利用空间向量求空间角考点与题型归纳
空间向量的应用求空间角与距离

空间向量的应用----求空间角与距离一、考点梳理1.自新教材实施以来,近几年高考的立体几何大题,在考察常规解题方法的同时,更多地关注向量法〔基向量法、坐标法〕在解题中的应用。
坐标法〔法向量的应用〕,以其问题〔数量关系:空间角、空间距离〕处理的简单化,而成为高考热点问题。
可以预测到,今后的高考中,还会继续表达法向量的应用价值。
2.利用法向量求空间角和空间距离,其常用技巧与方法总结如下:1)求直线和直线所成的角假设直线AB 、CD 所成的角是α,cos α=|,cos |><CD AB ||||||CD AB CD AB •=2).利用法向量求线面角设θ为直线l 与平面α所成的角,ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角,那么有2πϕθ=-或2πϕθ=+。
特别地0ϕ=时, 2πθ=,l α⊥;2πϕ=时,0θ=,l α⊂或l α。
计算公式为:||sin cos ||||v n v n θϕ==或||sin sin()cos (0)2||||||||v n v n v n v n v n πθϕϕ=-=-=-=<3).利用法向量求二面角设1n 、2n 分别为平面α、β的法向量,二面角l αβ--的大小为θ,向量1n 、2n 的夹角为ϕ,那么有θϕπ+=或θϕ=。
计算公式为:1212cos cos ||||n n n n θϕ=-=1212cos cos ||||n n n n θϕ==4).利用法向量求点面距离如图点P 为平面外一点,点A 为平面内的任一点,平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ,记∠OPA=θ,那么点P 到平面的距离θcos ||||PA PO d ==||||||||||||n PA PA n PA n PA n •=⊗•=5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外,还能处理异面直线间的距离,线面间的距离,以及平行平面间的距离等。
其一,这三类距离都可以转化为点面间的距离;其二,异面直线间的距离可用如下方法操作:在异面直线上各取一点A 、B ,AB 在n 上的射影长即为所求。
142 用空间向量研究距离、夹角问题(基础知识+基本题型)(含解析)--2022高二数学上

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(基础知识+基本题型)知识点一、用向量方法求空间角(1)求异面直线所成的角已知a ,b 为两异面直线,A ,C 与B ,D 分别是a ,b 上的任意两点,a ,b 所成的角为θ,则||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅。
要点诠释:两异面直线所成的角的范围为(00,900]。
两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得,但二者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角。
(2)求直线和平面所成的角设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为u ,直线与平面所成的角为θ,a 与u 的角为ϕ,则有||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u 。
(3)求二面角如图,若PA α⊥于A ,PB β⊥于B ,平面PAB 交l 于E ,则∠AEB 为二面角l αβ--的平面角,∠AEB+∠APB=180°。
若12⋅n n 分别为面α,β的法向量,121212,arccos ||||n n n n n n ⋅〈〉=⋅则二面角的平面角12,AEB ∠=〈〉n n 或12,π-〈〉n n ,即二面角θ等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。
①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角θ的大小等于1n ,2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。
②当法向量1n ,2n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角θ的大小等于1n ,2n的夹角的补角12,π-〈〉n n 的大小。
知识点二、用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤:①求出该平面的一个法向量;②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离。
即:点A 到平面α的距离||AB n d n ⋅= ,其中B α∈,n是平面α的法向量。
2.线面距、面面距均可转化为点面距离,用求点面距的方法进行求解。
(完整版)利用空间向量法证明与求空间角——解答题篇·解题技能(教师)

课题利用空间向量法证明与求空间角——解答题篇·解题技能一、空间向量(一)空间向量基本定理对于如果三个向量a r ,b r ,c r 不共面,那么对空间任一向量p u r存在唯一的有序实数组{,,}x y z ,使p xa yb zc =++u r r r r(二)空间向量的坐标表示(1)空间直角坐标系设123,,e e e u r u u r u r 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(称它们为正交基底),以123,,e e e u r u u r u r的公共起点O 为原点,分别以123,,e e e u r u u r u r 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -。
建立空间直角坐标系要遵循“左手法则”。
(2)空间向量的坐标对于空间任一向量p u r ,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量OP p =u u u r u r 。
由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{,,}x y z ,使p xa yb zc =++u r r r r。
我们把,,x y z 称作向量p u r 在单位正交基底123,,e e e u r u u r u r下的坐标,记作(,,)p x y x =u r 。
点的坐标:此时向量p u r 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标(,,)x y x 。
(3)空间向量运算的坐标表示 ① 空间向量的坐标运算法则设123(,,)a a a a =r ,123(,,)b b b b =r,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r112233(,,)a b a b a b a b -=--- 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ 112233a b a b a b a b ⋅=++② 空间向量平行与垂直条件112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈r r r r1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=③ 空间向量夹角公式r r④ 空间向量长度公式若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
高考必考题—运用空间向量解决空间角(含解析)

运用空间向量解决空间角一、题型选讲题型一 、异面直线所成的角以及研究异面直线所成的角首先要注意交的范围,然后转化为有直线的方向向量的夹角。
例1、【2018年高考江苏卷】如图,在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,AB =AA 1=2,点P ,Q 分别为A 1B 1,BC 的中点.(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值; (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.例2、(2019南京学情调研) 如图,在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中,已知底面ABCD 的边长AB =3,侧棱AA 1=2,E 是棱CC 1的中点,点F 满足AF →=2FB →.(1) 求异面直线FE 和DB 1所成角的余弦值; (2) 记二面角EB 1FA 的大小为θ,求|cos θ|.题型二、直线与平面所成的角直线与平面所成的角是通过研究直线的方向向量和平面的法向量的所成的角,因此,要特别注意所求的角与已求的角之间的关系。
例3、【2020年高考浙江】如图,在三棱台ABC—DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC =2BC.(Ⅰ)证明:EF⊥DB;(Ⅱ)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.题型三、平面与平面所成的角利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α,β的法向量n1,n2时,要根据观察判断向量在图形中的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等还是互补,这是利用向量求二面角的难点、易错点例5、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.例6、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的二面角B−CG−A的大小.例7、(2020届山东省潍坊市高三上期中)如图,在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中,平面1ACB ⊥平面11A ABB ,11AB A B =,O 为1AB 与1A B 的交点.(1)求证:1AB CO ⊥;(2)求平面11ACC A 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.二、达标训练1、【2019年高考天津卷理数】如图,AE ⊥平面ABCD ,,CF AE AD BC ∥∥,,AD AB ⊥1,2AB AD AE BC ====.(1)求证:BF ∥平面ADE ;(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值; (3)若二面角E BD F --的余弦值为13,求线段CF 的长.2、【2019年高考浙江卷】如图,已知三棱柱111ABC A B C -,平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒,1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ,A 1B 1的中点. (1)证明:EF BC ⊥;(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.4、(2020届山东省九校高三上学期联考)已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形,12AB AA ==,3BAD π∠=,ACBD O =,AO ⊥平面1A BD ,11A B A D =.(1)证明:1//B C 平面1A BD ; (2)求钝二面角1B AA D --的余弦值.5、(2020届山东省潍坊市高三上期末)在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面,,,ABCD PA PD E F =分别为棱PC 和AB 的中点.(1)求证://EF 平面PAD ;(2)若直线PC 与AB ,求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小.6、(2019南京、盐城一模)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AD=1,PA =AB=2,点E是棱PB的中点.(1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值;(2) 求二面角BECD的余弦值.一、题型选讲题型一 、异面直线所成的角以及研究异面直线所成的角首先要注意交的范围,然后转化为有直线的方向向量的夹角。
利用空间向量求解立体几何中的角-2019届高考数学(理)提分必备30个黄金考点---精校解析Word版

