最新人教版高中数学必修3第三章《随机数的含义与应用》课后训练2

课后训练

1．某人睡午觉醒来后，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待时间小于10 min 的概率是( )．

A ．

16 B ．12 C ．160 D ．172

2．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4

S

的概率是( )． A ．

14 B ．12 C ．34 D ．2

3

3．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于4

S

的概率是( )． A ．

14 B ．12 C ．916 D ．49 4．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为“x 2＋y 2＜1”，则P (A )为( )．

A ．

π4 B ．π

2

C ．π

D ．2π 5．(2011江西高考，理12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于

12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1

4

，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

6．一海豚在水池中自由游弋，水池为长40 m ，宽30 m 的长方形，则此海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率是________．

7．在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？

8．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2

＝0.

(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的面积．

参考答案

1. 答案：A

解析：醒来的时间可能为整点之间的任意时刻，所有随机事件结果的度量为60 min.事件“等待小于10 min ”的度量为10 min ，∴101606

P =＝

. 2. 答案：

C

解析：如图，在△ABC 中，在AB 上取点D ，使4AB BD =，则14h H =，此时1

4

DBC S S ∆＝.

在AB 边上取点P ，则所有的随机结果为AB 上的点，而使面积大于4

S

的点落在AD 上，

∴34

P =.

3. 答案：C

解析：在上题图中，过点D 作l ∥BC 交AC 于E 点．由上题知3

4AD AB =.而P 为△ABC 任意一点，则使4S PBC ∆＞

的点落在△ADE 中，∴22

916

ADE ABC

S

AD P S AB ∆∆===. 4. 答案：

A

解析：如图，集合S ＝{(x ，y )|－1≤x ，y ≤1}，则S 中每个元素与随机事件的结果一一对应．而事件A 所对应的事件(x ，y )与圆面x 2＋y 2＜1的点一一对应，∴()π4

P A ＝.

5. 答案：

1316

解析：记事件A ＝“打篮球”，则()2

21π14π116P A ⎛⎫⨯ ⎪

⎝⎭=⨯＝

.

记事件B ＝“在家看书”，则()()

221π1132π141616

P B P A ⎛⎫⨯ ⎪

⎝⎭-=-=⨯＝.

故313()=1(B)=11616

P B P --

=. 6. 答案：11

50

解析：海豚的嘴尖可随机地落在长方形ABCD 内的任意一点．海豚嘴尖离岸边不超过2 m ，即海豚嘴尖落在阴影部分．

∴()403040430411

403050

P A ⨯-(-)⨯(-)=⨯＝

.

7. 解：在圆上随机取两点可以看成先取一定点后，再随机地取另一点，如图中选取定

点B ，另一点E 在劣弧 CD

上时，|BE |＞|BC |.记事件A ＝“弦长超过内接等边三角形的边长”．由图形易知，劣弧 CD

的弧长是圆周长的13，所以由几何概型的概率公式得()1

3

P A ＝. 8. 解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax

＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .

(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．

事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为()93124

P A =＝. (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}． 构成事件A 的区域为

{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，

所以所求的概率为()2

132222323

P A ⨯-⨯=⨯＝.

9. 解：在平面直角坐标系中画出矩形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形

面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．

设事件A “随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．

S1 用计数器n 记录做了多少次投点试验，用计数器m 记录其中有多少次(x ，y )满足y ＜log 3x (即点落在阴影部分)．首先置n ＝0，m ＝0；

S2 用变换rand( )*3产生0～3之间的均匀随机数x 表示所投的点的横坐标；用变换rand( )产生0～1之间的均匀随机数y 表示所投的点的纵坐标；

S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足y ＜log 3x .如果是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1.如果不是，m 的值保持不变；

S4 表示随机试验次数的计数器n 的值加1，即n ＝n ＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．

程序结束后事件A 发生的频率

m

n

作为事件A 的概率的近似值． 设阴影部分的面积为S ，矩形的面积为3. 由几何概型计算公式得()3S P A ＝，所以3m S n =，3m S n

=.