北师大版九年级数学下册3.3 垂径定理课件

条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对
的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
错
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ ）
对 错 对
2.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且 AM=BM.
解：连接OM,过M作AB⊥OM， 交⊙O于A，B两点.
在⊙O中，直径CD⊥AB， ∴ AB =2AM，
△OMA是直角三角形.
C
A
M
└
B
O
在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6，
D
根据勾股定理，得： AO2 OM2 AM2，
AM ∴ AO2 OM2 102 62 8，
∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16.
例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线 上.你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
解:作OG⊥AB， ∵AG=BG,CG=DG， ∴AC=BD.
G
└
例3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ,点
O是 所在圆的圆心),其中CD=600m,E是 上一点,且
CD
OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.
CD
CD
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m. OE CD,
4.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定 正确的是（ ）
A．AE＝OE
．
C．OE＝ C1E
2
答案:B
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
5.（襄阳·中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm， OD＝4cm，则DC的长为（ ）
A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm 答案:D
OA = 10，则∠OCA = °，
OC =
.
90
6
O
5
A
┏
C8
ห้องสมุดไป่ตู้
B
O 10
A
C 16 B
【例题】
例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.
C
A
M
B
└
O
D
解：连接OA， ∵ CD = 20，
∴ AO = CO = 10.
∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧.
2.垂径定理及推论、圆的对称性. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
6.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，
则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm
B．7 cm
C．12 cm
D．17 cm或7 cm
答案：D
CN D
AM
B
O
C ND
O
A
B
M
图(1)
图(2)
【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.最常见的辅助线是 连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形， 利用勾股定理解决问题.
A
●M
B
●O
1.（上海·中考）如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足 分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.
【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6. 答案：6
2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12， ∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理, 得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
R 2 3002 R 902.
解这个方程,得R 545.
这段弯路的半径为545m.
C E
F D
O
【跟踪训练】
1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
3 垂径定理
1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性. 2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证 明.
点与圆的位置关系
点在圆外, 这个点到圆心的距离大于半径 点在圆上, 这个点到圆心的距离等于半径 点在圆内, 这个点到圆心的距离小于半径
A．19 答案:D
B．16
C．18
D．20
3．（烟台·中考）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的
中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论
①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤ 正确结论的个数是（ ）
AE 1 AB 2
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案:B
AC和BC重合, AD和BD重合. AC BC,AD BD.
C
AM
B
└
●O
D
定理：
垂直于 弦 的直径 平分这条弦， 并且平分弦所对的弧.
在⊙O中，直径CD⊥弦AB，
1
∴ AM = BM = AB，
2 AC BC，
C
A
M
B
O
AD BD.
D
定理：
C
A
M
┗
O
在⊙O中，直径CD平分弦AB
A B
O C
1.圆是轴对称图形吗？
是
2.它的对称轴是什么?
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线
3.你能找到多少条对称轴？
它有无数条对称轴.
●
O
圆的相关概念
弧、弦、直径
B
1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
A O
C
如：弧AB 记作 如：弦AB
大于半圆的弧叫做优弧，
D 小于半圆的弧叫做劣弧
如：优弧ADB 记作
ADB
２.连接圆上任意两点的线段叫做弦.
３.经过圆心的弦叫做直径.
AB注意： 直径是弦，但弦不一定是直径；
半圆是弧，但弧不一定是半圆； 半圆既不是劣弧，也不是优弧.
【问题】
AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
C
A
M└
●O
D
你能发现图中有哪些等量关系?与同
B
伴说说你的想法和理由.
小明发现图中有: ①CD是直径 ②CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④AC BC, ⑤AD BD.
理 由：
连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
B
∴ CD⊥AB
AC BC AD BD
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
结论：
平分 弦 （不是直径） 的直径 垂直于弦， 并且平分弦所对的弧
C
A
M
B
O
AC O
D
DB
【巩固练习】
1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，
OA = 5，则AC= ，O4C = .
3
2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16，