利用空间向量知识求空间中的二面角PPT课件
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第七章 空间中的向量方法
课后训练： (1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个 向量分别为 (0,-1,3), (2,2,4), 则这个二面角的余弦值为( )
A .1 5 B ． － 1 5 C .1 5 D ． 以 上 都 不 对
6
6
3
(2)PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC2＝. 求二面角A-PB-C的余弦值．
0，
AN gn1 0，
1 2
x
来自百度文库
1 2
z
0，
1 2
x
1 2
y
0.
令x＝1，解得y＝1，z＝1，
所以n1＝(1，1，1)．同理可求得平面BMN的一个法向
所量以n2＝co(1s〈，n－1，1，n2－〉1=)．n n11gn n22
＝ 1 3
＝－1. 33
故所求两平面所成角的余弦值为 1 .
3
第七章 空间中的向量方法
利用向量法求二面角的两种方法
(两1个)若平A面B,的CD夹分角别的是大两小个就平是面向α量,β内与与AuuBur棱的l垂夹Cu直uDur角的,如异图面①直.线,则 (2)设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或 其补角)就是两个平面夹角的大小,如图②
第七章 空间中的向量方法
所以AG⊥MN，BG⊥MN.所以∠AGB为
二面角的平面角或其补角．
因为 G uuA ur＝ (1， － 1， － 1)，
244
G uuB u r＝ (－ 1， － 1， － 1)，
所以
cos〈 G uuA ur， G uu2 B ur〉＝4 uG uuuA uurrgG uuuu4 B uurr＝ GAGB
第七章 空间中的向量方法
第七章 空间中的向量方法
3．用向量方法求二面角 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的
法 面角向大量小为为n2，φ，<n则1，|cons2φ>||c＝＝os_θθ_，|__则__二__面__角||n＝n1α1|··_n|－n_22|_|l－__β_为__θ_或_．π－θ．设二
第七章 空间中的向量方法
练习：如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G 分别为PC，PD，BC的中点． (1)求证：PA⊥EF. (2)求二面角D-FG-E的余弦值．
第七章 空间中的向量方法
【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),
1 8 3
＝－1. 33
88
第七章 空间中的向量方法
故所求两平面所成角的余弦值为 1 .
3
方法二：设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)．
A u u M u u r＝ (－ 1 ， 0 ， 1 )， A u u N u r＝ (－ 1 ， 1 ， 0 ) ．
22
22
uuuur
AM uuur
gn1
F(0,0,1),G(-2,1,0).
(1)证明：由于
uuur PA
＝(0，2，－2)，
u ur EF
＝(1，0，0)，
则 P uuA urg＝E uuF r1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，
所以PA⊥EF.
第七章 空间中的向量方法
(2)易知 Du＝uuFr (0，0，1)， ＝EuuFr(1，0，0)， ＝FuuG(ur－2， 1，－1)， 设平面DFG的法向量m＝(x1，y1，z1)，
第八章 第七讲 立体几何中的向量方法
第3课时 利用向量知识求空间二面角
第七章 空间中的向量方法
掌握利用向量方法解决面面的夹角的求法． 重点：二面角与向量夹角的关系． 难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表 达线面角和二面角．
第七章 空间中的向量方法
知识点：二面角 温故知新 1．回顾复习二面角及其平面角的定义，求法． 思维导航 2．怎样用空间向量来求二面角的大小？
uuur
则
m
gD F uuur
解 0，得
m gFG 0，
z12x10，y1 z1 0.
令x1＝1，得m＝(1，2，0)是平面DFG的一个法向 量．
第七章 空间中的向量方法
设平面EFG的法向量n＝(x2，y2，z2)， 同理可得n＝(0，1，1)是平面EFG的一个法向量． 因为cos〈m，n〉＝|m m |g g |n n|＝52 g2＝1 20＝5 10， 设二面角D-FG-E的平面角为θ，由图可知θ＝π－ 〈m，n〉， 所以cos θ＝－ 1 0 ， 所以二面角D-F5 G-E的余弦值－ 为51 0 ， .
第七章 空间中的向量方法
课堂小结：利用空间向量求二面角的方法 (1)若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱l垂直的异面直 线,则两个平面的夹角的大小就是向量AuuBur 与CuuDur 的夹角。。。。 (2)设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其 补角)就是两个平面夹角的大小。
例题讲解：正方体ABEF-DCE′F′中, M,N分别为 AC,BF的中点(如图),求平面MNA与平面MNB所成 角的余弦值.
