实物期权的定价模型

pfu+(1-p)fd
就是衍生证券的预期收益。 可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期值按无风 险利率贴现的值
实物期权的二叉树模型
风险中性估值
股票的预期收益率一定等于无风险利率12％ 则有： 22p+18(1-p)=20e0.12×0.25 即 4p=20e0.12×0.25-18 得 p=0.6523 在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率为0.6523，价 值为零的概率为0.3477。因此，看涨期权的期望值为： 0.6523×1+0.3477×0=$0.6523 按无风险利率贴现得期权现在的价值： f=0.6523e-0.12×0.25 =0.633
实物期权的二叉树模型
一个应用
2、利用风险中性假设 根据风险中性假设分析方法,风险中性概率为: ｐ=[(1+ｒ)ｖ0-ｖ-]/(ｖ+-ｖ-)=0.556
1-ｐ=0.444而ｃ+=113.975,ｃ-=0
故期权价值为: ｃ=[ｐｃ++(1-ｐ)ｃ-]/(1+ｒ)=60.352万元
ｖ+=100(1+45%)(Ｐ/Ａ,15%,4)=413.975万元
ｖ-=100(1-45%)(Ｐ/Ａ,15%,4)=157.025万元 ｃ+=ｍａｘ(ｖ+-Ｉ,0)=113 975万元 ｃ-=ｍａｘ(ｖ--Ｉ,0)=0
实物期权的二叉树模型
一个应用
1、利用动态复制技术
V C V
布莱克-斯科尔斯期权定价模型

欧式看涨期权的价格可通过下式计算：
C S0 N (d1 ) Ke
2
rT
N (d 2 )

其中
ln(S0 K ) (r 2 )T d1 T

ln( K ) (r d2 T
S0
2
2
)T

看跌
P KerT N (d2 ) S0 N (d1)
正确使用布莱克－斯科尔斯公式必须注意其它几个参数的选择： (1)该模型中无风险利率必须是连续复利形式。 一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次,而ｒ要 求利率连续复利。 r0必须转化为ｒ方能代入上式计算。两者换算关系为:ｒ =ln(1+r0 )或r0 =er-1。 (2)期权有效期Ｔ应折合成年数来表示,即期权有效天数与一年365天的比 值。如果期权有效期为183天,则Ｔ=183/365=0.501。 (3)对波动率的计算。通常通过标的资产历史价格的波动情况进行估算。 基本计算方法为：先取该标的资产过往按时间顺序排好的n+1个历史价格（价 格之间的时间间隔应保持一致，如一天、一周、一月等）；


实物期权的二叉树模型

由三位教授提出的二叉树模型是一个重要的概率模型 定价理论,它同Ｂ-Ｓ模型在很多方面都十分相似,运用 这两个模型对期权定价的结果基本上一致。从逻辑原 理来看,二叉树定价模型可以说是Ｂ-Ｓ模型的逻辑基 础,虽然Ｂ-Ｓ模型是被较早提出。但Ｂ—Ｓ模型过于 抽象,且其中包括Ｐｉｎｄｙｃｋ所提出的项目未来受 益的不确定性服从几何布朗运动的假设,导致模型复杂 求解困难,成为实物期权推广中的最大障碍。而二叉树 定价模型直观易懂,优点有:①适用范围广;②应用方便, 仍保留ＮＰＶ法分析的外观形式;③易于理解,易列出 不确定性和或有决策的各种结果。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
K — 期权的执行价格；
Ｓ0 — 标的资产当前的市场价格； ｒ — 无风险连续年复利；
S0
σ — 标的资产的风险，以连续计算的年回报率的标准差来测度；
T
— 为离期满日的时间，以占一年的几分之几
Ｎ（· ）— 正态分布变量的累积概率分布函数。
布莱克—斯科尔斯期权定价模型





布莱克-斯科尔斯期权定价模型

应用 假定有个6个月期限（T=6）的股票看涨期权 需要定价。现行的股价（S）为100美元，股 票收益率的年度标准差（σ）为50%，期权的 协定价格（K）为100美元，无风险收益率（r） 为年率10%。请计算出期权价格。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型

