APB＋∠P AB＝90°，∠APC＋∠P AC＝90°， ∴∠APB＝∠APC，在△PDB和△PDC中， ∴△PDB≌△PDC（SAS）， ∴∠BDP＝∠CDP．（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）注利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．

已知如下图（1），在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC．求证：∠A＋∠C＝180°．（1）证法一：过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，在Rt△EAD和Rt△FCD中，（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）， ∴∠C＝∠EAD， ∵∠EAD＋∠BAD＝180°， ∴∠A＋∠C＝180°．证法二：如下图（2），在BC上截取BE＝AB，连结DE，证明△ABD ≌△EBD可得．

证法三：如下图（3），延长BA到E，使BE＝BC，连结ED，以下同证法二．（3）注本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法．例3 已知，如下图，AD为△ABC的中线，且DE平分∠BDA交AB于E，DF 平分∠ADC交AC于F．求证：BE＋CF＞EF．证法一：在DA截取DN＝DB，连结NE、NF，则DN＝DC，在△BDE 和△NDE中，

第二章轴对称图形知识点归纳+典型例题+提优

2.1轴对称与轴对称图形姓名_______学号_______班级_______ 学习目标: 1.欣赏生活中的轴对称现象和轴对称图案,探索它们的共同特征,发展空间观念. 2.通过具体实例了解轴对称概念,了解轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形的区别和联系. 学习重点: 了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值. 学习难点: 能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念．学习过程: 一、创设情境观察如下的图案, 它们有什么共同的特征? 二、探索活动活动一折纸印墨迹问题1.你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？

问题2.两边墨迹的位置与折痕有什么关系？概念：把一个图形沿着___________________翻折，如果它能够与另一个图形__________，那么称这两个图形____________________对称,也称这两个图形成______________. 这条直线叫做________________，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点．如图，△ABC和△DEF关于直线MN对称，直线MN是对称轴，点A与点D、点B与点E、点C与点F都是关于直线MN的对称点. 活动二切藕制作成轴对称的两个截面联系实际，你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗？活动三

把_________图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是_______________，这条直线就是_____________. 请你找出图1-5中的各图的对称轴. 联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？活动五轴对称与轴对称图形的区别和联系三、课堂练习 1. 分别画出下列轴对称型字母的对称轴以及两对对称点. 2.画出下列各轴对称图形的对称轴.

典型的轴对称图形练习题(带答案)

1 一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形（位置？）；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ d ）个 A A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个（1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形，由于位置关系不确定，不能正确判定，错误；（2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误；（3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线，应该改为高所在的直线，故错误；（4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确． 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ c ）个 B ①、②不是轴对称图形；③长方形是轴对称图形；④等腰三角形是轴对称图形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 //3．∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，△P 1OP 2是（ c ）：∵P 为∠AOB 内部一点，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为P 1、P 2， ∴OP=OP 1=OP 2且∠P 1OP 2=2∠AOB=60°， ∴△OP 1P 2是等边三角形． A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形； C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形. 4．等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ c ）----证全等，等量代换. 等边△ABC 中，有∠ABC=∠C=60°，AB=BC ，BD=CE ∴△ABD ≌△BCE （SAS ） ∴∠BAD=∠CBE=∠PBD ∴∠APE=∠BAD +∠ABP=∠ABP+∠PBD =∠ABD =60° A ．45° B ．55° C ．60° D ．75° 5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则这个梯形较小的底角是（ c ）度. A 已知等腰梯形两底长AD=4cm ，BC=10cm ，面积为21cm 2，求出梯形的高为AE=3．而BC-AD=BE+CF=6，∴BE=3，由等腰梯形的性质即可求出梯形较小的底角为45°． A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则（ D ） A ．PA+P B ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定 7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ，（ C ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1 C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对 8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ， PD ⊥OA ，若PC=4 ，则PD=（C ）过点P 作PM ⊥OB 于M ，∵PC ∥OA ，∴∠COP=∠CPO=∠ POD=15°，∴∠BCP=30°，∴PM= A O P A E C B D

典型的轴对称图形练习习题(带答案

精心整理一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形； ②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂 2 ）3对称， B．顶 . 4与BE 相交于点P，则 ∠APE的度数是（） A．45°B．55° C．60°D．75°

5.等腰梯形两底长为4cm和10cm，面积为21cm2，则这个梯形较小的底角是（）度. A．45°B．30°C．60°D．90°6．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则 A． D． 7． C D 8 PC （ A．4B．3 C．2D．1 9．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（）

