简谐振动与波动的时空对称性运用

简谐振动与波动的时空对称性运用
泰州市高港实验学校 蒋长春 225323
物理现象及物理过程往往存在与之对应的另一面，这种互相对应构成了一个和谐的统一体，这就是物理学中的对称性。
平面简谐波在空间里，沿着任何方向平移一个波长，平移后的图象与原图象完全重合，这种操作可继续下去，这就是空间平移对称；简谐波中各个质点的振动在时间上，提早或延期一个周期，提早或延期后各个质点的振动情况与原来完全相同，这是时间平移对称。同时这种时间平移与空间平移也具有对称性，即在时间上简谐振动每经过一个周期，空间上波就向前传播一个波长的距离，简谐振动的相位就落后2。它们之间的关系为

由上式可得
（1）
（2）
（1）（2）两式表示，沿着波的传播方向，空间上相距的两个质点，后一质点完成前一质点完全相同的振动情况时间差为，两质点做简谐振动的相位差为。利用（1）（2）两式可以方便我们分析和处理有关简谐振动和波动问题。现列举几例与大家共议。
例1 如图1所示，分别为一列简谐横波在某一时刻的图象和x=6cm处质点从该时刻开始计时的振动图象，设这列简谐横波上x=2.5cm处的质点为A。
（1）画出从该时刻起质点A的振动图象；
（2）求从该时刻起，质点A第一次到平衡位置且向下振动需要多长时间。










解析 由x=6cm处质点从该时刻开始计时的振动图象可知，零时刻该质点向上振动，则这列简谐横波的传播方向为沿－x方向，s，则；由波动图象可知cm。
由于波的传播方向为沿－x方向，根据惠更斯原理可设x=6cm处质点为波源，其振动方程为
cm
x=2.5cm处的质点A与x=6cm处质点相距△x=3.5cm，根据（2）式，质点A的振动相对于x=6cm的处质点相位落后，由此可得质点A的振动方程为
cm
根据A点的振动方程画出其振动图象如图2所示。







由A点的振动图象可知，从该时刻起质点A第一次到平衡位置且向下振动需要的时间为t=0.075s。
该题如果只求从该时刻起，质点A第一次到平衡位置且向下振动需要的时间，而不要求画出其振动图象，就可以直接根据（1）式求出。由图2中的波形图可知，该时刻距离质点A最近的在平衡位置且向下振动的质点在x=10cm处，两者相距△x/=7.5cm，根据（1）式，质点A要完成在x=10cm处的质点完全相同的振动情况时间上就落后至少s。当然，求出了质点A振动的初相也可根据"参考圆"求解，s=0.075s。
例2 如图3所示，甲、乙两图分别表示一

列横波上相距3m的两个质点A和B的振动图象，已知波长为3m＜＜12m，设质点P距离B质点m且在A、B之间，求从t=0开始，经过0.75s，质点P通过的路程。









解析 由振动图象可知A=2cm、T=0.6s，。由题意，AB间的距离不到一个波长，由振动图象考虑到t=0时，A质点在波峰、质点B在平衡位置向上振动这个条件，可见
若该波由A向B传播，则，得m，显然不合题意。
所以该波的传播方向是由B向A，则，得m。








由题意PB之间的距离x=m，由（2）式可知P质点振动相位落后B质点，根据惠更斯原理可设质点B为波源，其振动方程为， cm，则P质点的振动方程为
cm



考虑到，即，结合"参考圆"分析，可得这段时间内质点P通过的路程为cm
从该题的结果不难看出做简谐振动的质点经过1个周期，质点经过的路程是4A；经过个周期，质点经过的路程是2A；经过个周期，质点经过的路程却不一定是A，可能大于A，也可能小于A，只有当质点从平衡位置或位移最大处开始计时，经过个周期，质点经过的路程才是A。
例3 如图4所示，实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经1s后，其波形如图中虚线所示。该波的波速为34m/s。判断该波是向x轴正方向传播还是向x轴负方向传播。










解析 由图象可知该波波长是m。
若该波向x轴正方向传播，则图中波峰a至少到达波峰b，，根据（1）式，时间上至少需要，由波传播的周期性，波形图由图中实线变成虚线所需的时间就应该是（n=0、1、2、......），，有，将m/s、m、s代人得，所以该波是向x轴正方向传播。
若该波向x轴负方向传播，则图中波峰a至少到达波峰c，，同理，波形图由图中实线变成虚线所需的时间就应该是（n=0、1、2、......），，有，将m/s、m、s代人得，显然n不是整数，所以该波不可能向x轴负方向传播。
例4 如图5所示，有两个波源位于同一介质中的A、B两点，振动均沿竖直方向，振幅相等，频率皆为100Hz，但B点波源比A点波源的相位超前，若A、B相距30m，波速为400m/s，试求AB之间的连线上因干涉而静止的位置有哪几个。







解析 该题学生很容易生搬硬套造成错误。根据题意m，设AB之间任一点P到A的距离为x，因干涉而静止不动的点为相消干涉，波程差应为半波长的奇数倍，则。这样求解显然是错误的，错误的原因是学生忽略了题目中所给的 "B点波源比A点波源的相位超前"这一条件。其实同频率、相位差恒定的两个波源也是相干波源。
设

A点的振动方程为，由题意，B点的振动方程就为，任一点P到A、B的距离分别为、，则点P在A波源激起的波中的相位就落后A波源，点P在B波源激起的波中的相位就落后B波源。
由此可得，两列波在P点相位差为
根据相消干涉条件，代人数据可得
（=0，1,2，......）
所以=1m，3m，5m，7m，......，27m，29m，共15处。







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