概率论与数理统计--第三章解析

G
2e(2x y)dydx 2
0x
3
定义设X1, X2,, X n是定义在样本空间Ω上的n个随机变量 则 (X1, X2, , Xn ) 称为n维随机向量或n维随机变量 对于任意n个实数x1, x2, , xn ,函数
F(x1, x2, , xn ) P{X1 x1, X2 x2, , Xn xn}
第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 随机变量的独立性 第五节 两个随机变量的函数的分布
第一节 二维随机变量
定义 设X ,Y是定义在样本空间Ω上的两个随机变量, 则(X ,Y )称为二维随机向量或二维随机变量.
对于任意实数x, y,函数F(x, y) P{X x ,Y y} 称为二维随机变量(X ,Y)的分布函数,或称为随机 变量X和Y的联合分布函数.
xy
例2 设G是平面上的一个有界区域，其面积为A二维随 机变量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一个点 都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度为
C , (x, y) G
f
(x,
y)
0
,
其它
由概率的性质
f (x, y)dxdy 1
可得 C 1
A
故有
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y) G
如果二维随机变量(X ,Y )可能取的值(xi , yi )只有有限对 或可列无限对,则称(X,Y )是二维离散型随机变量.
记 P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1 , 2,
并称为二维离散型随机变量(X ,Y)的分布律 或称为随机变量X 和Y的联合分布律. 其中pij满足下列条件：
0 , 其它
如果一个二维随机变量(X ,Y)以上式为概率密度，
则称(X,Y )服从区域G上的均匀分布.
例3 设二维随机变量(X ,Y)具有概率密度
f
(x,
y)
2e(2x y) 0
, ,
x
0, y 其他
0
试求:(1)分布函数F(x, y) (2)P{X Y}
解（1）F(x, y) y
x
f (x, y)dxdy
FX (x) P{X x} P{X x,Y } F(x,)
其中 F(x,) lim F(x, y) y
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2) F(x2, y1) F(x1, y1).
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分布函数具有以下的基本性质：
（1）0 F(x, y) 1 ,且
对任意固定的y,F(, y) 0
对任意固定的x，F(x, ) 0
F(, ) 0 F(, ) 1
（1）pij 0
（2） pij 1 i1 j1
离散型随机变量X和Y , 它们的联合分布律可用下表表示：
x
y
x1
x2
...
xi
...
y1
p11
p21
...
pi1
...
y2
p12
p22
...
pi 2
...
...
...
...
...
...
...
yj
p1 j
p2 j
...
pij
...
...
...
...
...
概率密度f (x, y)具有以下性质：
（1） f (x, y) 0
（2）
f (x, y)dxdy 1
（3） 设G是平面xoy上的区域（, X ,Y）落在G内的概率为
P{(X ,Y ) G} f (x, y)dxdy
G
（4） 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有
2F(x, y) f (x, y)
若将二维随机变量(X ,Y)看成是平面上随机点(X ,Y)的 的坐标,则分布函数F(x, y)就表示随机点(X ,Y)落在以点 (x, y)为顶点的左下方的无限矩形域内的概率.
y (x,y)
o
x
这时,点(X ,Y)落入任一矩形
G {(x, y) x1 x x2, y1 y y2}
的概率,即可由概率的加法性质求得(如下图)
（2）F(x, y)是x或y的不减函数
（3）F(x 0, y) F(x, y), F(x, y 0) F(x, y) （4）对任意的(x1, y1), (x2, y2), x1 x2, y1 y2 有
F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1) 0
试求(X,Y )的分布律.
解 (X ,Y )可能取的值只有4对：(0,0), (0,1), (1,0)及(1,1),
按概率的乘法公式计算得：
P{X 0,Y 0} P{X 0}P{Y 0 X 0} 2 1 0.1
P{X 0,Y 1} 2 3 0.3
54
54
P{X 1,Y 0} 3 2 0.3
称为n维随机变量(X1, X2, , Xn )的分布函数或
随机变量X1, X2,, Xn的联合分布函数.
第二节 边缘分布
对于二维随机变量(X ,Y),随机变量X和Y各自的
分布函数称为(X ,Y)关于X和Y的边缘分布函数 记为FX (x), FY ( y) 若二维随机变量(X ,Y)的分布函数F(x, y)已知，则
...
...
它们的联合分布函数则由下面式子求出：
F(x , y) pi j xi x y j y
例1 一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次 品．每次从中取1件产品检验质量，不放回地抽取， 连续两次．
定义随机变量X和Y如下：
1 ，第一次取到次品 X 0 ，第一次取到正品
1 ，第二次取到次品 Y 0 ，第二次取到正品
y 0
x 2e(2x y)dxdy , x 0, y 0
0
0
, 其他.
即有
F(x, y)
(1 e2x )(1 e y ),
0
,
x 0, y 0 其他.
（2） 把位于XOY平面的直线y=x上方的区域记为G
于是 P{X Y} P{(x, y) G} f (x, y)dxdy
54
P{X 1,Y 1} 3 2 0.3
54
(X ,Y)的分布律用表格表示为：
设二维随机变量(X ,Y)的分布函数是F(X ,Y),如果存在 非负的函数f (x, y),使得对于任意的x, y有
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv
则称(X ,Y)是二维连续型随机变量 函数f (x, y)称为二维随机变量(X ,Y)的概率密度 或称为随机变量X 和Y的联合概率密度