利用空间向量知识求空间中的二面角

利用向量法求二面角的两种方法
(则1两)若个A平B,面CD的分夹别角是的两大个小平就面是α向,β量内Auu与Bur 与棱l垂CuuD直ur 的的夹异角面,直如线图,①. (2)设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角 (或其补角)就是两个平面夹角的大小,如图②
第七章 空间中的向量方法
练习：如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G 分别为PC，PD，BC的中点． (1)求证：PA⊥EF. (2)求二面角D-FG-E的余弦值．
第七章 空间中的向量方法
【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),
课后训练： (1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向 量分别为 (0,-1,3), (2,2,4), 则这个二面角的余弦值为( )
A. 15 6
B．－ 15 6
C. 15 3
D．以上都不对
(2)PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2. 求二面角A-PB-C的余弦值．
第七章 空间中的向量方法
第七章 空间中的向量方法
3．用向量方法求二面角 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向
量 大小为为n2，φ，<n则1，|cons2φ>|＝＝_θ_，|c_o_则s_θ_二|__面__角＝α_－_||n_ln－1_1|··_n|nβ_22为|_| _θ_或_．π－θ．设二面角
第七章 空间中的向量方法
F(0,0,1),G(-2,1,0).
(1)证明：由于
PuuAur ＝(0，2，－2)，
uur EF
＝(1，0，0)，
则
uuur uur PAgEF
＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，
所以PA⊥EF.
第七章 空间中的向量方法
(2)易知
uuur DF
＝(0，0，1)，
EuuFr＝(1，0，0)，
FuuGur＝
z

0，

1 2
x

1 2
y

0.
பைடு நூலகம்
令x＝1，解得y＝1，z＝1，
所以n1＝(1，1，1)．同理可求得平面BMN的一个法向量
n2＝(1，－1，－1)．
所以
cos〈n1，n2〉=
n1gn2 ＝ n1 n2
1 ＝－1 . 3 3 3
故所求两平面所成角的余弦值为 1 .
3
第七章 空间中的向量方法
(－2，1，－1)，
设平面DFG的法向量m＝(x1，y1，z1)，
则
uuur
mgDF 0， uuur
解得
mgFG 0，
z12x10，y1 z1 0.
令x1＝1，得m＝(1，2，0)是平面DFG的一个法向 量．
第七章 空间中的向量方法
设平面EFG的法向量n＝(x2，y2，z2)，
所以AG⊥MN，BG⊥MN.所以∠AGB为
二面角的平面角或其补角．
因为
uuur GA＝(
1 ，－ 1 ，－ 1 )，
244
GuuBur＝(－ 1 ，－ 1 ，－ 1 )，
所以
cos〈GuuAur，Guu2Bur〉＝4uGuuuAuurr gGuuuu4Buurr GA GB
＝
1 8 3
＝－1 . 33
例题讲解：正方体ABEF-DCE′F′中, M,N分别为 AC,BF的中点(如图),求平面MNA与平面MNB所成 角的余弦值.
第七章 空间中的向量方法
【解析】方法一：设正方体棱长为1.以B为坐标原点，
BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间
直角坐标系B-xyz，则A(1，0，0)，B(0，0， 0)．取MN的中点G，连接BG，AG，则 G(1，1，1)． 因为△AMN，△BMN为等腰三角形， 2 4 4
88
第七章 空间中的向量方法
故所求两平面所成角的余弦值为 1 .
3
方法二：设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)．
AuuMuur＝(－ 1 ，0，1 )，AuuNur＝(－ 1 ，1 ，0)．
22
22
uuuur AuuMur gn1 0， ANgn1 0，

1 2
x

1 2
第八章 第七讲 立体几何中的向量方法
第3课时 利用向量知识求空间二面角
第七章 空间中的向量方法
掌握利用向量方法解决面面的夹角的求法． 重点：二面角与向量夹角的关系． 难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表 达线面角和二面角．
第七章 空间中的向量方法
知识点：二面角 温故知新 1．回顾复习二面角及其平面角的定义，求法． 思维导航 2．怎样用空间向量来求二面角的大小？
同理可得n＝(0，1，1)是平面EFG的一个法向量．
因为cos〈m，n〉＝
mgn | m |g| n
＝ |
2 5g
＝ 2
2＝ 10
10 ， 5
设二面角D-FG-E的平面角为θ，由图可知θ＝π－〈m，
n〉，
所以cos θ＝－ 10 ，
5
所以二面角D-FG-E的余弦值为－
10 ，.
5
第七章 空间中的向量方法
课堂小结：利用空间向量求二面角的方法
(1)若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱l垂直的异面直线,
则两个平面的夹角的大小就是向量
uuur AB
与
uuur CD
的夹角。。。。
(2)设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角 (或其补角)就是两个平面夹角的大小。
第七章 空间中的向量方法