第七章 空间中的向量方法
【解析】方法一：设正方体棱长为1.以B为坐标原点，
BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立
空间直角坐标系B-xyz，则A(1，0，0)，B(0，0， 0)．取MN的中点G，连接BG，AG，G(则1，1，1 )． 因为△AMN，△BMN为等腰三角形， 2 4 4
课后训练： (1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个 向量分别为 (0,-1,3), (2,2,4), 则这个二面角的余弦值为( )
A .1 5 B ． － 1 5 C .1 5 D ． 以 上 都 不 对
6
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(2)PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC2＝. 求二面角A-PB-C的余弦值．
0，
AN gn1 0，
1 2
x
来自百度文库
1 2
z
0，
1 2
x
1 2
y
0.
令x＝1，解得y＝1，z＝1，
所以n1＝(1，1，1)．同理可求得平面BMN的一个法向
所量以n2＝co(1s〈，n－1，1，n2－〉1=)．n n11gn n22
＝ 1 3
＝－1. 33
故所求两平面所成角的余弦值为 1 .
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第七章 空间中的向量方法
利用向量法求二面角的两种方法
(两1个)若平A面B,的CD夹分角别的是大两小个就平是面向α量,β内与与AuuBur棱的l垂夹Cu直uDur角的,如异图面①直.线,则 (2)设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或 其补角)就是两个平面夹角的大小,如图②
第七章 空间中的向量方法
所以AG⊥MN，BG⊥MN.所以∠AGB为
二面角的平面角或其补角．
因为 G uuA ur＝ (1， － 1， － 1)，
244
G uuB u r＝ (－ 1， － 1， － 1)，
所以
cos〈 G uuA ur， G uu2 B ur〉＝4 uG uuuA uurrgG uuuu4 B uurr＝ GAGB
第七章 空间中的向量方法
第七章 空间中的向量方法
3．用向量方法求二面角 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的
法 面角向大量小为为n2，φ，<n则1，|cons2φ>||c＝＝os_θθ_，|__则__二__面__角||n＝n1α1|··_n|－n_22|_|l－__β_为__θ_或_．π－θ．设二
第七章 空间中的向量方法
练习：如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G 分别为PC，PD，BC的中点． (1)求证：PA⊥EF. (2)求二面角D-FG-E的余弦值．
第七章 空间中的向量方法
【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),
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＝－1. 33
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第七章 空间中的向量方法
故所求两平面所成角的余弦值为 1 .
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方法二：设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)．
A u u M u u r＝ (－ 1 ， 0 ， 1 )， A u u N u r＝ (－ 1 ， 1 ， 0 ) ．
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uuuur
AM uuur
gn1
F(0,0,1),G(-2,1,0).
(1)证明：由于
uuur PA
＝(0，2，－2)，
u ur EF
＝(1，0，0)，
则 P uuA urg＝E uuF r1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，
所以PA⊥EF.
第七章 空间中的向量方法
(2)易知 Du＝uuFr (0，0，1)， ＝EuuFr(1，0，0)， ＝FuuG(ur－2， 1，－1)， 设平面DFG的法向量m＝(x1，y1，z1)，
第八章 第七讲 立体几何中的向量方法
第3课时 利用向量知识求空间二面角
第七章 空间中的向量方法
掌握利用向量方法解决面面的夹角的求法． 重点：二面角与向量夹角的关系． 难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表 达线面角和二面角．
第七章 空间中的向量方法
知识点：二面角 温故知新 1．回顾复习二面角及其平面角的定义，求法． 思维导航 2．怎样用空间向量来求二面角的大小？
uuur
则
m
gD F uuur
解 0，得
m gFG 0，
z12x10，y1 z1 0.
令x1＝1，得m＝(1，2，0)是平面DFG的一个法向 量．
第七章 空间中的向量方法
设平面EFG的法向量n＝(x2，y2，z2)， 同理可得n＝(0，1，1)是平面EFG的一个法向量． 因为cos〈m，n〉＝|m m |g g |n n|＝52 g2＝1 20＝5 10， 设二面角D-FG-E的平面角为θ，由图可知θ＝π－ 〈m，n〉， 所以cos θ＝－ 1 0 ， 所以二面角D-F5 G-E的余弦值－ 为51 0 ， .
第七章 空间中的向量方法
课堂小结：利用空间向量求二面角的方法 (1)若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱l垂直的异面直 线,则两个平面的夹角的大小就是向量AuuBur 与CuuDur 的夹角。。。。 (2)设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其 补角)就是两个平面夹角的大小。
例题讲解：正方体ABEF-DCE′F′中, M,N分别为 AC,BF的中点(如图),求平面MNA与平面MNB所成 角的余弦值.
第七章 空间中的向量方法
【解析】方法一：设正方体棱长为1.以B为坐标原点，
BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立
空间直角坐标系B-xyz，则A(1，0，0)，B(0，0， 0)．取MN的中点G，连接BG，AG，G(则1，1，1 )． 因为△AMN，△BMN为等腰三角形， 2 4 4