【考点剖析】1.命题方向预测:空间角的计算是高考热点,一般以大题的条件或一小问形式呈现,考查用向量方法解决立体几何问题,将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系,并通过计算解决立体几何问题.此类问题往往属于“证算并重”题,即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系,第二问则通过建立空间直角坐标系,利用空间向量方法进一步求角. 2.课本结论总结: 一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是: (1)适当的选取基底{a ,b ,c }; (2)用a ,b ,c 表示相关向量; (3)通过运算完成证明或计算问题. 两个理解(1)共线向量定理还可以有以下几种形式: ①a =λb ⇒a ∥b ;②空间任意两个向量,共线的充要条件是存在λ,μ∈R 使λa =μb .③若OA →,OB →不共线,则P ,A ,B 三点共线的充要条件是OP →=λOA →+μOB →且λ+μ=1.(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解.空间向量基本定理是适当选取基底的依据,共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具,三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”. 四种运算空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习.学生要特别注意共面向量的概念.而对于四种运算的运算律,要类比实数加、减、乘的运算律进行学习. 三种成角(1)异面直线所成的角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2;(2)直线与平面所成角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2; (3)二面角的范围是[0,π]. 3.名师二级结论: 1.夹角计算公式(1)线线角:直线与直线所成的角θ,如两直线的方向向量分别为a ,b ,则||cos cos a b θ=〈,〉.(2)线面角:直线与平面所成的角θ,如直线的方向向量为a ,平面的法向量为n ,则||sin cos a n θ=〈,〉. (3)面面角:两相交平面所成的角θ,两平面的法向量分别为n 1,n 2,则cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|.判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况来决定cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|还是cos θ=-|cos 〈n 1,n 2〉|. 2.距离公式(1)点点距:点与点的距离,以这两点为起点和终点的向量的模;(2)点线距:点M 到直线a 的距离,如直线的方向向量为a ,直线上任一点为N ,则点M 到直线a 的距离d =|MN →|sin 〈MN →,a 〉;(3)线线距:两平行线间的距离,转化为点线距离;两异面直线间的距离,转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度;(4)点面距:点M 到平面α的距离:如平面α的法向量为n ,平面α内任一点为N ,则点M 到平面α的距离d =|MN →||cos 〈MN →,n 〉|=|MN →·n ||n |;(5)线面距:直线和与它平行的平面间的距离,转化为点面距离; (6)面面距:两平行平面间的距离,转化为点面距离. 4.考点交汇展示:三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示.设M ,N 分别为线段AD ,AB 的中点,P 为线段BC 上的点,且MN NP ⊥.(1)证明:P 为线段BC 的中点; (2)求二面角A NP M --的余弦值.【答案】(1)证明详见解析;(2)cos θ=.y(2)易得平面PMN 的法向量为1(0,1,1)n =.(1,0,3),(1,BA BC =-=-,设平面ABC 的法向量为2(,,)n x y z =,则0000x x ⎧-++=⎪⇒⎨-+=⎪⎩2(3,1,1)n =,所以cos 5θ==【2018年理数全国卷II 】如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面;(2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)(2)如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.由已知得取平面的法向量.设,则.设平面的法向量为.由得,可取,所以.由已知得.所以.解得(舍去),.所以.又,所以.所以与平面所成角的正弦值为.【2018年全国卷Ⅲ理】如图,边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直,是上异于,的点.(1)证明:平面平面;(2)当三棱锥体积最大时,求面与面所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.【考点分类】考向一利用空间向量求空间角1.【2018年江苏卷】如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【解析】如图,在正三棱柱ABC−A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以为基底,建立空间直角坐标系O−xyz.因为AB=AA1=2,所以.所成角的正弦值为.2.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ^底面ABCD ,AD AB ^,//AB DC ,2AD DC AP ===,1AB =,点E 为棱PC 的中点.C(Ⅰ)证明:DC BE ⊥;(Ⅱ)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(Ⅲ)若F 为棱PC 上一点,满足AC BE ⊥,求二面角F AB P --的余弦值. 【答案】(Ⅰ)详见试题分析;(Ⅱ)直线BE 与平面PBD;.(Ⅰ)向量()0,1,1BE =,()2,0,0DC =,故0=⋅. ∴DC BE ⊥.(Ⅱ)向量()1,2,0BD =-,()1,0,2PB =-.设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量,则0,0,n BD n PBìï?ïíï?ïî即20,20.x y x z ì-+=ïïíï-=ïî不妨令1y =,可得()2,1,1n =为平面PBD的一个法向量.于是有cos ,6n BE n BE n BE×===×BE 与平面PBD . (Ⅲ)向量()1,2,0BC =,()2,2,2CP =--,()2,2,0AC =,()1,0,0AB =.由点F 在棱PC 上,设CF CP l =,01l#,故()12,22,2BF BC CF BC CP l l l l =+=+=--,由BF AC ^,得0BF AC?,因此,()()2122220l l -+-=,解得34l =,即113,,222BF 骣÷ç=-÷ç÷ç桫.设()1,,n x y z =为平面FAB 的法向量,则110,0,n AB n BFìï?ïíï?ïî即0,1130.222x x y z ì=ïïïíï-++=ïïî不妨令1z =,可得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量.取平面ABP 的法向量()20,1,0n =,则121211cos ,10n n n n n n ×===-×.易知,二面角F AB P --. (方法二)(Ⅰ)如图,取PD 中点M ,连结EM ,AM .由于,E M 分别为,PC PD 的中点,故//EM DC ,且12EM DC =,又由已知,可得//EM AB 且EM AB =,故四边形ABEM 为平行四边形,∴//BE AM .∵PA ^底面ABCD ,故PA CD ^,而CD DA ^,从而CD ^平面PAD ,∵AM Ì平面PAD ,于是CD AM^,又//BE AM ,∴BE CD ^.C【方法规律】1.利用向量法求异面直线所成的角时,注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同.同时注意根据异面直线所成的角的范围(0,π2]得出结论.2.利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角); 二是通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.3.利用空间向量求二面角可以有两种方法:一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为n 1和n 2,则二面角的大小等于〈n 1,n 2〉(或π-〈n 1,n 2〉). 4.利用空间向量求二面角时,注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.求解过程中应注意以下几个方面:(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角,有可能两法向量夹角的补角为所求;(2)求平面的法向量的方法:①待定系数法:设出法向量坐标,利用垂直关系建立坐标的方程解之;②先确定平面的垂线,然后取相关线段对应的向量,即确定了平面的法向量.当平面的垂线较易确定时,常考虑此方法.5. (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为:①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标;③写出向量坐标;④结合公式进行论证、计算;⑤转化为几何结论.(2)求直线与平面所成的角θ,主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角α求得,即sin θ=|cos α|.【解题技巧】运用空间向量求解空间的角关键是建立空间直角坐标系后,空间角转化为向量的运算.使用空间向量解决立体几何计算,直线的标志是它的方向向量,平面的标志是它的法向量,我们可以借助于直线和平面的标志用向量这个工具解决立体几何计算问题.利用向量法求解空间角,可以避免利用定义法作角、证角、求角中的“一作、二证、三计算”的繁琐过程,利用法向量求解空间角的关键在于“四破”.第一破“建系关”,第二破“求坐标关”;第三破“求法向量关”;第四破“应用公式关”,熟记线面成的角与二面角的公式,即可求出空间角.【易错点睛】1.异面直线所成角的范围;线面角的正弦值是直线的方向向量和平面法向量所成角余弦的绝对值;两相交平面所成的角θ,两平面的法向量分别为n1和n2,则cosθ=|cos〈n1,n2〉|,其特殊情况是两个半平面所成的角即二面角,也可以用这个公式解决,但要判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况以决定cosθ=|cos〈n1,n2〉|还是cosθ=-|cos〈n1,n2〉|.这是利用向量求二面角的难点、易错点.2.向量的书写不规范,字母上方缺少"→".3.作图马虎,虚实线不分,不用直尺作图.考向二利用空间向量解决探索与翻折问题1.【2018年理新课标I卷】如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.(1)证明:平面平面;(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,又,所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.2.如图,在三棱锥S ABC -中, SA ⊥底面ABC , 2AC AB SA ===, AC AB ⊥, D , E 分别是AC , BC 的中点, F 在SE 上,且2SF FE =. (1)求证: AF ⊥平面SBC ;(2)在线段上DE 上是否存在点G ,使二面角G AF E --的大小为30︒?若存在,求出DG 的长;若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析; (2)见解析. 【解析】(1)由2AC AB SA ===, AC AB ⊥,E 是BC 的中点,得AE =因为SA ⊥底面ABC ,所以SA AE ⊥.(2)方法一:假设满足条件的点G 存在,并设DG t =. 过点G 作GM AE ⊥交AE 于点M ,又由SA GM ⊥, AE SA A ⋂=,得GM ⊥平 面SAE .作MN AF ⊥交AF 于点N ,连结NG ,则AF NG ⊥. 于是GNM ∠为二面角G AF E --的平面角,即30GNM ︒∠=,由此可得)12MG x =-. 由MNEF ,得MN AM EF AE =)1t +=)1MN t =+.在Rt GMN 中, tan30MG MN ︒=,即)()11263t t -=+⋅,解得12t =.于是满足条件的点G 存在,且12DG =.所以()1,1,0AE =, 222,,333AF ⎛⎫=⎪⎝⎭, ()1,,0AG t =. 设平面AFG 的法向量为()111,,m x y z =,则0{0m AF m AG ⋅=⋅=,即2220{3330x y z x my ++=+=,取1y =,得x t =-, 1z t =-,即(),1,1m t t =--.