第1章质点力学(4-7)中南大学物理)

(d) 原子相互作用 势能曲线
势能曲线提供的信息 1、指出了质点在轨道上 任意位臵所具有的势能值。 2、势能曲线上任意一点的 斜率的负值，表示质点在该
处所受的保守力的大小 。
dE 即 ：Fr dr 曲线上升，斜率为正,表示Fr 沿r 的负方向; 曲线下降，斜率为负, 表示Fr 与r的方向相同; 曲线处在极大或极小值时，斜率为零,即Fr=0.表示质点处 于平衡状态。
到b 点所做的功与路径无关，而只与这两
点的位臵有关。可引入一个只与位臵有关 的函数. 把这个由位臵决定的函数定义为 势能(势能函数)，用Ep 表示。那么a点的 函数值减去b点的函数值所得的新函数就
a
是该保守力所做的功。即
式中Ep(a)
、 Ep(b) 分别为a、b两位臵对应的势能。
所以，保守力做功等于相应势能增量的负值。
3、势能曲线有极值时， 质点处于平衡位臵。 势能曲线取极小值的 平衡位臵是A点
势垒 势井
稳定平衡 势能曲线取极大值的 平衡位臵是B点 不稳定平衡
4、用势能曲线还可分析质点的运动范围.
当系统总机械能(E)为常量时，在势能曲线图上是一平行于横 坐标的直线。由于动能不能为负值，所以质点的势能Ep 不可能大 于总机械能E，因此从图中便可知道质点的运动范围.
三、动能
动能定理
vt
dS
b
1). 质点的动能及动能定理 : 质点的动能:
a
F
质点的动能定理: 质点受外力作用
运动状态变化
动能变化
末态动能
初态动能
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
外力做正功等于相应动能的增加； 外力做负功等于相应动能的减少。 功是质点动能变化的量度
过程量
状态量
动能定理确定了过程量与状态量的增量之间的关系.
（3）解题时,功能原理一般应用于质点系统, 而动能定理一般应用于单个物体.
2) 机械能守恒定律
那么，系统的机械能保持不变.
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保 持不变。 ——机械能守恒定律
例5 一质量为m=2kg的物体从静止开始，沿四分 之一的园弧从A滑到B。测得物体在B处的速度v=6m/s, 已知园弧的半径为R=4m。问：物体在下滑过程中 摩擦力做的功是多少？(见教材p76./1-19) 解： 物体在下滑过程中有摩擦力 和重力做功，改变物体的动能。
l
a a
解：选桌面为零势能点。
地球和物体组成的系统除受 重力外所受合外力为零。因此， 系统机械能守恒。
解: 由题意可知,质点在(xy)平面运动 所以有:
a
Y
b
O
X
做 功 与 路 径 有 关
(SI) 例2、质量为2kg的质点在力 的作用下，从静止出发，沿x轴正向作变速直线运 动。求前三秒内该力所作的功。
解：（一维运动可以用标量）
例3、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面， 忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功 是多少？ r 解：取地心为原点，建立如图示 a 的坐标 （引力与矢径方向相反） h F b R
b
b
1 W GMm 2 dr ra r 1 1 GMm r r b a
rb
rb r
dr
dr
M
m F
r
可见万有引力是保守力。
ra
a
弹力的功
弹簧 自然长度
F
.a .b
o
x
x
可见，弹性力也是保守力。
二、势能和势能曲线 1. 势能
b 在保守力的作用下，质点从a 运动，
6）功率
力在单位时间内所作的功
W 平均功率： P t
W dW 瞬 时 功 率 ： lim P t 0 t dt
所以，瞬时功率等于力与质点速度的标积
单位：瓦特 W
例1 作用在质点上的力为
在下列情况下,求质点从 处该力作的功： (1). 质点的运动轨道为抛物线 处运动到
(2). 质点的运动轨道为直线
重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
初态量
末态量
可见，重力是保守力。
引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M 所在处为原点, M 指向 m 的方向为矢径的正方向。 m受的引力方向与矢径方向相反。
W F dr a F dr F dr cos Fdr
1） 恒力的功


定义: 功等于力与位移的标积。
功在直角坐标系中：
F = F(x) i + F(y) j + F(z) k dr = dx i + d y j + dz k dW = F . dr = F(x) dx + F(y) dy + F(z) dz
W = F . dr
= F(x) dx + F(y) dy + F(z) dz
联立上述两式，得:
v
2m1 m2 gh kh m1 m2
2

