一阶电路分析

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uc
1)t<0,K在1,电路稳定,有: 2)t=0,K从1打到2,有:
Hale Waihona Puke Baidu
uc (0 ) 0
uc (0 ) uc (0 ) 0
3)t>0,K在2,有:
duc ( t ) uc ( t ) C Is dt R
duc ( t ) RC uc ( t ) RI s dt 一阶常系数非齐次微分方程
R是与动态元件相连接的单口网络的等效电阻 非零初始状态具有初始储能,电阻要消
耗能量,一直要将储能元件的储能消耗完,
各电压电流均变为零为止。
例6-1 电路如图所示,已知电容电压uC(0-)=6V。t=0 闭合开关,求t > 0的电容电压、电容电流和电阻电流
解:在开关闭合瞬间,电容电压不能跃变,由此得:
uc (t ) uch ucp Ke st Q
(解:通解+特解)
1 特征方程求解特征根: RCs 1 0 s RC t t RC uC (t ) RI Se RI S RI S (1 e RC ) (t 0)
t duC iC ( t ) C I Se RC dt
=RC( 时间常数)
t=2: uc=0.135Uo
t=3: uc=0.05Uo t=4: uc=0.018Uo

RC电路零输入响应的波形曲线

3、电路的过渡过程一般取:(4-5)
t U 0 RC 2 1 WR= 0 i ( t ) Rdt 0 ( e ) Rdt CU 02 R 2 2 R
作业1:电路如图所示,已知 uC (0 ) 3V ,求零输
入响应 uC (t ) 以及 uR (t )
t0
6Ω + uR 3Ω -
3Ω + uc 0.1F
作业2:电路如图所示,已知 i L (0 ) 0 A ,求零状
态响应
i L (t ) 以及 uR (t )
t0
6Ω + 15V -
t τ
求得:
iL (t ) iL (0 )e
0.1e
103 t
A
(t 0)
3
diL uL ( t ) L 0.2 0.1 103 e 10 t V 20e 10 t V ( t 0) dt
3
6-2 零状态响应
初始状态为零,由激励所产生的响应。 一、 RC电路的零状态响应 +
解:由图(a)求得uC(0-)= U0 ,由换路得uC (0+ )=U0 换路后,画出t>0的电路图(b)所示,求得稳态时 uC(∞)=Us,列出图(b)所示电路的微分方程:
duC RC uC U S dt
( t 0)
一阶常系数非齐次微分方程
duC RC uC U S dt
其解为: uC (t ) Ke
US
t 0
通解:固有响应或自由响应 特解:强制响应 瞬态响应 稳态响应 完全响应=固有响应+强制响应
或:完全响应=瞬态响应+稳态响应
uC ( t ) ( U 0 U S )e
t

t RC
US
t
t 0
将电容电压uC(t )改写为以下形式:
uC (t ) U0e US (1 e )
所以求iL(t ),属于零状态响应
L 0.4 s 0.05s Ro 8
36 iL ( ) 1.5 A 24
Ro 24 // 12 8
iL (t ) iL ()(1 e ) 1.5(1 e


t
20 t
)A (t 0)
( t 0)
则uL(t ):
t
例6-2、电路如图所示,开关S连接至1端已经很久, t=0时开关S由1端倒向2端。求t0时的电感电流iL(t) 和电感电压uL(t)。
等效电路 解:开关转换瞬间,电感电流不能跃变,故
iL (0 ) iL (0 ) 0.1A
L 0.2H = = 10 3 s 1m s R 200
i L ( t ) Ke Q
st
t t Us ( 1 e τ ) i L()( 1 e τ ) R
RC和RL 一阶电路零状态响应一般表达式 : 只有状态变量适用
f ( t ) f ( ) 1 e
t

RC电路: =RC RL电路: =L/R
6-4 零输入响应
激励为零,由电路动态元件初始状态产生的响应。
一、RC电路的零输入响应
1)t<0,K在1, 有:
2)t=0,K从1打到2,有:
uc (0 ) U 0
uc (0 ) uc (0 ) U 0
3)t>0,K在2, 有:
+ uR(t) i(t)
uc ( t ) uR ( t ) 0
第六章 一阶电路分析
1、经典分析法
零输入响应 零状态响应 全响应 2、“三要素”法及其应用 3、阶跃函数与阶跃响应
成都信息工程学院-控制工程系
电阻电路:电压、电流仅仅由独立电源(激励)所 产生。 动态电路: 完全响应---由独立电源(激励)和动态元件的初始 储能(初始状态)共同产生
零输入响应---仅由动态元件初始状态引起的响应 零状态响应---仅由激励引起的响应 动态电路分析的基本方法是建立微分方程,然 后用数学方法求解微分方程,得到电压、电流响 应的表达式。
( t 0)
备注2:利用解满足微分方程求Q,满足初始条件求K
uc ( t ) uc ( )(1 e

t τ
)
求得:Q=RIS ,K =-RIS
uC (t ) RI S (1 e )
iC ( t ) I S e
t τ

t τ
(t 0)
(t 0)
RC
其波形如图所示 当时间常数 越大,充电 过程就越长
R是与动态元件相连接的单口网络的等效电阻 电源提供的能能量,一半由电阻消耗掉,
另一半由动态元件储存,各电压电流均变为
稳态值为止。
例6-3电路如图(a)所示,已知电容电压uC(0-)=0。t=0
打开开关,求t 0的电容电压uC(t ),电容电流iC(t )以
及电阻电流i1(t )。 解: uC (0 ) uC (0 ) 0 求uC(t ),属于零状态响应
st
( t 0)
,uC (0 ) uC (0 ) U0
Q
Ke