设平面AFE 的法向量为()222,,n x y z =,则0{0n AF n AE ⋅=⋅=,即222{333x y z x y ++=+=,取1y =,得x t =-, 1z t =-,即(),1,1n t t =--.由二面角G AF E --的大小为30︒,得cos30m n m n︒⋅==⋅,化简得22520t t -+=,又01t ≤≤,求得12t =. 于是满足条件的点G 存在,且12DG =. 【方法规律】1.解决探索性问题,都是先假设存在,然后根据已知条件和结论逐步进行计算和推导,若推出矛盾则不存在,这是解决探索性问题的常用方法.2.解决翻折问题,关键是弄清翻折前后哪些量变了,哪些量没有变,特别是没有变的量是我们解决问题的关键.【解题技巧】探索性问题命题背景宽,涉及到的知识点多,综合性较强,通常是寻找使结论成立的条件或探索使结论成立的点是否存在等问题,全面考查考生对立体几何基础知识的掌握程度,考生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力.空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解”等,因此使用问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.【易错点睛】解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是:通常假定题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若导出与条件或实际情况相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直,利用两法向量数量积为零,得参数p的方程.即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题,常利用空间向量法解决,可以避开抽象、复杂地寻找角的过程,只要能够准确理解和熟练应用夹角公式,就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等.事实说明,空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法.【热点预测】1.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α//平面CB1D1,αI平面ABCD=m,αI平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为B)21 3【答案】A2.在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,.若分别是棱上的点,且,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.3.【2018届河北省定州中学高三上第二次月考】已知点在正方体的对角线上,在上,则与所成角的大小为___________.【答案】【解析】以D点为原点,以DA,DC,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,,连接,在平面中,延长DP交于点H,设,由,可得,,填。
专题3:空间向量法求角基础知识与典型例题(解析版)

专题3:空间向量法求⾓基础知识与典型例题(解析版)专题3:空间向量法求⾓基础知识与典型例题(解析版)⑴求异⾯直线所成的⾓已知,a b 为两异⾯直线,A ,C 与B ,D 分别是,a b 上的任意两点,,a b 所成的⾓为θ,则cos .AC BDAC BD θ?=1.已知棱长为2的正⽅体1111ABCD A B C D -,点M 、N 分别是11A B 和1BB 的中点,建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系.(1)写出图中M 、N 的坐标;(2)求直线AM 与NC 所成⾓的余弦值.【答案】(1)M (2,1,2),N (2,2,1).(2)25.【分析】(1)根据正⽅体的棱长,直接写出坐标; (2)利⽤向量夹⾓公式能求出直线AM 与CN 所成的⾓的余弦值.【详解】(1)由于正⽅体1111ABCD A B C D -的棱长为2.由题意知A (2,0,0),B (2,2,0),∴M (2,1,2), C (0,2,0),∴N (2,2,1).(2)由(1)可知()012AM =,,,CN =(2,0,1),设直线AM 与CN 所成的⾓为θ,则cosθ=|cos AM CN <,>|=55?|25=.∴直线AM 与CN 所成的⾓的余弦值是25.【点睛】本题考查异⾯直线所成⾓的余弦值的求法,考查了空间向量法的应⽤,是基础题. 2.如图,三棱柱111OAB O A B -中,平⾯11OBB O ⊥平⾯OAB ,且160O OB ∠=?,190,2,3AOB OB OO OA ∠=?===,求异⾯直线1A B 与1O A 所成⾓的余弦值.【答案】17 【分析】以O 为坐标原点,,OA OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系, 利⽤向量法求异⾯直线1A B 与1O A 所成⾓的余弦值.【详解】以O 为坐标原点,,OA OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系,则11(3,0,0),(0,2,0),(3,13),(0,13)A B A O , 所以11(3,1,3),(3,1,3)A B O A =--=--.设所求的⾓为α, 则1111|||313|1cos 7||||77A B O A A B O A α--+===??, 即异⾯直线1A B 与1O A 所成⾓的余弦值为17. 【点睛】(1)本题主要考查求两异⾯直线所成的⾓,意在考查学⽣对该知识的掌握⽔平和分析推理计算能⼒.(2) 异⾯直线所成的⾓的求法⽅法⼀:(⼏何法)找→作(平移法、补形法)→证(定义)→指→求(解三⾓形),⽅法⼆:(向量法)cos m n m n α?=,其中α是异⾯直线,m n所成的⾓,,m n 分别是直线,m n 的⽅向向量.⑵求直线和平⾯所成的⾓求法:设直线l 的⽅向向量为a ,平⾯α的法向量为u ,直线与平⾯所成的⾓为θ,a 与u 的夹⾓为?,则θ为?的余⾓或?的补⾓的余⾓.即有:cos s .in a u a u ?θ?==3.如图,正⽅体1111ABCD A B C D -中,E 是1CC 的中点,求BE 与平⾯1B BD 所成⾓的正弦值.【答案】10. 【分析】建⽴空间直⾓坐标系,利⽤空间向量夹⾓公式进⾏求解即可.【详解】如图,建⽴空间直⾓坐标系,设正⽅体的棱长为2,则11(0,0,0),(2,2,0),(2,2,2),(0,2,1),(2,2,0),(0,0,2),(2,0,1)D B B E BD BB BE =--==-.设平⾯1B BD 的法向量为1(,,),,n x y z n BD n BB =∴⊥⊥,1220,20,n BD x y nBB z ??=--=?∴??==??,0.x y z =-?∴?=? 令1y =,则(1,1,0)=-n ,10cos ,||||n BE n BE n BE ?∴??==. 故BE 与平⾯1B BD 所成⾓的正弦值为10.【点睛】本题考查了利⽤空间向量线⾯夹⾓公式的应⽤,考查了数学运算能⼒.4.如图,在三棱锥A BCD -中,ABC 是等边三⾓形,90BAD BCD ∠=∠=?,点P 是AC 的中点,连接,BP DP .(1)证明:平⾯ACD ⊥平⾯BDP ;(2)若6BD =且⼆⾯⾓A BD C --为120?,求直线AD 与平⾯BCD 所成⾓的正弦值.【答案】(1)见解析(2)22【分析】(1)由ABC 是等边三⾓形,90BAD BCD ∠=∠=?,得AD CD =.再证明PD AC ⊥,PB AC ⊥,从⽽和证明AC ⊥平⾯PBD ,故平⾯ACD ⊥平⾯BDP 得证.(2)作CE BD ⊥,垂⾜为E 连接AE .由Rt Rt ABD CBD ?,证得,AE BD ⊥,AE CE =结合⼆⾯⾓A BD C --为120?,可得2AB =,23AE =,6ED =.建⽴空间直⾓坐标系,求出点的坐标则60,,03D ?? ? ???,3,0,13A ??- ? ???,向量36,,133AD ??=- ? ??? ,即平⾯BCD 的⼀个法向量(0,0,1)m =,运⽤公式cos ,m AD m AD m AD =和sin cos ,m AD θ=??,即可得出直线AD与平⾯BCD 所成⾓的正弦值.【详解】解:(1)证明:因为ABC 是等边三⾓形,90BAD BCD ∠=∠=?,所以Rt Rt ABD CBD ?,可得AD CD =.因为点P 是AC 的中点,则PD AC ⊥,PB AC ⊥,因为PD PB P =,PD ?平⾯PBD ,PB ?平⾯PBD ,所以AC ⊥平⾯PBD ,因为AC ?平⾯ACD ,所以平⾯ACD ⊥平⾯BDP .(2)如图,作CE BD ⊥,垂⾜为E 连接AE .因为Rt Rt ABD CBD ?,所以,AE BD ⊥,AE CE =AEC ∠为⼆⾯⾓A-BD-C 的平⾯⾓.由已知⼆⾯⾓A BD C --为120?,知120AEC ∠=?.在等腰三⾓形AEC 中,由余弦定理可得3AC AE =.因为ABC 是等边三⾓形,则AC AB =,所以3AB AE =.在Rt △ABD 中,有1122AE BD AB AD ?=?,得3BD =,因为BD =所以AD =⼜222BD AB AD =+,所以2AB =.则AE =,ED = 以E 为坐标原点,以向量,EC ED 的⽅向分别为x 轴,y 轴的正⽅向,以过点E 垂直于平⾯BCD 的直线为z 轴,建⽴空间直⾓坐标系E xyz -,则0,3D ?? ? ???,3A ??- ? ???,向量3,133AD ??=- ? ???,平⾯BCD 的⼀个法向量为(0,0,1)m =, 设直线AD 与平⾯BCD所成的⾓为θ,则cos ,22m ADm AD m AD ===-,2sin |cos ,|m AD θ=??=所以直线AD 与平⾯BCD 所成⾓的正弦值为2.【点睛】本题考查⾯⾯垂直的证明和线⾯所成⾓的⼤⼩,考查空间想象⼒和是数形结合的能⼒,属于基础题.⑶求⼆⾯⾓⼆⾯⾓的平⾯⾓是指在⼆⾯⾓βα--l 的棱上任取⼀点O ,分别在两个半平⾯内作射线l AO ⊥,β-l 的平⾯⾓.如图:求法:设⼆⾯⾓l αβ--的两个半平⾯的法向量分别为m n 、,再设m n 、的夹⾓为?,⼆⾯⾓l αβ--的平⾯⾓为θ,则⼆⾯⾓θ为m n 、的夹⾓?或其补⾓.π?- 根据具体图形确定θ是锐⾓或是钝⾓:如果θ是锐⾓,则cos cos m n m n θ??==,即arccos m nm n θ?=;如果θ是钝⾓,则cos cos m nm n θ??=-=-,即arccos m n m n θ??? ?=- ???. 5.如图所⽰,AE ⊥平⾯ABCD ,四边形AEFB 为矩形,//BC AD ,BA AD ⊥,224AE AD AB BC ====.(1)求证://CF 平⾯ADE ;(2)求平⾯CDF 与平⾯AEFB 所成锐⼆⾯⾓的余弦值.【答案】(1)见解析(2)23【分析】(1)根据//BF AE ,//BC AD ,从⽽证明平⾯//BCF 平⾯ADE ,从⽽//CF 平⾯ADE 。
高三理科 利用空间向量求空间角总结

高三 年级 数学 科辅导讲义(第 讲)学生姓名: 授课教师: 授课时间:一、复习引入1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
(回到图形) 2.向量的有关知识:(1)两向量数量积的定义:><=⋅,cos |||| (2)两向量夹角公式:||||,cos b a >=<(3)平面的法向量:与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析知识点1:面直线所成的角(范围:]2,0(πθ∈)(1)定义:过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a ´与b ´,那么直线a ´与b ´ 所成的锐角或直角,叫做异面直线a 与b 所成的角. (2)用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和,问题1: 当与的夹角不大于90的角θ与 和 的夹角的关系?问题 2:a 与b 的夹角大于90°时,,异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系?结论:异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|||||,cos |cos n m =><=θa思考:在正方体1111D C B A ABCD -中,若1E 与1F 分别为11B A 、11D C 的四等分点,求异面直线1DF 与1BE 的夹角余弦值?(1)方法总结:①几何法;②向量法(2)><11,cos BE DF 与><B E DF 11,cos 相等吗? (3)空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别?例1如图,正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2,求1AC 和1CB 所成的角.解法步骤:1.写出异面直线的方向向量的坐标。
