振动的基本理论

x& = Aω cos(ωt + α) = Aω sin(ωt + α + π ) 2
&x& = − Aω 2 sin(ωt + α ) = Aω 2 sin(ωt + α +π)
（1-11） （1-12）
可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，却具有相同的频率。只不过在相位上，
速度和加速度分别超前位移 π 和π 。比较式(1-12)与（1-9），可得到加速度与位移有如下关系 2
第1章 振动的基本理论
周期运动的最简单形式是简谐振动。这种振动的表示方法及特点是描述其它振动形式的基础。 一般的周期振动可以借助傅里叶级数表示成一系列简谐振动的叠加，该过程称为谐波分析。非周期 振动则需要通过傅里叶积分作谐波分析。
1.1 振动激励函数
在振动理论中，首先遇到的是振动中的激励函数，由于振动激励函数种类繁多，下面只就常见 的几种振动激励函数进行简单介绍。
+
∞
(an
所示。通常将这个旋转矢量画成如图 1-4（b）所示。利用旋转矢量能直观形象地表示出上述位移、 速度和加速度之间的关系，如图 1-4（c）所示。
图 1-4 用旋转矢量表示简谐振动
3. 用复数表示简谐振动
简谐振动也可以用复数表示。记 j = − 1 ,复数
z = Ae j(ωt+α ) = A cos(ωt + α ) + j Asin(ωt + α )
可见，一个复指数函数可分解为实、虚两部分，即
Re[ f (t)] = eσt cosωt
3
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两者均为实函数。
Im[ f (t)] = eσt sin ωt
1.1.4 冲激函数与阶跃函数
数。连续周期函数可表示为
f ( t ) = f ( t + m T ),
m = 0, ±1, ±2, …
(1-1)
离散周期函数可表示为
f ( k ) = f ( k + m T ),
m = 0, ±1, ±2, … (1-2)
k 为离散值。
1.1.3 实函数与复函数
物理可实现的函数常常是时间 t（或 k）的函数（或序列），其在各时刻的函数（或序列）值为 实数，称为实函数。
1. 冲激函数
冲激函数也称单位脉冲(unit impulse)函数，用δ(t)表示，它具有以下性质
∫ δ(t) = 大0, t于≠任0 何给定值, 当t = 0时;
但有
∞
δ (t)dt = 1
−∞
(1-4)
并且
∫ δ(t) = t δ′(x) d x −∞
单位脉冲是一种极限脉冲，其物理意义可用图 1-1 来解释。该图说明，若将δ(t)看成是力函数，则δ(t) 是图(a)所示冲量为 1 的矩形脉冲在脉宽ε→0 时的冲击力的极限情况（图(b)）。δ(t)具有力的量纲。
复数 z 的实部和虚部可分别表示为
R e (z) = Acos(ωt + α ) Im (z) = Asin(ωt + α )
因此，简谐振动的位移 x 与它的复数表示 z 的关系可写为
由于
x = Im (z)
jπ
j=e 2,
− 1 = e jπ
6
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这两个简谐振动对应的旋转矢量分别是 A 1 、A 2 。由于 A 1 、
A 2 的角速度相等，旋转时它们之间的夹角( α 1 − α 2 )保持不
变，它们的合矢量 A 也必然以相同的角速度ω 作匀速转动，
如图 1-5 所示。由矢量的投影定理可知，合矢量 A 在 x 轴上的
投影等于其分矢量 A 1 、A 2 在同一轴上投影的代数和，于是
2. 单位阶跃函数
单位阶跃函数也称阶跃函数，用 ε(t) 表示，即
单位阶跃函数有以下特性：
0,
ε(t )
=
1 12,
,
t〈0 t =0 t〉0
（ห้องสมุดไป่ตู้）
∫ ∫ ∞ ε(t) y(t) d t =
∞
y(t) d t
−∞
0
（2）
∫ ∫ ∫ ∞ ε′(t) y(t) d t = − ∞ ε(t) y′(t) d t = − ∞ y′(t) d t = y(0)
