求解微分方程ppt课件

dM dt,
M
dt
ln M t C1 , M Ce t .
由条件 M(0) M0 得 C M0，所以 M (t ) M0e t . M
M0
铀的衰变规律
t
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例. 解初值问题
xydx ( x2 1) dy 0 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
Q(x) 0时称为一阶齐次线性微分方程。
dy P( x) y 0 dx
(2)
叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。
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一阶齐次线性方程(2)的解法
分离变量法
dy P( x)dx , y
ln y P( x)dx C1,
得方程(2)的通解 y Ce P( x)dx ,
(3)
这里 P( x)dx 表示P(x)的任一原函数。
第七章 微分方程
§ 1 微分方程的基本概念
1
例 一曲线通过点(1, 2)，且曲线上任意点切线
的斜率均等于切点横坐标的2倍 ，求这曲线的 方程。
例 列车在平直线路上以 20m /s 的速度行驶，
制动时列车获得加速度 0.4m /s2 。问开始制 动到停止需多少时间？这段时间列车又走了 多远？
2
微分方程的定义
注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。
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一阶非齐次线性方程(1)的解法
常数变易法，令
y(x) C(x)e P(x)dx.
y e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)dx
dx
C
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用常数变易法解非齐次方程的步骤： 1. 求出相应的齐次方程的通解； 2. 将通解中的任意常数C 变为函数C(x)，然后代入 非齐次方程求出C(x)。 3.非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解与 方程的任意一个特解之和。
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例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求曲线所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
y P
即 yy 2x 0 Q o x x
8
作业
(P298)：3(2)，5(2)，6。
(1)分析问题，建立微分方程并提出定解条件。 (2)求微分方程的通解。 (3)由定解条件定出任意常数，即求出特解。 (4)讨论所得解的性质和意义。
6
例 证明 x C1coskt C2sinkt 是方程
d2x dt 2
k
2
x
0
的通解(k 0),并求满足初始条件
x A, t0
的特解
dx 0
dt t0
4
说明：
(1) n阶微分方程的解中最多只能含有n个独立的任意 常数。
(2) 微分方程的通解不一定包含它的全部解。如方程
y
y
0的 通解y
1 (x
C )2
不包含特解
y
0。
4
(3) y(x0)= y0， y (x0)= y1 ，… 称为初始条件(或初值)。
带有初始条件的微分方程问题称为初值问题。
5
微分方程解决实际问题的步骤
9
§ 2 可分离变量的微分方程
10
一阶微分方程的一般形式： F(x, y, y’) 0,
或 y’ f(x, y),
或写成对称形式： P(x, y)dx Q(x, y)dy。
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一个一阶微分方程称为可分离变量的微分方程， 如果能把它写成形式
g(y)dy f(x)dx。
g(( x))( x)dx f ( x)dx ,
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例 解方程
dy
2y
5
( x 1)2 .
dx x 1
例. 求方程 y ' y cos x esin x 的通解.
例 求方程的通解 y y x2 x
27
作业
习题(315)：1(3)(9)，2(5)，6，7 (3) 。
28
§5 可降阶的 高阶微分方程
29
三种可降阶的高阶微分方程
一、 二、 三、
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
15
练习
16
作业
(P304)：1(1)(5)(7)(10)，2(2)，4，6。
17
§ 3 齐次方程
18
在一阶微分方程 y’ f(x, y)
中，如果 f(x, y)可以化为
f (x, y) ( y ) .
x 则该方程称为齐次方程。 如何求解？
若G(y)、F(x)分别是g(y)、 f(x)的原函数，得
G( y) F(x) C
12
例 求微分方程 dy 2xy的通解。
dx
例 解方程
dy
1 y2 .
dx 1 x2
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例 已知铀的衰变速度与含量M成正比(比例系数)。
若t 0时铀的含量为M0，求时刻t 时铀的含量M(t)。
解 由题设条件得微分方程 dM M ,
3
微分方程的解
定义 (1)对于微分方程 F ( x, y, y, , y(n) ) 0
设函数 y (x)在区间I 上有n阶连续导数，
如果在区间I 上满足
F ( x, ( x), ( x), , (n)( x)) 0, 则称y (x)是方程在区间I 上的一个解，其图形称 为积分曲线。
(2) n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解称 为它的通解；通解中确定了任意常数的解称为特解 。
19
例 解方程 y2 x2 dy xy dy .
dx dx 例. 解微分方程 y y tan y .
xx
例. 解微分方程
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作业
P309：1(1)(6)，2(3),3；
21
§4 一阶线性微分方程
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本节讨论一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x),
(1)
dx
Q(x) 0时称为一阶非齐次线性微分方程，
定义 含有未知函数的导数(或微分、偏导数)的函数
方程叫做微分方程，未知函数是一元函数叫做常微分 方程，未知函数是多元函数叫做偏微分方程；其中出 现的未知函数的导数(或微分、偏导数)的最高阶数叫 做该微分方程的阶。
n阶微分方程的一般形式： F ( x, y, y, , y(n) ) 0,
或 y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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y(n) f(x) 型 ——可逐次积分求得通解
积分一次 y(n1) f ( x)dx C1, 再积分一次 y(n2) dx f ( x)dx C1 x C2 ,
共积分n次，便得到含n个任意常数的通解：
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例 求 y’ ’’ e2x cosx 的通解。