A．PQ＞5B．PQ≥5 C．PQ＜5D．PQ≤5 10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（） A．3cm或5cm B．3cm或7cm C．3cm D．5cm 11 12 13CD=4， 14 15AB=6，的周 1610且有一底角为 60°，则它的两底长分别为____________． 17．若D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，则∠BAC=____________．

18．△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________．三．解答题 19．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作两边20C， 21 22AC于E、 23ABP=结论．

参考答案第一章轴对称图形 1．A 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 1116．4、6 19202123＝AQ ，

人教版数学八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题(无答案)(最新整理)

第十三章《轴对称》（一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合, 那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。（二）轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

线段的垂直平分线经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（-x，y） 2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，-y）； (五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 y＝x 对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 y＝－x 对称的点的坐标是（－y，－x） (六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线 x＝m 对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线 y＝n 对称的点的坐标是（x，2n－y）；（七）等腰三角形等腰三角形性质：性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两

函数的对称性知识点讲解及典型习题分析

函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为 a b x2。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0 ）是它的对称中心，2kx是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，) 0,2 (k是它的对称中心。（11 ）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2 ( k是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。二、函数的对称性猜测：具体函数特殊的对称性猜测 ①一个函数一般是不会关于x轴对称，这是由函数定义决定的，因为一个x不会对应两个y的值。但一个曲线是可能关于x 轴对称的。例1、判断曲线xy42 ②函数关于y轴对称例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。 ③函数关于原点对称例3、判断函数xxysin3 ④函数关于y=x对称例4 、判断函数x y1 ⑤函数关于y=-x对称例5 、判断函数x y4 总结为：设（x,y）为原曲线图像上任一点，如果（x,-y）也在图像上，则该曲线关于x轴对称；如果（-x,y）也在图像上，则该曲线关于y轴对称；如果（-x,-y）也在图像上，则该曲线关于原点对称；如果（y,x）也在图像上，则该曲线关于y=x对称；如果（-y,-x）也在图像上，则该曲线关于y=-x轴对称。2、抽象函数的对称性猜测①轴对称例6、如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中间 2.5，从而该函数关于x=2.5对称）例7、如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的所有对称轴。（按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特殊的轴对称）例8、如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。（因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，所以x=k是它所有的对称轴，k∈Z）②中心对称例9、如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）

八年级数学上册轴对称图形经典例题含解析

《第2章轴对称图形》一、选择题 1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D． 2．一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（） A．B．C．D． 3．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（） A．11 B．16 C．17 D．16或17 4．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30° B．36° C．40° D．45° 5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（） A．10 B．7 C．5 D．4 6．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下面结论错误的是（）A．BF=EF B．DE=EF C．∠EFC=45°D．∠BEF=∠CBE 7．如图，在第1个△A 1BC中，∠B=30°，A 1 B=CB；在边A 1 B上任取一点D，延长CA 1 到A 2 ，使A 1 A 2 =A 1 D，得到第2个△A 1A 2 D；在边A 2 D上任取一点E，延长A 1 A 2 到A 3 ，使A 2 A 3 =A 2 E，得到第3个△A 2 A 3 E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n 为顶点的内角度数是（） A．（）n?75°B．（）n﹣1?65°C．（）n﹣1?75°D．（）n?85° 8．如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形 9．如图是P 1、P 2 、…、P 10 十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接P 1 P 2 、 P 1P 10 、P 9 P 10 、P 5 P 6 、P 6 P 7 ，判断小玉再连接下列哪一条线段后，所形成的图形不是轴对称图形？（） A．P 2P 3 B．P 4 P 5 C．P 7 P 8 D．P 8 P 9

高中数学选修1-1命题知识点、考点、典型例题

高二数学选修1－1知识点第一章：命题与逻辑结构知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ?，则p ?”.