2 1

2
其实，此题也可用牛顿运动定律求解。 (1)研究的对象是滑块1与滑块2. 其受力图如下示。并建立以 滑块1运动方向为正的坐标系。 N F a m1 m1 g T m2 g f F’
A y
m2
(2) 对它们分别 列方程:
m1 g T sin F m1a F f m2a f m2 g , T kx F F
其中
h2 h y 2 h x
sin h y h h y
2 2
x为弹簧的伸长量
y为m1从A点下滑的距离
联立解之得：
1-4 动能定理
机械能守恒定律
本次课要求掌握内容： 1、如何求解变力所做的功？ 2、什么是保守力？保守力做功有什么特点？ 3、什么叫势能函数？如何确定质点在某一位臵所具有 势能的大小？势能与保守力有什么关系？ 4、 何谓质点系的动能定理？它与质点系的功能原理 由什么区别？ 5、机械能守恒定律？
一、功 功率
2) 变力的功
b
a
即 功等于力沿路径的线积分。是力的空间积累。 在国际单位制中，功的单位是焦耳J。 微分形式
3）功的几何意义：
a b
o
s
功在数值上等于 ( F s ) 图曲线下的面积。
4) 合力的功
某质点同时受 的作用,则合力的功为:
结论：合力对物体所做的功等于其中各个分力分别 对该物体所做功的代数和。
注意：1、功是过程量，与路径有关。
2、功是标量，但有正负。 3、合力的功为各分力的功的代数和。
5) 质点系内力做功之和
设 m1、m2 组成一个封闭系 统 dr1 m1 这一对内力在dt 时间内所做的功为: dr2
F1 F2
r12 r2
dr12
m2
r1
o
dr dr1 2
（ dr12 0 内力 做功之和不为零） 注意：在经典力学中，两质点的相对位移 dr12 不随参考系改变。
质点在某点所受的保守力等 于相应势能梯度的负值。
3、势能曲线
势能曲线: 势能随 位臵变化的曲线.
Ep
Ep
几种典型的 势能曲线:
（a）重力势能曲线
O
(a)
h
x O (b)
E P ( h ) mgh
Ep O r
Ep r0
O
（b）弹性势能曲线 （c）引力势能曲线
（d）原子相互作用 势能曲线 (c)
r
功能原理与质点动能定理比较：
（1）它们的表达式中，各质点的速度都必须是相对于 同一参照系的. （2）功能原理是指: 外力与非保守内力对系统所做的 总功等于系统机械能的增量. (此时成对的保守内力 所做的功已为势能的变化取代) 而动能定理则指: 合外力对质点所做的功等于 质点动能的增量.(此时作用在质点上的力都是外力)
保守力做正功等于相应势能的减少； 保守力做负功等于相应势能的增加。 但上式只定义了势能的差，为了确定势能的值就需 选定一参考点为势能零点（如b点），即
那么，任意点(如a点）的势能：
因此，某一处的势能大小等于保守力将质点从该 点移动到零势能点时保守力所做的功。 因此，势能只具有相对意义。
几种典型的保守力的势能公式： 重力势能（以地面为零势能点）
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根据动能定理有：
1 2 即 ： W f mv 0 WG 2 2 而 WG mg dr mg cos Rd mgR 0 1 W f 2 6 2 2 9.8 4) 42.4( J ) 2
负号表示摩擦力做负功。
解：系统只有保守内力做功，所以机械能守恒 GMm m Ea 0 （选无穷远处为零势点 a ） 2R R GMm 1 b Eb mv 2 R 2 地球 R 由机械能守恒定律：
GMm GMm 1 mv 2 + 0 = R +2 2R GM v = R
M
例8 一链条，总长为l ，放在光滑的桌 面上，其中一端下垂，长度为a，如图所示。 假定开始时链条静止。求链条刚刚离开桌边 时的速度。
2）质点系的动能定理
质点系统的动能
因为 已证明了系统内力 做功之和为 所以质点系中的内力 做功之和不为零. 因此 质点系的动能定理: 合力对质点系所做的总功等于质点系总动能的增量。
四、 机械能守恒定律
1) 质点系的功能原理 质点系的动能定理
令系统的机械能为：
质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统非保守 内力的功的总和等于其机械能的增量。 称为功能原理
o
（此时作功与路径无关）
7）保守力做功
保守力与非保守力
某些力对质点做功的大小只与质点的始末位臵有关，
而与路径无关。这种力称为保守力。或定义为：质点
在某力的作用下沿任意一闭合回路运动一周做功为零。
即： 这种力就是保守力。
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力.
与保守力相对应的是耗散力（非保守力）。
典型的耗散力： 摩擦力
F

dl B Fl l
dEP F d l F cos dl Fl dl
Fl dE p dl
保守力沿某一给定的 l 方向的分力等于
此保守力相应的势能函数沿l 方向的空间变化率。
一般说来，势能是位臵的函数，若用EP ( x,y,z) 表示。那么，
勃勒算符 （微分矢量算符）
解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长h 为弹性势能零点.在这个系统中滑块2与 桌面间的摩擦力为非保守内力。 则由功能原理，有
1 1 2 m2 gh ( m1 m2 )v [m1 gh k ( l )2 ] 2 2 式中l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则
l AC BC ( 2 1)h
2

v
2m1 m2 gh kh m1 m2

2 1

2
与方法1结果一致。实际上功能原理是由牛顿运动定律 导出的，只是运用功能原理解题时不需考虑中间变化过 程。因而，运用功能原理解题比运用牛顿运动定律解题 方便得多。
例7 设地球半径为R 。一质量为m的 物体，从静止开始在距地面 R 处自由下落。 求：它到达地球表面时的速度。
弹性势能（以弹簧原长为零势能点）
引力势能（以无穷远为零势能点）
注意：
1、只有保守力的系统，才可引入相应的势能。
2、计算势能必须规定零势能参考点。
3、势能仅有相对意义，它与零势点的选取有关。
4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的， 不为单个物体所具有。
2. 势能与保守力的关系
势能是保守力对路径的线积分 保守力所做元功 A
m1 g kx sin m2 g a m1 m2
m1 g kx sin m2 g 即： dy vdv m1 m2
两边积分得
h m g m g 1 2 2 v 1 dy 0 2 m1 m 2
k m1 m 2

h
0
h y h 2 h y 2 h dy h2 h y 2
例6 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、 轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如
下图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于
水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为，最初m1静止
于A点，AB＝BC＝h，绳已拉直，现令滑块m1落下,求
它下落到B处时的速率．(见教材p76./1-21)
例4 有一保守力 F = (-Ax＋Bx2)i，沿 x 轴作用于质点上，式中A、B 为常量，x 以m 计，F 以 N计。 （1）取 x =0 时EP = 0，试计算质点在任意 位置处所具有的势能； （2）求质点从x = 2m运动到 x =3m时势 能的变化。
解：由题意可知，此质点在保守力作用下只 沿x 轴运动，因此有：