空间向量解决空间角的问题

AA1 4, M 为BC1上的一点,且B1M 2,点N 在线段A1D上，
A1D AN . (1)求证：A1D AM . A1 （2）求AD与平面ANM 所成的角正弦.
A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8, 0),
z
N
C1
D1
AD (0,8,0), A1D (0,8, 4),
z
N
C1
D1
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4),
D
C
y
AM A1D＝0 A1D AM .
x
B
题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ] 2

A
n
O
思考：
n, BA 与的关系？

B

结论：
sin
|
cos n, AB
|
题型二：线面角 例2： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB= 5，AD 8,
z
y x 2 任取n2 (1, 2,1) z y 2 n1 n2 6 6 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 | n1 || n2 | 3 3
解： 建立空直角坐系A - xyz如所示, 1 B - 1, 1, 0) , D (0, , 0), S (0, 0,1) A( 0, 0, 0) , C( C 2 1 易知面SBA的法向量n1 AD (0, , 0) 2 A y 1 1 D x CD (1, , 0), SD (0, , 1) 2 2 设平面SCD的法向量n2 ( x, y, z ), 由n2 CD, n2 SD, 得：
•小结
题型一：线线角
例一：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1
取A1B1、AC BC CA CC1， 1 1的中点D 1、F 1，
B1
D1
A1
C
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
题型一：线线角 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C xyz 如图 z 所示，设 则： CC1 1 C
2 5 cos AD, A1D 5 AD与平面ANM 所成角的正弦值是
B1 M A
D
C
y
x
B
2 5 5
题型二：线面角
练习1： 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C 所成的角.
A1 B1 C1 D1
A B
C
D
题型三：二面角
二面角的范围：

O
[0, ]
z
y
例 4.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC z =1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
解:建立坐标系如图,
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), x
y
AP =(0,0,1), AB ( 2,1,0), CB ( 2,0,0), CP (0, 1,1) , m AP 0 设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),则 m AB 0 ( x , y , z ) (0, 0,1) 0 y 2x ∴ ∴ ,令 x=1,则 m =(1, 2,0) ,

n2


A
n2 n1
B
n1


cos | cos n1 , n2 |
关键：观察二面角的范围
cos | cos n1 , n2 |
例3 如所示， ABCD是一直角梯形，ABC=900 , 1 SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面SCD与面SBA 2 所成二面角的余弦值.
y x 0 2 yz0 2
S
练习2:
如图,PA⊥平面 ABC, AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
z
y
x
练习2: 如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,
BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
分析: 若用几何法本题不太好处 理,注意到适当建立空间直角坐 标系后各点坐标容易处理,可考 虑尝试用向量法处理 ,从而把问 x 题转化为向量运算问题.
A(1,0,0), B(0,1,0),
1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 1 所以： AF1 ( , 0,1), 2
1 1 BD1 ( , ,1) 2 2
F1
1
B1
A1
C
D1
A x
By
1 1 AF1 BD1 30 4 cos AF1 , BD1 10 5 3 | AF1 || BD1 | 4 2
数量积： a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a ||b |

| a | | b | cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3 a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
a b 夹角公式： cos a b
2.若A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 )，则：
空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。
1.若a (a1 , a2 , a3 )， b (b1 , b2 , b3 ), 则：
所以 BD 与
1
所成角的余弦值为 AF
1
30 10
题型一：线线角 练习： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB= 5，AD 8,
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N 在线段A1D上，
A1D AN . (1)求证：A1D AM .
A1 （2）求AD与平面ANM 所成的角. B1 M A(0,0,0), A1 (0,0, 4),D(0,8, 0), M (5, 2, 4) A
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
题型一：线线角
异面直线所成角的范围： 0, 2 思考： C D

结论：
A
B
D1
CD, AB 与的关系？ DC , AB 与的关系？
cos
| cos CD, AB |