t RC
US
代入微分方程求Q: Q US
K 代入初始条件求K: uC ( 0 ) U0 K U S 得 : U0 US
则: uC ( t ) ( U 0 U S )e
t RC
uC (0 ) uC (0 ) 6V RC 10 103 5 106 0.05s
uc ( t ) uc (0 )e 6e 20tV t 0 duC ( t ) iC ( t ) C 5 10 6 6 20e 20 t 0.6e 20 t mA (t 0) dt 3 1 20 t 20 t iR ( t ) iC ( t ) 0.6e mA 0.2e mA t 0 36 3
i1 (t ) I S iC (t ) (1 0.4e
1 104 t 3
)A
(t 0)
例6-4电路如图 (a)所示,已知电感电流iL(0-)=0。t=0
闭合开关,求t 0的电感电流iL(t )和电感电压uL(t ) 。
解: i (0 ) i (0 ) 0 L L
duC iC ( t ) C dt
i1 (t ) IS iC (t )
UC () 120V
6 4
Ro 300
RoC 300 10 F 3 10 s 300s

uc ( t ) uc ( )(1 e
t τ

t τ
)
可以得到 :
跃变
连续
指数规律上升到RIS,经过 (4~5)达到RIS 。
IS指数规律衰减到零
二、RL电路的零状态响应
1)t<0,K在2,电路稳定,有:
i L (0 ) 0
2)t=0,K从2打到1 ,有:
i L (0 ) i L (0 ) 0
di L ( t ) Ri L ( t ) U s 3)t>0,K在1, 由KVL有: L dt
uC (t ) uC (0 )e
t
(t 0)
t

uC ()(1 e )

(t 0)
零输入响应
零状态响应
完全响应=零输入响应+零状态响应
响应叠加:线性动态电路基本性质 简化电路的分析计算。
例6-5图 (a)所示电路原来处于稳定状态。t=0时开关 断开,求t 0的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。
3Ω 3Ω 5H iL(t)
+ uR(t)
上节课内容回顾
零输入响应表达式、适用求哪些变量?
零状态响应表达式、适用求哪些变量?
成都信息工程学院-控制工程系
6-5 完全响应
完全响应:由储能元件的初始储能和独立电源共同引 起的响应。 引例:电路如图,求电容电压uC(t)。
(a)
(b) t >0 时的电路图
di L uL ( t ) L 0.4 1.5 20e 20 t V 12e 20 t V dt
假如还要计算电阻中的电流i (t ),可以根据图(b) 电路,用欧姆定律求得:
36V uL ( t ) 36V 12e 20 t V i(t ) (1.5 0.5e 20 t )A 24 24
上节课内容回顾
请写出电容元件和电感元件的VCR表达式。
哪些量是独立变量(状态变量)?初值如何求取?
非独立变量的初值如何求取?
0+等效电路中电容元件、电感元件如何处理?
成都信息工程学院-控制工程系
课前练习
2.4e
-0.2t
1 t 1 u( )d L 0
成都信息工程学院-控制工程系
uC (t ) UC ()(1 e ) 120(1 e
1 104 t 3
)V
(t 0)
(t 0)
1 1 10 4 t 10 4 t duC 1 iC (t ) C 10 6 120 104 e 3 0.4e 3 A dt 3
为了求得i1(t ),根据图(a)所示电路,用KCL 方程得到
(解:通解) 备注1:参数K由初始条件确定。
uc ( t ) Ke Ke
st

t RC
u 讨论: c ( t ) U 0 e
U0 i(t ) e R

t RC
t RC
+ uR(t) i(t)
1、在换路后, RC电路中电压、 电流随指数变化; 2、指数变化的速率取决于;
t=: uc=0.368Uo
duc ( t ) uR ( t ) RC dt
uc ( t ) uc (0 )e

t
duc ( t ) RC uc ( t ) 0 dt
特征方程: RCs 1 0
一阶常系数齐次微分方程
1 特征根或固有频率: s RC
U 0e
t RC
t U 0 RC i(t ) e R
( t 0)
uL ( t ) RI 0 e
RI 0 e
波形如图所示:
越小电流和电压衰减越快
i L (t ) i L (0 )e

t
RC和RL 一阶电路零输入响应一般表达式 : 无论是状态变量还是非状态变量均适用
f ( t ) f (0 )e
t
RC电路: =RC RL电路: =L/R
二、RL电路的零输入响应
1)t<0,K在1,电路稳定,有: iL(0-)= I0 2)t=0,K从1打到2,有: iL(0+)= iL(0-)= I0 3)t>0,K在2,有:
uR i R iL iL 0 R
diL uR uL L dt
L diL iL 0 R dt
一阶常系数齐次微分方程
L diL iL 0 R dt
iL ( t ) Ke st Ke 解得: (解:通解)

R t L
代入初始条件iL(0+)=I0求得:
iL ( t ) I 0e
R t L
I 0e
R t L

t τ t τ
=L/R——RL电路 ( t 0) 的时间常数
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