∫ ∫ （1） ∞ pδ(t)dt = p ∞ δ(t)dt = p, p 为常数时；
−∞
−∞
∫ ∫ ∫ （2）它的傅里叶变换： F[δ (t)] = ∞ δ(t)e−jωt dt = ∞ δ(t)e−jω0dt = ∞ δ(t)dt = 1；这一特
−∞
−∞
−∞
性表明，单位脉冲激振力提供白谱；
∫ （3） ∞ y(t)δ(t − t′)dt = y(t′), 0 < t′ < ∞ −∞
A1 cosα1 + A2 cosα 2
（1-20）
即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频率与原来简谐振动的相同，其振幅和初
相角用式（1-20）确定。
2、两个不同频率振动的合成 有两个不同频率的简谐振动
7
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合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。
若ω 1 与ω 2 之比是无理数，则找不到这样一个周期。因此，其合成振动是非周期的。
若ω 1 ≅ ω 2 ，对于 A1 = A2 = A ，则有
x = x1 + x2 = A1 sinω 1t + A2 sinω 2t
= 2 A cos(ω 2 − ω 1 )t sin(ω 2 + ω 1 )t
2
2
令
ω
=
1 2
(ω 1
+
ω
2
)
,
上式可表示为
δω = ω2 − ω1
x = 2Acos δω t sin ωt 2
（1-21）
式中的正弦函数完成了几个循环后，余弦函数才能完成一个循环。这是一个频率为ω 的变幅振动，
振幅在 2A 与零之间缓慢地周期性变化。它的包络线由
A(t) = 2Acos δω t 2
函数（或序列）值为复数的函数称为复函数。最常用的是复指数函数。连续时间的复指数函数 可表示为
f (t) = est ，－∞＜t ＜∞
(1-3)
式中复变量 s = σ + jω ，σ 是 s 的实部，记作 Re[s],ω 是 s 的虚部，记作 Im[s]。根据欧拉公式，
上式可展开为
f (t) = e(σ + jω)t = eσt cos(ωt) + jeσt sin(ω t)
并且记 x = x1 + x2 ,则
x(t + T) = x1(t + T) + x2 (t + T) = x1 (t + mT1) + x2 (t + nT2 ) = x1 (t) + x2 (t) = x(t)
（E）
可见 T 就是 x1 与 x2 合成的周期。所以，当频率比为有理数时，可合成为周期振动，但不是简谐振动，
图 1-5 两个同频率的简谐振动合成
得出
x = A1 sin(ωt + α 1 ) + A2 sin(ωt + α 2 ) = A sin(ωt + α )
（1-19）
其中
A=A 1 +A 2
A = ( A1 sin α1 + A2 sin α 2 )2 + ( A1 cosα1 + A2 cosα 2 )2 α = arctan( A1 sin α1 + A2 sin α 2 )
1-3 描述了式（1-9）所示的运动，它可看 成是该图中左边半径为 A 的圆上一点沿圆
周作等角速度ω 的运动时在 x 轴上的投
影。
如果视 x 为位移，则简谐振动的速度 和加速度就是位移表达式（1-9）关于时间 t 的一阶和二阶导数，即
图 1-3 简谐振动的时间历程曲线 5
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1.3 周期振动的谐波分析
工程技术中，许多振动是非简谐的，但它们是周期性的。设周期振动 x(t)的周期是 T，则有
x(t) = x(t + nT)
n =1,2,3,……
（1-23）
根据傅里叶级数理论，任何一个周期函数如果满足狄里赫利（Dirichlet）条件，则可以展成傅氏
级数，即
∑ x(t )
=
a0 2
（1-14） (1-15)
用复数表示的简谐振动的速度加速度为
x&
=
Im
[jωA
e
j(ωt +α)
]
=
Im[
Aω
e
j(ωt +α+ π ) 2
]
式（1-14）也可写成