计算过程如下： d1= [ln(100/100)+(0.1+0.5×0.25)×0.5] / (0.5×0.707) =0.318 d2= 0.318-0.5×0.707 = - 0.0355 查表可知： N(d1)=0.6236 N(d2)=0.4859 带入公式得到： C=100×0.6236-(100×0.4859)/(e0.1×0.5) =16.14元
4、借贷利率均相等，皆为无风险利率。 5、每一期之借贷利率(r)、上涨报酬率〔u)及下跌报酬率(d)均为己 知，且存在以下关系，否则将出现无风险套利机会。
u> 1且d<1
u>R>d，其中R= l +r
实物期权的二叉树模型
CRR模型估值方法 1）动态复制技术
动态复制技术是期权定价的核心思想,关键是寻找一个与所要评价的实际 资产或项目有相同风险特征的可交易证券,并用该证券与无风险债券的组 合复制出相应的实物期权的收益特征。动态复制技术就是把该项资产或 项目看作一项金融资产,用△份该资产或项目和价值为ｙ的无风险债券来 复制实物期权，设ｖ0为项目的当前的现金流入价值,ｖ+是项目成功的期 望现金流入价值,ｖ-是项目失败的期望现金流入价值,ｃ是项目的期权价 值,ｃ+是项目成功时的期权价值,ｃ-是项目失败时的期权价值,ｒ表示无 风险利率。 V C V
布莱克-斯科尔斯期权定价模型

布莱克-斯科尔斯模型假定期权的基础资产现货价格 的变动是一种随机的“布朗运动”(Brownian Motion)，其主要特点是：每一个小区内价格变动服 从正态分布，且不同的两个区间内的价格变动互相 独立。 Black—Scholes微分方程：

C C 1 2C 2 2 rf S S rC 2 t S 2 S
实物期权定价模型

实物期权定价模型的种类较多, 理论界和实务界尚未形成通用定 价模型,主要估值方法有三种。
目前实物期权定价的三类方法

偏微分法：
Black-Scholes模型。
（通过解析方法直接求解出，期望的表达式）

动态规划法：二叉树定价模型。
（使用数值方法求得期望）

模拟法：
蒙特卡罗模拟法。
（通过大量模拟的方法求期望）
可用风险中性概率替代真实概率。
实例分析
假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将 可能为$22或$18。假设股票三个月内不付红利。有效期
为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21。如何对该期权
进行估值？
实物期权的二叉树模型
风险中性估值
变量p可以解释为股票价格上升的概率，于是变量1—p就是股 票价格下降的概率。这样，
V C V V0 y C，V (1 r ) y C V (1 r ) y C
确定项目期权价值,代入数据计算得到:
△=0 444,ｙ=695229,从而ｃ=60.352万元 即该投资项目的期权价值(考虑进优先选择权)为60.35 万元