空间向量知识点与题型归纳总结

空间向量知识点与题型归纳总结知识点精讲一、空间向量及其加减运算1.空间向量在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模,若向量a 的起点是A ,终点是B ,则向量a 也可以记作AB ,其模记为a 或AB .2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量,记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时,0AB =. 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面,成为同一平面内的两个向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量,称为a 的相反向量,记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算(1)OC OA OB a b =+=+,BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.(2)空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+,()()a b c a b c ++=++ 二、空间向量的数乘运算1.数乘运算实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时,a λ与向量a 方向相同;当0λ<时,向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a 的长度的λ倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()a b a b λλλ+=+,()()a a λμλμ=.3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a 平行于b ,记作//a b .4.共线向量定理对空间中任意两个向量a ,b ()0b ≠,//a b 的充要条件是存在实数λ,使a b λ=. 5.直线的方向向量如图8-153所示,l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+①,其中向量a 叫做直线l 的方向向量,在l 上取AB a =,则式①可化为()()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+②①和②都称为空间直线的向量表达式,当12t =,即点P 是线段AB 的中点时,()12OP OA OB =+,此式叫做线段AB 的中点公式.6.共面向量如图8-154所示,已知平面α与向量a ,作OA a =,如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.7.共面向量定理如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ,使p xa yb =+.推论:(1)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ,使AP xAB y AC =+;或对空间任意一点O ,有OP OA x AB y AC -=+,该式称为空间平面ABC 的向量表达式.(2)已知空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++(其中1x y z ++=)的点P 与点A ,B ,C 共面;反之也成立. 三、空间向量的数量积运算1.两向量夹角已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作OA a =,OB b =,则AOB ∠叫做向量a ,b 的夹角,记作,a b ,通常规定0,a b π≤≤,如果,2a b π=,那么向量a ,b 互相垂直,记作a b ⊥.2.数量积定义Aaaα图 8-154O已知两个非零向量a ,b ,则cos ,a b a b 叫做a ,b 的数量积,记作a b ⋅,即cos ,a b a b a b ⋅=.零向量与任何向量的数量积为0,特别地,2a a a ⋅=.3.空间向量的数量积满足的运算律: ()()a b a b λλ⋅=⋅,a b b a ⋅=⋅(交换律); ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律). 四、空间向量的坐标运算及应用(1)设()123,,a a a a =,()123,,b b b b =,则()112233,,a b a b a b a b +=+++;()112233,,a b a b a b a b -=---;()123,,a a a a λλλλ=; 112233a b a b a b a b ⋅=++;()112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠⇒===; 1122330a b a b a b a b ⊥⇒++=.(2)设()111,,A x y z ,()222,,B x y z ,则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---.这就是说,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标. (3)两个向量的夹角及两点间的距离公式. ①已知()123,,a a a a =,()123,,b b b b =,则221a a a ==+221b b b ==+;112233a b a b a b a b ⋅=++;cos ,a b =;②已知()111,,A x y z ,()222,,B x y z ,则(AB x =或者(),d A B AB =.其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离,这就是空间两点的距离公式.(4)向量a 在向量b 上的射影为cos ,a b a a b b⋅=.(5)设()0n n ≠是平面M 的一个法向量,AB ,CD 是M 内的两条相交直线,则0n AB ⋅=,由此可求出一个法向量n (向量AB 及CD 已知).(6)利用空间向量证明线面平行:设n 是平面的一个法向量,l 为直线l 的方向向量,证明0l n ⋅=,(如图8-155所示).已知直线l (l α⊄),平面α的法向量n ,若0l n ⋅=,则//l α.(7)利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线中各取一个方向向量a ,b ,只要证明a b ⊥,即0a b ⋅=.(8)利用空间向量证明线面垂直:即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.(9)证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.(10)空间角公式.①异面直线所成角公式:设a ,b 分别为异面直线1l ,2l 上的方向向量,θ为异面直线所成角的大小,则cos cos ,a b a b a bθ⋅==.②线面角公式:设l 为平面α的斜线,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,θ为l 与α所成角的大小,则sin cos ,a n a n a nθ⋅==.③二面角公式:设1n ,2n 分别为平面α,β的法向量,二面角的大小为θ,则12,n n θ=或12,n n π-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中1212cos n n n n θ⋅=.(11)点A 到平面α的距离为d ,B α∈,n 为平面α的法向量,则AB n d n⋅=.题型归纳及思路提示题型1 空间向量及其运算 思路提示空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算,可以类比平面向量的运算法则.一、空间向量的加法、减法、数乘运算例8.41 如图8-156所示,已知空间四边形OABC ,点,M N 分别为OA ,BC 的中点,且OA a =,OB b =,OC c =,用a ,b ,c 表示MN ,则MN = .解析 1122OM OA a ==,()()1122ON OB OC b c =+=+,()()111222MN ON OM b c a b c a =-=+-=+-.变式1 如图8-157所示,已知空间四边形OABC ,其对角线为OB ,AC ,M 和N 分别是对边OA 和BC的中点,点G 在线段MN 上,且2MG GN =,现用基向量OA ,OB ,OC 表示向量OG ,设OG xOA yOB zOC =++,则,,x y z 的值分别是( ).A 111,,333x y z === .B 111,,336x y z ===.C 111,,363x y z === .D 111,,633x y z ===变式2 如图8-158所示,在四面体O ABC -中,OA a =,OB b =,OC c =,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE = (用a ,b ,c 表示).变式 3 在空间四边形ABCD 中,连接对角线,AC BD ,若BCD ∆是正三角形,且E 为其重心,则1322AB BC DE AD +--的化简结果为 .变式4 如图8-159所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,M 为11A C 与11B D 的交点,若AB a =,AD b =,1AA c =,则下列向量中与BM 相等的向量是( ).A 1122a b c -++ .B 1122a b c ++ .C 1122a b c --+ .D 1122a b c -+二、空间共线向量定理的应用空间共线向量定理:()//0a b b a b λ≠⇔=. 利用此定理可解决立体几何中的平行问题.例8.42 已知3240m a b c =--≠,()182n x a b yc =+++,且,,a b c 不共面,若//m n ,求,x y 的值.解析 因为//m n 且0m ≠,所以n m λ=,即()()182324x a b yc a b c λ+++=--.又因为,,a b c 不共面,所以138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,解得138x y =-⎧⎨=⎩.二、空间向量的数量积运算121212cos ,a b a b a b x x y y z z ⋅==++;求模长时,可根据2222111a a x y z ==++;求空间向量夹角时,可先求其余弦值cos ,a b a b a b⋅=.要判断空间两向量垂直时,可以求两向量的数量积是否为0,即0a b a b ⋅=⇔⊥.,a b 为锐角0a b ⇒⋅>;,a b 为钝角0a b ⇒⋅<.由此,通常通过计算a b ⋅的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角.例8.43 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点,E F 分别是,BC AD 的中点,AE ⋅AF 的值为( )..A 2a .B 21.2B a 21.4C a 23.4D a 解析 依题意,点,EF 分别是,BC AD 的中点,如图8-160所示,AE ⋅AF ()1122AB AC AD =+⋅()14AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a =︒+︒=. 故选C . 变式1 如图8-161所示,已知平行六面体1111ABCD A B C D -中,1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒,且11A A AB AD ===,则1AC = .变式2 如图8-162所示,设,,,A B C D 是空间不共面的4个点,且满足0AB AC ⋅=,0AD AC ⋅=,0AD AB ⋅=,则BCD ∆的形状是( )..A 钝角三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 无法确定例8.44 如图8-163所示,在45︒的二面角l αβ--的棱上有两点,A B ,点,C D 分别在,αβ内,且AC AB ⊥,45ABD ∠=︒,1AC BD AB ===,则CD 的长度为 .分析 求CD 的长度转化为求空间向量CD 的模.解析 因为CD CA AB BD =++,故()22CD CA AB BD =++ 222222CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅1110211cos1352CA BD =++++⨯⨯⨯︒+⋅,设点C 在β内的射影为H ,则HA AB ⊥,,135HA BD =︒.故()CA BD CH HA BD CH BD HA BD ⋅=+⋅=⋅+⋅10cos1351cos 45cos1352HA BD =+︒=⨯︒︒=-.