&x& = Im [− Aω2 e j(ωt+α) ] = I m [ Aω2 e j(ωt+α+π) ]
（1-16） （1-17）
z = A e jα e jωt = A e jωt
−∞
−∞
0
（3）
∫t −∞
ε(
x)
d
x
=
t0,,
t〈0 t〉0
3. 冲激函数与阶跃函数的关系 冲激函数与阶跃函数的关系为
∫ δ(t) = d ε(t) ， ε(t) = t δ(x) d x
dt
−∞
1.2 简谐振动
（1-6） （1-7） （1-8）
1.2.1 简谐振动的表示法
1. 用正弦函数表示简谐振动 用时间 t 的正弦（或余弦）函数表示的简谐振动。其一般表达式为
1.1.1 连续函数与离散函数
在连续时间范围内（－∞＜t ＜∞﹞有定义的函数称为连续时间函数，简称连续函数。 仅在一些离散的瞬间有定义的函数称为离散时间函数，简称离散函数。这里“离散”是指函数 的定义域—时间（或其它量）是离散的，它只取某些固定的值。
1.1.2 周期函数
周期函数是定义在（－∞，∞）区间，每隔一定时间 T（或整数 N），按相同规律重复变化的函
&x& = −ω 2 x
（1-13）
即简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是与位移相反，始终指向平衡位置。这是简谐振 动的重要特征。
2. 用旋转矢量表示简谐振动
在振动分析中，简谐振动可以用平面上的旋转矢量表示。旋转矢量 OM 的模为振幅 A，角速度
为圆频率ω ，任一瞬时 OM 在纵轴上的投影 ON 即为式（1-11）中的简谐振动表达式，如图 1-4（a）
（1-22）
确定。这种特殊的振动现象称为“拍”，或者说“拍”是一个具有慢变振幅的振动，其拍频为δω ，
运动波形如图 1-6 所示。拍的现象在实验测量频率中是很有用的。
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图 1-6“拍” 振波形
图 1-1 单位脉冲的物理解释
图 1-2 延时单位脉冲函数
工程应用中还定义了一种延时单位脉冲δ (t - t′)，其定义为
∫ δ(t − t′) = 大0, 当于t任≠何t′时指定值, 当t = t′时;
但有
∞ δ(t − t′)dt = 1
−∞
(1-5)
延时单位脉冲函数如图 1-2 所示。单位脉冲函数又称 Dirac delta 函数或简称 Dirac 函数。Dirac 函数 有以下特性：
x1 = A1 sinω 1t , x2 = A2 sinω 2 t
（A）
若ω 1 与ω 2 之比是有理数，即
式(B)经变换可写为
ω1 = m ω2 n
m 2π = n 2π
ω1
ω2
其中 2π ω1
和 2π ω2
分别是两个简谐振动的周期 T1 和 T2
，取
（B） （C）
T = mT1 = nT2
（D）
该式表明 Dirac 函数的抽样特性。 (4) 尺度变换特性。设 a 为常数，则有
∫∞ y(t)δ′(t) d t = − y′(0) −∞
∫ δ(at) = 1 δ(t) ∞ δ′(t) d t = 0
a
−∞
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（1-18）
式中
A = Aejα
是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信息。用复指数形式描述简谐振动将给运 算带来很多方便。
1.2.2 简谐振动的合成
1. 两个同频率振动的合成 有两个同频率的简谐振动
x1 = A1 sin(ωt + α 1 ) , x2 = A2 sin(ωt + α 2 )
x = A sin(ωt + α )
（1-9）
式中 A、α、 ω 分别称为振幅、初相位和圆频率，它们是表征简谐振动的三要素。 一次振动循环所需的时间 T 称为周期；单位时间内振动循环的次数 f 称为频率。它们与圆频率
的关系为
T
=
1 f
=
2π ω
,
f
=
1 T
=
ω 2π
（1-10）
其中，周期 T 的单位为秒（s），频率 f 的单位为赫兹（Hz），圆频率ω 的单位为弧度/秒（rad/s）。图