布莱克—斯科尔斯期权Biblioteka Baidu价模型

利用这一组数据计算n个连续复合收益率，计算公式为： r = ln[P(st)/P(st-1)] 上述公式表示对时间间隔内的收益取自然对数，得到连续复合的收益率； 计算上述n个收益率的样本标准差就得到了相应时间跨度的波动率，如果 时间跨度为周，便称为周收益波动率，如果时间跨度为月，便称为月收益波 动率，以此类推。但是，在布莱克－斯科尔斯公式的计算中，我们需要的是 年收益波动率，因此，需要将上述波动率转化为年收益波动率，转化的方法 是：利用下述等式进行计算 年波动率的平方 = 某期限收益波动率的平方×（ 1年中包含的期数）。
公司是否对该项目进行投资？
实物期权的二叉树模型
一个应用
该项目ＮＰＶ值 -300+100(Ｐ/Ａ,ｉ,4)=-15.4万元<0 根据传统判断规则,该项目不可行
实物期权的二叉树模型
一个应用
套用二叉树定价模型计算推迟起期权的价值模型中的几个份 量的价值如下: ｖ0=100(Ｐ/Ａ,15%,4)=285.5万元
实物期权的二叉树模型
CRR模型的基本假设
1、标的资产的未来价格只有上涨或下跌两种情况 2、标的资产的未来价格上涨或下跌的报酬率己知，且投资人能利用现
货市场及资金借贷市场，建立与期权报酬变动完全相同之对冲资产组
合 3、无摩擦之市场，亦即无交易成本、税负等，且证券可以无限分割
实物期权的二叉树模型
CRR模型的基本假设
实物期权的二叉树模型
一个应用
某公司研制出一项新技术,并获得专利,现准备将此技术应用于公 司一项新产品的生产 预计建立生产该新产品的设备需要投入Ｉ=300万元,产品投入市 场后每年可以产生税后现金流量100万元,项目可以在无竞争条件下 持续进行4年,经市场部门调研,该项目最大的不确定性来源于市场 对新产品的反应,估计产品未来现金流量波动率为45%。根据项目 的风险性质,公司期望投资回报率为15%,4年期国债利率为5%
实物期权的二叉树模型
计算过程----动态复制技术
在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。 假设无风险利率为年率12％。则该组合的现值应为： 4.5e-0.12×0.25=4.3674
股票现在的价格已知为$20。用f表示期权的价格。组合现在的 价值=有效期结束时的价值按无风险利率贴现
因此，由
20×0.25－f=4.3674
得 f=0.633 如果期权价格偏离0.633，则将存在套利机会
实物期权的二叉树模型
CRR模型估值方法
2)、风险中性估值 风险中性假设假定管理者对不确定性持风险中性态度,其核 心环节是构造出风险中性概率。期权定价属于无套利均衡分析 ,适合于风险中性假。风险中性假设的核心环节是构造出风险 中性概率ｐ和(1-ｐ),然后由公式ｃ=[ｐｃ+(1-ｐ)ｃ-]/(1+ｒ)得 出期权的当前价值,风险中性概率为:ｐ=[(1+ｒ)ｖ0-ｖ-]/(ｖ+ｖ-)和(1-ｐ),显然ｐ和(1-ｐ)并不是真实的概率。由于期权定价 属于无套利均衡分析,参与者的风险偏好不影响定价结果,所以
实物期权的二叉树模型
计算过程----动态复制技术
当股票价格从$20上升到$22时，该证券组合的总价值为22Δ1；当股票价格从$20下降到$18时，该证券组合的总价值为18Δ。 完全可以选取某个Δ值，使得该组合的终值对在上述两种情况下 是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。 由 22Δ—1=18Δ 得 Δ=0.25 因此，一个无风险的组合由0.25股股票和一个看涨期权空 头构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期 权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5
V0 y C，V (1 r ) y C V (1 r ) y C
实物期权的二叉树模型
实例分析
假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为 $22或$18。假设股票三个月内不付红利。有效期为3个月的欧式
看涨期权执行价格为$21。如何对该期权进行估值？
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
模型假设条件：
金融资产价格服从对数正态分布； 在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的 市场无摩擦，即不存在税收和交易成本； 金融资产在期权的有效期内无红利及其它利得； 该期权是欧式期权；
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
布莱克－斯科尔斯期权定价方法的基本思想是，衍生资 产的价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种不确定因 素的影响，二者遵循相同的维纳过程。如果通过建立一个 包含恰当的衍生资产头寸和标的资产头寸的资产组合，可 以消除维纳过程，标的资产头寸与衍生资产头寸的盈亏可 以相互抵消。由这样构成的资产组合为无风险的资产组合， 在不存在无风险套利机会的情况下，该资产组合的收益应 等于无风险利率，由此可以得到衍生资产价格的BlackScholes微分方程。
解决思路----动态复制技术
如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月 末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等于 无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成 本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出 期权的价格。 构造一个证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头头寸和 一个看涨期权的空头头寸。