故222CD =,则22CD =-变式1 已知二面角l αβ--为60︒,动点,P Q 分别在面,αβ内,P 到β3Q 到α的距离为3,P Q 两点之间距离的最小值为( )..2.2B .23C .4D变式2 在直角坐标系中,设()3,2A ,()2,3B --,沿y 轴把坐标平面折成120︒的二面角后,AB 的长为( )..6A .42B .23C .211D例8.45 如图8-164所示,设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上,记11D PD Bλ=.当APC ∠为钝角时,求λ的取值范围.解析 由题设可知,以1,,DA DC DD 为单位正交基底,建立如图8-165所示的空间直角坐标系D xyz -,则有()1,0,0A ,()1,1,0B ,()0,1,0C ,()10,0,1D . 由()11,1,1D B =-,()11,,D P D B λλλλ==-,()()()111,0,1,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---,()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---. 显然APC ∠不是平角,所以APC ∠为钝角,cos cos ,0PA PC APC PA PC PA PC⋅∠==<,等价于0PA PC ⋅<,即()()()()()21110λλλλλ--+--+-<,得113λ<<.因此,λ的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭.评析 利用向量知识将APC ∠为钝角转化为cos ,0PA PC <求解是本题的关键.变式 1 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点P 在线段1BD 上,当APC ∠最大时,三棱锥P ABC -的体积为( ).1.24A 1.18B 1.9C 1.12D 例8.46 如图8-166所示,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为正三角形,底面ABCD 为正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,M 为底面ABCD 内的一个动点,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( ).解析 取AD 的中点O ,以OA 为x 轴,垂直于OA 的OE 为y 轴,OP 为z 轴,建立空间直角坐标系如图8-167所示.设(),,0M x y ,正方形的边长为a ,30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,,02a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则()222a MC x y a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭,22234MP x y a =++,MP MC =,得()22222324a a x y a x y ⎛⎫++-=++ ⎪⎝⎭,即202a x y -+=.所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段,且过D 点和AB 的中点.故选A .评注 本题利用空间线面位置关系求解也很快.由题意知空间内与两定点距离相等的点均在线段中垂面内,即M 在线段PC 的中垂面内.又M 为底面ABCD 内一动点,则M 的轨迹为两平面的交线落在底面内的部分,排除C 、D .又BP BC >,故排除B .故选A .变式1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )..A 直线 .B 椭圆 .C 抛物线 .D 双曲线变式2 空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离,已知平面α,β,γ两两互相垂直,点A α∈,点A 到β,γ的距离都是3,点P 是α上的动点,满足P 到β的距离是点P 到点A 距离的2倍,则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是( )..33A - .323B - .63C - .3D题型2 空间向量在立体几何中的应用 思路提示用向量法可以证点共线、线共点、线(或点)共面、两直线(或线与面、面与面)垂直的问题,也可以求空间角和距离.因此,凡涉及上述类型的问题,都可以考虑利用向量法求解,且其解法一般都比较简单.用向量法解题的途径有两种:一种是坐标法,即通过建立空间直角坐标系,确定出一些点的坐标,进而求出向量的坐标,再进行坐标运算;另一种是基底法,即先选择基向量(除要求不共面外,还要能够便于表示所求的目标向量,并优先选择相互夹角已知的向量作为基底,如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底),然后将有关向量用基底向量表示,并进行向量运算.一、证明三点共线(如A ,B ,C 三点共线)的方法先构造共起点的向量AB ,AC ,然后证明存在非零实数λ,使得AB AC λ=.例8.47 如图8-168所示,已知在长方体1111ABCD A B C D -中,点M 为1DD 的中点,点N 在AC 上,且:2:1AN NC =,点E 为BM 的中点.求证:1A ,E ,N 三点共线.解析 以D 为坐标原点建立空间直角坐标系-D xyz ,如图8-169所示.不妨设DA a =,DC b =,1DD c =,则0,0,2c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(),,0B a b ,,,224a b c E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()1,0,A a c ,2,,033a b N ⎛⎫⎪⎝⎭,则13,,224a b c A E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,122,,33a b A N c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,因为1143A N A E =,故1A ,E ,N 三点共线.变式 1 在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱1AA 和1CC 的中点,则在空间中与三条直线11A D ,EF ,CD 都相交的直线( )..A 不存在 .B 有且只有两条 .C 有且只有三条 .D 有无数条变式2 如图8-170所示,在空间四边形ABCD 中,M ,N 分别是AB 和CD 的中点,P 为线段MN 的中点,Q 为BCD ∆的重心.求证:,,A P Q 三点共线.二、证明多点共面的方法要证明多点(如A ,B ,C ,D )共面,可使用以下方法解题.先作出从同一点出发的三个向量(如AB ,AC ,AD ),然后证明存在两个实数,x y ,使得AD x AB y AC =+.例8.48 如图8-171所示,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,90BAD FAB ∠=∠=︒,1//2BC AD ,1//2BE AF .求证:,,,C D E F 四边共面.解析 由平面ABEF ⊥平面ABCD ,又AF AB ⊥,平面ABEF 平面ABCD AB =,得AF ⊥平面ABCD ,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A xyz -,如图8-172所示.设AB a =,BC b =,BE c =,则(),0,0B a ,(),,0C a b ,()0,2,0D b ,(),0,E a c ,()0,0,2F c .()0,,CE b c =-,()0,2,2DF b c =-,因为2DF CE =,所以//DF CE ,则,CE DF 确定一个平面,即,,,C D E F 四点共面.变式1 如图8-173所示,已知平行六面体1111ABCD A B C D -,,,,E F G H 分别是棱11111,,,A D D C C C AB 的中点.求证:,,,E F G H 四点共面.三、证明直线和直线平行的方法将证线线平行转化为证两向量共线.设,a b 是两条不重合的直线,它们的方向向量分别为,a b ,则()//,0a b a b R λλλ⇔=∈≠.例8.49 如图8-174所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段.求证:1//MN BD .解析 以点D 为坐标原点,建立空间直角坐标系D xyz -,如图8-175所示.设正方体的棱长为a ,则()1,0,A a a ,(),0,0A a ,()0,,0C a ,(),,0B a a ,()10,0,D a .设(),,z MN x y =,由MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段,得1MN A D ⊥,MN AC ⊥,又()1,0,A D a a =--,(),,0AC a a =-,故100MN A D MN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,00ax az ax ay --=⎧⎨-+=⎩, 令1x =,则1z =-,1y =,所以()1,1,1MN =-,()1,,BD a a a aMN =--=-,即1//BD MN .因此1//MN BD .四、证明直线和平面平行的方法(1)利用共面向量定理.设,a b 为平面α内不共线的两个向量,证明存在两个实数,x y ,使得l xa yb =+,则//l α.(2)转化为证明直线和平面内的某一直线平行.(3)转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(此方法最常用).例8.50 如图8-176所示,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知122DC DD AD AB ===,AD DC ⊥,//AB DC ,E 是DC 的中点.求证:1//D E 平面1A BD .解析 因为11D E DE DD =-,11DD AA =,E 是DC 的中点,12DE DC AB ==,所以111D E AB AA A B =-=.又因为1D E ⊄平面1A BD ,11//D E A B ,所以1//D E 平面1A BD .评注 利用空间向量证明线面平行,已知直线的方向向量为a ,只要在平面内找到一条直线的方向向量为b ,问题转化为证明a b λ=即可.变式1 如图8-177所示,已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别是PA 、 BD 上的点,且::5:8PM MA BN ND ==.求证:直线//MN 平面PBC .五、证明平面与平面平行的方法(1)证明两平面内有两条相交直线分别平行.(2)转化为证两平面的法向量平行(常用此方法).例8.51 如图8-178所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,,,M N P 分别是11111,,C C B C C D 的中点.求证:平面//MNP 平面1A BD .解析 解法一:以1D 为坐标原点,11D A 为x 轴,11D C 为y 轴,1D D 为z 轴,建立空间直角坐标系1D xyz -,如图8-179所示.设正方体的棱长为a ,则()1,0,0A a ,()0,0,D a ,()10,,0C a ,()0,,C a a ,()1,,0B a a ,0,,2a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,0,,02a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,,02a N a ⎛⎫⎪⎝⎭,()1,0,A D a a =-,11,0,222aa MN A D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以1//MN A D ,即1//MN A D ,(),,0BD a a =--,1,,0222a a PN BD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以//PN BD ,即//PN BD .因为MNPN N =,1A DBD D =,所以平面//MNP 平面1A BD .解法二:设平面MNP 的法向量为()1111,,n x y z =,由1MN n ⊥,1PN n ⊥,得1111022022a a x z a a x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,令11z =,得111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, 所以()11,1,1n =-.设平面1A BD 的法向量为()2222,,n x y z =,由12A D n ⊥,2BD n ⊥,得222200ax az ax ay -+=⎧⎨--=⎩,令21z =,得222111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, 所以()21,1,1n =-.因为12//n n ,所以平面//MNP 平面1A BD .变式1 如图8-180所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,,,E F G 分别是11111,,A D D D D C 的中点. 求证:平面//EFG 平面1AB C .六、证明直线与直线垂直的方法设直线12,l l 的方向向量为,a b ,则a b ⊥0a b ⇔⋅=.这里要特别指出的是,用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法.例8.52 如图8-181所示,四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为矩形,侧面ABC ⊥底面BCDE ,2BC =,2CD =,AB AC =.求证:AD CE ⊥.分析 平面ABC ⊥平面BCDE ,在平面ABC 内作AO BC ⊥AO ⇒⊥平面BCDE ,以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系.解析 作AO BC ⊥,垂足为O ,则AO ⊥平面BCDE ,且O 为BC 的中点,以O 为坐标原点,OC 为x 轴,建立如图8-182所示的直角坐标系O xyz -.设()0,0,A a ,由已知条件知()1,0,0C ,()1,2,0D ,()1,2,0E -,()2,2,0CE =-,()1,2,AD a =-.因为0CE AD=⋅,所以CE AD ⊥。