6、四种命题的真假性：例题：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是偶数 C．真命题的个数一定是奇数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数答案（找作业答案--->>上魔方格）一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题，原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性， ∴真命题的若有事成对出现的，四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

轴对称图形经典练习题

文档轴对称图形练习题一、选择题 1．下列图形中，只有两条对称轴的是（） A ．正六边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．圆 2．如下左1图Rt 90ABC C BAC ∠∠o 在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如下左2图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为（）． A.8 m B.4 m C.2 m D.6 m 4．如下左3图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（）． A.90° B. 75° C.70° D. 60° 5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（）． A.直角三角形 B.长方形 C.等边三角形 D.等腰三角形 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（）． A ． 9 B ． 12 C ． 9或12 D ． 5 7．如下左1图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接 1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（）． A.4 B.5 C.6 D.7 8.如下左2图,∠BAC=110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC,则∠PAQ 的度数是( ) ． A .20° B . 40° C .50° D . 60° 9．如下左3图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样剪得的三角形中（）． A .AD DH AH ≠= B .AD DH AH == C .DH AD AH ≠= D .AD DH AH ≠≠ B M N P 1A P 2 O P M A N C Q P B N M D C H E B A F E D C B A

新人教版八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题

第十三章《轴对称》 (一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线) 3、对称点:折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤:找到关键点,画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。（二）轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称. 联系：１：都是折叠重合２;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。线段的垂直平分线经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

（或线段的中垂线) (２）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． (证明是必须有两个点)因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合. （四)用坐标表示轴对称１、点（x,y）关于ｘ轴对称的点的坐标为（，y） 2、点（ｘ,y)关于y轴对称的点的坐标为（x，）； (五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x,y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线ｙ＝ｘ对称的点的坐标是（y,x) 点P(x,y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线ｙ＝-ｘ对称的点的坐标是(-y，－x) (六）关于平行于坐标轴的直线对称点P(ｘ，ｙ)关于直线x＝ｍ对称的点的坐标是（２m-ｘ,y）；点P（x,y)关于直线y＝n对称的点的坐标是（x,2ｎ－y); （七)等腰三角形等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）２、等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. （八）等边三角形 1、定义：三条边都相等的三角形,叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。

八年级数学(上册)《轴对称图形》经典例题含解析

《第2 章轴对称图形》一、选择题 1 ．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（） A．B．C．D．

2 ．一张菱形纸片按如图1、图2 依次对折后，再按如图 3 打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案）是（ A．B．C．D．．已知等腰三角形的两边长分别为5 和6，则这个等腰三角形的周长为（）3 17或16 C ．17 D．16 ．A．11 B ．如图，在△ABC 中，AB=AC ，且 D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为（）4 A．30 °B．36 °C ．40 °D．45 ° 5 ．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E，BC=5 ，DE=2 ，则△BCE 的面积等于（） A．10 B．7C ．5D．4 ）6 ．如图，△ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB ，BE⊥AC ，AF ⊥BC ，则下面结论错误的是（

.... A ．BF=EFB．DE=EFC ．∠EFC= 45 °D．∠BEF=∠CBE 7 ．如图，在第1 个△A BC 中，∠B=30 °，AB=CB ；在边 A B 上任取一点D ，延长CA 到A ，21111

使 A A =A D ，得到第 2 个△A A D；在边 A D 上任取一点E，延长 A A 到A ，使A A =A E，211122221323 得到第 3 个△ A A E，?按此做法继续下去，则第n 个三角形中以 A 为顶点的内角度数是（）n23 n1n1nn﹣﹣．（ D ）°B．（）?75 °?65 °°?85 ）A ．（?75）．（C AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE （∠ACE ＜120 8 ．如图，在线段°），点P 与点M 分）别是线段BE 是（和AD 的中点，则△CPM A ．钝角三角形B．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形 9 ．如图是P 、P 、?、P 十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接PP、211012 所形成的图形P P、PP、P 、P P，判断小玉再连接下列哪一条线段后，P7691016105）（不是轴对称图形？

轴对称知识点典型例题复习

轴对称考点复习考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 ⑴轴对称图形：如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。 ⑵轴对称：对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做__________ 典例1．下列几何图形中，○ 1线段 ○2角 ○3直角三角形 ○4 半圆，其中一定是轴对称图形的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．图9-19中，轴对称图形的个数是（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_________的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________． [关于坐标轴对称] 点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是（x ，-y ）点P （x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标是（-x ，y ） [关于原点对称] 点P （x ，y ）关于原点对称的点的坐标是（-x ，-y ） [关于坐标轴夹角平分线对称] 点P （x ，y ）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x 对称的点的坐标是（y ，x ）点P （x ，y ）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x 对称的点的坐标是（-y ，-x ） [关于平行于坐标轴的直线对称] 点P （x ，y ）关于直线x=m 对称的点的坐标是（2m-x ，y ）；点P （x ，y ）关于直线y=n 对称的点的坐标是（x ，2n-y ）；典例：已知：△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示. （1）把△ABC 向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1（2）请画出△A1B1C1关于y 轴对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标.