空间向量题型归纳总结

空间向量题型归纳总结

类型一：空间向量的概念

1.给岀下列命题：

① 若a//b ，则存在为唯一的实数

•，使得a =；$.b

② 若a//b,b//c ，则a 与c 所在直线平行

③ 已知 a _b ，则 a （b ■ c ） ■ c （b _a ）二b c

④ A, B, M ,N 为空间四点，若 BA, BM , BN 不构成空间一个基底，则 A,B,M ,N 共面

已知｛a, b,c ｝是空间的一个基底，则基向量 a, b 可以与向量m=a 亠c 构成空间一个基底 则正确的命题的序号为：

—

3 " 1 ' 1 —

2.若A,B,C 不共线，对于空间任意一点 0都有OP OA OB 0C ,贝U P,A, B,C 四点（

）

4 8 8

] ] ] 1

I

3.已知A,B,C 三点不共线，对平面 ABC 外一点0，给出下列表达式： OM =xOA - yOB 0C ，其中

3 x, y 是实数，若

点M 与A, B,C 四点共面，贝U x y 二 _____________

类型二：空间向量的运算（1代数运算，2坐标运算）

4.在四面体OABC 中，G 是底面^ABC 的重心，则OG 等于（）

1 — 1 — 1 — OA OB OC

B. 2 2 2

111 ■ —OA+—OB+— OC D. 3 3 3

A.不共面

B.共面

C.共线

D.不共线

A. OA OB OC

C. 1 ■ 1 - —OA —OB 2 3

5.已知空间四边形 OABC ，其对角线为 OB,AC,M,N 分别是边OA,CB 的中点，点G 在线段MN 上，且 使 MG =2GN ，

用向量OA,OB,OC 表示OG 是（）

6.设O -ABC 是正三棱锥，G i 是AABC 的重心，G 是OG i 上的一点，且OG =3GG i ，若

OG =xOA yOB zOC ，

则（x, y,z ）为（）

7.空间四边形OABC ，各边及对角线长都相等， E,F 分别为AB,OC 的中点，求OE 与BF 所成的角

8.如图，空间四边形 OABC 中，O A 二a,OB =b,OC =c ，点M 在线段OA 上，且OM =2MA ，点N 为

BC 的中点,

则 MN 二（）

9.在四棱柱ABC^A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若 AB 1 =a ，&D 1二b ，"A 二c ，则下列

向量中与B 1M 相等的向量是（）

A. OG J O A —OB !OC

6 3

3

2 — 2 —

C. OG =OA OB OC

3 3

—

1 —-

1 —

2 — B. OG OA — OB OC

6

3

3

— 1 —- 2 ■ 2 —

D. OG OA OB OC

B.

D.

1 一 1 ■ 1 - C. — a b c

2 2 2

2 2 1 L D.—a b c

3

3

2 A.

B.

3

2 2

1 〜1 + - D. a b 」c

2 2

10.平行六面体 ABCD —ABGD i 中，AB =2, AA - =2

, AD =1，且 AB,AD,AA 的夹角都是 60 ,则

AC - BC 1 —

11.已知空间向量a =(1,n,2),b = (21,2)，若2a -b 与b 垂直，则|a|等于()

B. -21

.37 2

类型四：空间向量的应用(证明平行，垂直，相等，求边，夹角和面积)

12. ABC 的顶点分别为 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1)，贝U AC 边上的高 BD 等于()

A. 5

C. 4

13.已知 A(1,0,3),B(1,2,1),C(0,2,1)，三角形 ABC 的面积为()

A. 1

B. . 2

C. 2 •、2

D. 4

14.设A(1,2,-1), B(0,3,1),C( -2,1,2)是平行四边形的三个顶点，则此平行四边形的面积为

1 • 1 • • a b 」c

2 2

A.

D. 2 .5

15. 若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-9,4)，则则. ABC 的形状为()

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

16. 已知A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)，则P(2,1,4)到平面ABC 的距离是_________

17.已知向量F i =(1,2,-3), F2 = (~2,3,―1), F3 = (3,-4,5)，若F i, F2, F3共同作用在一

个物体上，使物体从

点M1(1,_2,1)

移到点M 2 (3,1,2)，则合力所做的功为___________________

18.已知i, j,k为两两垂直的单位向量，非零向量a =a1i亠a2 j亠a3k(a1, a2忌：=R)，若向量a与向量i, j, k

的夹角分别为

.-：•；,「，，则u COS2壽‘COS2匸'cos2_______________ =

19.正三棱柱ABC - ABC1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合

口.

(I)当CF =1时，求证：EF丄A1C ；

(u)设二面角C - AF - E的大小为，求tan二的最小值.

C