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利用空间向量求空间角考点与题型归纳一、基础知识1.异面直线所成角设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b ||a ||b |❶, 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向向量.2.直线与平面所成角如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n ||a ||n |❷.3.二面角(1)若AB ,CD 分别是二面角αl β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→的夹角,如图(1).(2)平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α l β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|=|n 1·n 2||n 1||n 2|❸,如图(2)(3).两异面直线所成的角为锐角或直角,而不共线的向量的夹角为(0,π),所以公式中要加绝对值.直线与平面所成角的范围为⎣⎡⎦⎤0,π2,而向量之间的夹角的范围为[0,π],所以公式中要加绝对值.利用公式与二面角的平面角时,要注意〈n 1,n 2〉与二面角大小的关系,是相等还是互补,需要结合图形进行判断.二、常用结论解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ=cos θ1cos θ2.如图,若OA 为平面α的一条斜线,O 为斜足,OB 为OA 在平面α内的射影,OC 为平面α内的一条直线,其中θ为OA 与OC 所成的角,θ1为OA 与OB 所成的角,即线面角,θ2为OB 与OC 所成的角,那么cos θ=cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角[典例精析]如图,在三棱锥P ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠BAC =90°.点D ,E ,N 分别为棱P A ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,P A =AC =4,AB =2.(1)求证:MN ∥平面BDE ;(2)已知点H 在棱P A 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721,求线段AH 的长. [解] 由题意知,AB ,AC ,AP 两两垂直,故以A 为原点,分别以AB ―→,AC ―→,AP ―→方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,4,0),P (0,0,4),D (0,0,2),E (0,2,2),M (0,0,1),N (1,2,0).(1)证明:DE ―→=(0,2,0),DB ―→=(2,0,-2). 设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→=0,n ·DB ―→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2y =0,2x -2z =0.不妨取z =1,可得n =(1,0,1).又MN ―→=(1,2,-1),可得MN ―→·n =0. 因为MN ⊄平面BDE ,所以MN ∥平面BDE . (2)依题意,设AH =h (0≤h ≤4),则H (0,0,h ), 进而可得NH ―→=(-1,-2,h ), BE ―→=(-2,2,2). 由已知,得|cos 〈NH ―→,BE ―→〉|=|NH ―→·BE ―→||NH ―→||BE ―→|=|2h -2|h 2+5×23=721, 整理得10h 2-21h +8=0,解得h =85或h =12.所以线段AH 的长为85或12.[解题技法]用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量; (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值.[提醒] 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别:当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,此夹角就是异面直线所成的角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角.[题组训练]1.如图所示,在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB =BC =AA 1,∠ABC =90°,点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是( )A .30°B .45°C .60°D .90°解析:选C 以B 为坐标原点,以BC 为x 轴,BA 为y 轴,BB 1为z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.设AB =BC =AA 1=2,则C 1(2,0,2),E (0,1,0),F (0,0,1),∴EF ―→=(0,-1,1),BC 1―→=(2,0,2),∴EF ―→·BC 1―→=2,∴cos 〈EF ―→,BC 1―→〉=22×22=12,则EF 和BC 1所成的角是60°,故选C.2.如图,在四棱锥P ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱形,AB =2,∠BAD =60°.(1)求证:BD ⊥平面P AC ;(2)若P A =AB ,求PB 与AC 所成角的余弦值. 解:(1)证明:因为四边形ABCD 是菱形, 所以AC ⊥BD .因为P A ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , 所以P A ⊥BD .又因为AC ∩P A =A ,所以BD ⊥平面P AC . (2)设AC ∩BD =O .因为∠BAD =60°,P A =AB =2, 所以BO =1,AO =CO = 3.如图,以O 为坐标原点,射线OB ,OC 分别为x 轴,y 轴的正半轴建立空间直角坐标系O xyz ,则P (0,-3,2),A (0,-3,0),B (1,0,0),C (0,3,0), 所以PB ―→=(1,3,-2),AC ―→=(0,23,0). 设PB 与AC 所成角为θ,则cos θ=|PB ―→·AC ―→||PB ―→||AC ―→|=622×23=64.即PB 与AC 所成角的余弦值为64. 考点二 直线与平面所成的角[典例精析](2019·合肥一检)如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,BF ⊥平面ABCD ,DE ⊥平面ABCD ,BF =DE ,M 为棱AE 的中点.(1)求证:平面BDM ∥平面EFC ;(2)若DE =2AB ,求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值. [解] (1)证明:连接AC 交BD 于点N ,连接MN , 则N 为AC 的中点,又M 为AE 的中点,∴MN ∥EC . ∵MN ⊄平面EFC ,EC ⊂平面EFC , ∴MN ∥平面EFC .∵BF ,DE 都与平面ABCD 垂直,∴BF ∥DE . ∵BF =DE ,∴四边形BDEF 为平行四边形,∴BD ∥EF . ∵BD ⊄平面EFC ,EF ⊂平面EFC , ∴BD ∥平面EFC .又MN ∩BD =N ,∴平面BDM ∥平面EFC . (2)∵DE ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是正方形,∴DA ,DC ,DE 两两垂直,如图,建立空间直角坐标系D xyz . 设AB =2,则DE =4,从而D (0,0,0),B (2,2,0),M (1,0,2),A (2,0,0),E (0,0,4),∴DB ―→=(2,2,0),DM ―→=(1,0,2), 设平面BDM 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→=0,n ·DM ―→=0,得⎩⎪⎨⎪⎧2x +2y =0,x +2z =0.令x =2,则y =-2,z =-1,从而n =(2,-2,-1)为平面BDM 的一个法向量.∵AE ―→=(-2,0,4),设直线AE 与平面BDM 所成的角为θ, 则sin θ=|cosn ,AE ―→|=|n ·AE ―→||n |·|AE ―→|=4515,∴直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为4515.[解题技法]利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线与平面所成的角.[题组训练]1.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB =2,BC =AA 1=1,则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________.解析:建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ,由于AB =2,BC =AA 1=1,所以A 1(1,0,1),B (1,2,0),C 1(0,2,1),D 1(0,0,1),所以A 1C 1―→=(-1,2,0),BC 1―→=(-1,0,1),D 1C 1―→=(0,2,0).设平面A 1BC 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1C 1―→·n =0, BC 1―→·n =0,即⎩⎪⎨⎪⎧-x +2y =0,-x +z =0,令x =2,得y =1,z =2,则n =(2,1,2).设D 1C 1与平面A 1BC 1所成角为θ,则sin θ=|cos 〈D 1C 1―→,n 〉|=|D 1C 1―→·n ||D 1C 1―→||n |=22×3=13,即D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为13.答案:132.如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,BA =BC =5,AC =8,D 为线段AC 的中点.(1)求证:BD ⊥A 1D ;(2)若直线A 1D 与平面BC 1D 所成角的正弦值为45,求AA 1的长.解:(1)证明:∵三棱柱ABC A 1B 1C 1是直三棱柱,∴AA 1⊥平面ABC ,又BD ⊂平面ABC ,∴BD ⊥AA 1, ∵BA =BC ,D 为AC 的中点,∴BD ⊥AC ,又AC ∩AA 1=A ,AC ⊂平面ACC 1A 1,AA 1⊂平面ACC 1A 1, ∴BD ⊥平面ACC 1A 1,又A 1D ⊂平面ACC 1A 1,∴BD ⊥A 1D . (2)由(1)知BD ⊥AC ,AA 1⊥平面ABC ,以D 为坐标原点,DB ,DC 所在直线分别为x 轴,y 轴,过点D 且平行于AA 1的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz .设AA 1=λ(λ>0),则A 1(0,-4,λ),B (3,0,0),C 1(0,4,λ),D (0,0,0), ∴DA 1―→=(0,-4,λ),DC 1―→=(0,4,λ),DB ―→=(3,0,0), 设平面BC 1D 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC 1―→=0,n ·DB ―→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧4y +λz =0,3x =0,则x =0,令z =4,可得y =-λ,故n =(0,-λ,4)为平面BC 1D 的一个法向量. 设直线A 1D 与平面BC 1D 所成角为θ,则sin θ=|cosn ,DA 1―→|=|n ·DA 1―→||n |·|DA 1―→|=|4λ+4λ|λ2+16·λ2+16=45,解得λ=2或λ=8, 即AA 1=2或AA 1=8.考点三 二面角[典例精析]如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB =5,AC =6,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE =CF =54,EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 位置,OD ′=10.(1)证明:D ′H ⊥平面ABCD ; (2)求二面角B D ′A C 的余弦值.[解] (1)证明:由四边形ABCD 为菱形,得AC ⊥BD . 由AE =CF =54,得AE AD =CFCD ,所以EF ∥AC .因此EF ⊥DH ,从而EF ⊥D ′H . 由AB =5,AC =6,得DO =BO =AB 2-AO 2=4.由EF ∥AC 得OH DO =AE AD =14,所以OH =1,D ′H =DH =3,则OD ′2=OH 2+D ′H 2,所以D ′H ⊥OH . 又OH ∩EF =H ,所以D ′H ⊥平面ABCD .(2)以H 为坐标原点,HB ,HF ,HD ′分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系H xyz ,如图所示.则B (5,0,0),C (1,3,0),D ′(0,0,3),A (1,-3,0), (由口诀“起点同”,我们先求出起点相同的3个向量.) 所以AB ―→=(4,3,0), AD ′―→=(-1,3,3),AC ―→=(0,6,0). (由口诀“棱排前”,我们用行列式求出两个平面的法向量.) 由⎩⎪⎨⎪⎧ AD ′―→=(-1,3,3), AB ―→=(4,3,0),可得平面ABD ′的法向量n 1=(-3,4,-5),由⎩⎪⎨⎪⎧AD ′―→=(-1,3,3), AC ―→=(0,6,0),可得平面AD ′C 的法向量n 2=(-3,0,-1). 于是cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=7525.所以二面角B D ′A C 的余弦值为7525.[解题技法](1)利用法向量求二面角的大小时,由于法向量的方向不同,两个法向量的夹角与二面角的大小可能相等,也可能互补.所以,两个法向量的夹角的余弦值与二面角的余弦值可能存在正负号的差异.(2)有时用观察法难以判定二面角是钝角还是锐角,为了保证解题结果准确无误,我们给出一种万无一失的方法:就是在两个半平面和二面角的棱上各取1个向量,要求这三个向量必须起点相同,在利用行列式计算法向量时,棱对应的向量必须排前面,即口诀“起点同,棱排前”,这样求出的两个法向量的夹角一定与二面角的大小相等.[题组训练]如图所示,四棱锥P ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,△DAB ≌△DCB ,E 为线段BD 上的一点,且EB =ED =EC =BC ,连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点,求证:平面P AD ⊥平面CGF ; (2)若BC =2,P A =3,求二面角B CP D 的余弦值. 解:(1)证明:在△BCD 中,EB =ED =EC =BC , 故∠BCD =90°,∠CBE =∠BEC =60°.∵△DAB ≌△DCB ,∴∠BAD =∠BCD =90°,∠ABE =∠CBE =60°,∴∠FED =∠BEC =∠ABE =60°.∴AB ∥EF ,∴∠EFD =∠BAD =90°, ∴EF ⊥AD ,AF =FD . 又PG =GD ,∴GF ∥P A .又P A ⊥平面ABCD ,∴GF ⊥平面ABCD , ∵AD ⊂平面ABCD ,∴GF ⊥AD . 又GF ∩EF =F ,∴AD ⊥平面CGF .又AD ⊂平面P AD ,∴平面P AD ⊥平面CGF .(2)以A 为坐标原点,射线AB ,AD ,AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (3,3,0),D (0,23,0),P (0,0,3),故CB ―→=(-1,-3,0), CP ―→=(-3,-3,3),CD ―→=(-3,3,0). 设平面BCP 的一个法向量为n 1=(1,y 1,z 1),则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·CB ―→=0,n 1·CP ―→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧ -1-3y 1=0,-3-3y 1+3z 1=0,解得⎩⎨⎧y 1=-33,z 1=23,即n 1=⎝⎛⎭⎫1,-33,23. 设平面DCP 的一个法向量为n 2=(1,y 2,z 2),则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD ―→=0,n 2·CP ―→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧-3+3y 2=0,-3-3y 2+3z 2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧y 2=3,z 2=2,即n 2=(1,3,2). 所以cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1||n 2|=43169×8=24, 由图知二面角B CP D 为钝角, 所以二面角B CP D 的余弦值为-24. [课时跟踪检测]A 级1.如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,已知M ,N 分别是BD 和AD 的中点,则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( )A.3030 B.3015 C.3010D.1515解析:选C 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则B 1(2,2,2),M (1,1,0),D 1(0,0,2),N (1,0,0),∴B 1M ―→=(-1,-1,-2), D 1N ―→=(1,0,-2),∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→||B 1M ―→|·|D 1N ―→|=|-1+4|1+1+4×1+4=3010. 2.如图,已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD =AA 1=1,AB =3,E 为线段AB 上一点,且AE =13AB ,则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )A.33535B.277C.33D.24解析:选A 如图,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,3,1),D 1(0,0,1),E (1,1,0),C (0,3,0),∴DC 1―→=(0,3,1), D 1E ―→=(1,1,-1), D 1C ―→=(0,3,-1). 设平面D 1EC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E ―→=0,n ·D 1C ―→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x +y -z =0,3y -z =0,取y =1,得n =(2,1,3).∴cosDC 1―→,n=DC 1―→·n |DC 1―→|·|n|=33535, ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为33535.3.在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1=2,二面角B AA 1C 1的大小为60°,点B 到平面ACC 1A 1的距离为3,点C 到平面ABB 1A 1的距离为23,则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为( )A.7B.6C.5D .2解析:选A 由题意可知,∠BAC =60°,点B 到平面ACC 1A 1的距离为3,点C 到平面ABB 1A 1的距离为23,所以在三角形ABC 中,AB =2,AC =4,BC =23,∠ABC =90°,则AB 1―→·BC 1―→=(BB 1―→-BA ―→)·(BB 1―→+BC ―→)=4, |AB 1―→|=22,|BC 1―→|=4, cosAB 1―→,BC 1―→=AB 1―→·BC ―→|AB 1―→|·|BC ―→|=24,故tanAB 1―→,BC 1―→=7.4.如图,正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都相等,E ,F ,G 分别为AB ,AA 1,A 1C 1的中点,则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )A.35 B.56 C.3310D.3610解析:选A 设正三棱柱的棱长为2,取AC 的中点D ,连接DG ,DB ,分别以DA ,DB ,DG 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B 1()0,3,2,F (1,0,1), E ⎝⎛⎭⎫12,32,0,G (0,0,2), B 1F ―→=()1,-3,-1,EF ―→=⎝⎛⎭⎫12,-32,1, GF ―→=(1,0,-1).设平面GEF 的法向量n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧ EF ―→·n =0,GF ―→·n =0,即⎩⎪⎨⎪⎧12x -32y +z =0,x -z =0,取x =1,则z =1,y =3,故n =()1,3,1为平面GEF 的一个法向量, 所以cos 〈n ,B 1F ―→〉=1-3-15×5=-35,所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为35.5.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22解析:选B 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ,设棱长为1,则A 1(0,0,1),E ⎝⎛⎭⎫1,0,12,D (0,1,0), ∴A 1D ―→=(0,1,-1), A 1E ―→=⎝⎛⎭⎫1,0,-12, 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1=(1,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·A 1D ―→=0,n 1·A 1E ―→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧y -z =0,1-12z =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧y =2,z =2,∴n 1=(1,2,2). 又平面ABCD 的一个法向量为n 2=(0,0,1), ∴cos 〈n 1,n 2〉=23×1=23.即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.6.如图,菱形ABCD 中,∠ABC =60°,AC 与BD 相交于点O ,AE ⊥平面ABCD ,CF ∥AE ,AB =2,CF =3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°,则AE =________.解析:如图,以O 为坐标原点,以OA ,OB 所在直线分别为x 轴,y 轴,以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.设AE =a ,则B (0,3,0),D (0,-3,0),F (-1,0,3),E (1,0,a ),∴OF ―→=(-1,0,3),DB ―→=(0,23,0), EB ―→=(-1,3,-a ).设平面BED 的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→=0,n ·EB ―→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧23y =0,-x +3y -az =0,则y =0,令z =1,得x =-a , ∴n =(-a,0,1),∴cos 〈n ,OF ―→〉=n ·OF ―→|n ||OF ―→|=a +3a 2+1×10.∵直线OF 与平面BED 所成角的大小为45°, ∴|a +3|a 2+1×10=22, 解得a =2或a =-12(舍去),∴AE =2.答案:27.如图,已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,且AC ⊥BD ,AC 与BD 交于O ,PO ⊥底面ABCD ,PO =2,AB =22,E ,F 分别是AB ,AP 的中点,则二面角F OE A 的余弦值为________.解析:以O 为坐标原点,OB ,OC ,OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz , 由题知,OA =OB =2,则A (0,-2,0),B (2,0,0),P (0,0,2),E (1,-1,0),F (0,-1,1), OE ―→=(1,-1,0),OF ―→=(0,-1,1),设平面OEF 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·OE ―→=0,m ·OF ―→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x -y =0-y +z =0.令x =1,可得m =(1,1,1).易知平面OAE 的一个法向量为n =(0,0,1),则cos 〈m ,n 〉=m ·n|m ||n |=33.由图知二面角F OE A 为锐角, 所以二面角F OE A 的余弦值为33. 答案:338.(2018·全国卷Ⅲ)如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧C D 所在平面垂直,M 是C D 上异于C ,D 的点.(1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ;(2)当三棱锥M ABC 体积最大时,求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值. 解:(1)证明:由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,又DM ⊂平面CMD ,所以BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ,D 的点,且DC 为直径, 所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM =C , 所以DM ⊥平面BMC . 因为DM ⊂平面AMD , 所以平面AMD ⊥平面BMC .(2)以D 为坐标原点, DA ―→的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz .当三棱锥M ABC 的体积最大时,M 为CD 的中点.由题设得D (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),M (0,1,1),AM ―→=(-2,1,1),AB ―→=(0,2,0),DA ―→=(2,0,0).设n =(x ,y ,z )是平面MAB 的法向量,又DA ―→是平面MCD 的一个法向量,所以cos 〈n ,DA ―→〉=n ·DA ―→|n ||DA ―→|=55,sin 〈n ,DA ―→〉=255.所以平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值是255.9.(2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥P ABC 中,AB =BC =22,P A =PB =PC =AC =4,O 为AC 的中点.(1)证明:PO ⊥平面ABC ;(2)若点M 在棱BC 上,且二面角M P A C 为30°,求PC 与平面P AM 所成角的正弦值.解:(1)证明:因为P A =PC =AC =4,O 为AC 的中点, 所以PO ⊥AC ,且PO =2 3.连接OB ,因为AB =BC =22AC , 所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB =12AC =2.所以PO 2+OB 2=PB 2,所以PO ⊥OB . 又因为OB ∩AC =O , 所以PO ⊥平面ABC .(2)以O 为坐标原点,OB ―→的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .由已知得O (0,0,0),B (2,0,0),A (0,-2,0),C (0,2,0),P (0,0,23),AP ―→=(0,2,23).取平面P AC 的一个法向量OB ―→=(2,0,0). 设M (a,2-a,0)(0<a ≤2),则AM ―→=(a,4-a,0). 设平面P AM 的法向量为n =(x ,y ,z ),令y =3a ,得z =-a ,x =3(a -4),所以平面P AM 的一个法向量为n =(3(a -4),3a ,-a ),所以cos 〈OB ―→,n 〉=23(a -4)23(a -4)2+3a 2+a 2.由已知可得|cos 〈OB ―→,n 〉|=cos 30°=32,所以23|a -4|23(a -4)2+3a 2+a 2=32, 解得a =43或a =-4(舍去).所以n =⎝⎛⎭⎫-833,433,-43.又PC ―→=(0,2,-23),所以cos 〈PC ―→,n 〉=833+8334+12·643+163+169=34.所以PC 与平面P AM 所成角的正弦值为34. B 级1.如图,四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形,AC ∩BD =O ,A 1O ⊥底面ABCD ,AB =2,AA 1=3.(1)证明:平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D ;(2)若∠BAD =60°,求二面角B OB 1C 的余弦值. 解:(1)证明:∵A 1O ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , ∴A 1O ⊥BD .∵四边形ABCD 是菱形,∴CO ⊥BD . ∵A 1O ∩CO =O ,∴BD ⊥平面A 1CO . ∵BD ⊂平面BB 1D 1D ,∴平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D .(2)∵A 1O ⊥平面ABCD ,CO ⊥BD ,∴OB ,OC ,OA 1两两垂直,以O 为坐标原点,OB ―→,OC ―→, OA 1―→的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.∵AB =2,AA 1=3,∠BAD =60°, ∴OB =OD =1,OA =OC =3, OA 1=AA 21-OA 2= 6.则O (0,0,0),B (1,0,0),C (0,3,0),A (0,-3,0),A 1(0,0,6),∴OB ―→=(1,0,0),BB 1―→=AA 1―→=(0,3,6), OB 1―→=OB ―→+BB 1―→=(1,3,6). 设平面OBB 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧OB ―→·n =0,OB 1―→·n =0,即⎩⎪⎨⎪⎧x =0,x +3y +6z =0.令y =2,得z =-1,∴n =(0,2,-1)是平面OBB 1的一个法向量. 同理可求得平面OCB 1的一个法向量m =(6,0,-1), ∴cosn ,m=n ·m|n |·|m |=13×7=2121,由图可知二面角B OB 1C 是锐二面角, ∴二面角B OB 1C 的余弦值为2121. 2.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,∠ADC =90°,AB ∥CD ,AB =2CD .平面P AD ⊥平面ABCD ,P A =PD ,点E 在PC 上,DE ⊥平面P AC .(1)求证:P A ⊥平面PCD ;(2)设AD =2,若平面PBC 与平面P AD 所成的二面角为45°,求DE 的长.解:(1)证明:由DE ⊥平面P AC ,得DE ⊥P A ,又平面P AD ⊥平面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD =AD ,CD ⊥AD ,所以CD ⊥平面P AD ,所以CD ⊥P A , 又CD ∩DE =D ,所以P A ⊥平面PCD . (2)取AD 的中点O ,连接PO , 因为P A =PD ,所以PO ⊥AD ,又平面P AD ⊥平面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD =AD , 所以PO ⊥平面ABCD ,以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ,由(1)得P A ⊥PD ,由AD =2得P A =PD =2,PO =1,设CD =a ,则P (0,0,1),D (0,1,0),C (a,1,0),B (2a ,-1,0), 则BC ―→=(-a,2,0),PC ―→=(a,1,-1). 设m =(x ,y ,z )为平面PBC 的法向量,由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC ―→=0,m ·PC ―→=0,得⎩⎪⎨⎪⎧-ax +2y =0,ax +y -z =0,令x =2,则y =a ,z =3a ,故m =(2,a,3a )为平面PBC 的一个法向量,由(1)知n =DC ―→=(a,0,0)为平面P AD 的一个法向量. 由|cosm ,n|=|m ·n ||m ||n |=|2a |a 10a 2+4=22,解得a =105,即CD =105,所以在Rt △PCD 中,PC =2155,由等面积法可得DE =CD ·PD PC =33.3.如图,在三棱锥P ABC 中,平面P AB ⊥平面ABC ,AB =6, BC =23,AC =26,D ,E 分别为线段AB ,BC 上的点,且AD =2DB ,CE =2EB ,PD ⊥AC .(1)求证:PD ⊥平面ABC ;(2)若直线P A 与平面ABC 所成的角为45°,求平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角大小.解:(1)证明:∵AC =26,BC =23,AB =6,∴AC 2+BC 2=AB 2,∴∠ACB =90°, ∴cos ∠ABC =236=33.又易知BD =2,∴CD 2=22+(23)2-2×2×23cos ∠ABC =8, ∴CD =22,又AD =4, ∴CD 2+AD 2=AC 2,∴CD ⊥AB .∵平面P AB ⊥平面ABC ,平面P AB ∩平面ABC =AB ,CD ⊂平面ABC , ∴CD ⊥平面P AB ,又PD ⊂平面P AB ,∴CD ⊥PD , ∵PD ⊥AC ,AC ∩CD =C , ∴PD ⊥平面ABC .(2)由(1)知PD ,CD ,AB 两两互相垂直,∴可建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ,∵直线P A 与平面ABC 所成的角为45°,即∠P AD =45°,∴PD =AD =4,则A (0,-4,0),C (22,0,0),B (0,2,0),P (0,0,4),∴CB ―→=(-22,2,0),AC ―→=(22,4,0),P A ―→=(0,-4,-4). ∵AD =2DB ,CE =2EB ,∴DE ∥AC , 由(1)知AC ⊥BC ,∴DE ⊥BC ,又PD ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,∴PD ⊥BC , ∵PD ∩DE =D ,∴CB ⊥平面PDE ,∴CB ―→=(-22,2,0)为平面PDE 的一个法向量. 设平面P AC 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→=0,n ·P A ―→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧22x +4y =0,-4y -4z =0,令z =1,得x =2,y =-1, ∴n =(2,-1,1)为平面P AC 的一个法向量. ∴cos n ,CB ―→=-4-24×12=-32, ∴平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为32, 故平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.。