考点三 用空间向量求二面角

考点三用空间向量求二面角

【例3】(2019·北京海淀区模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.

(1)(一题多解)证明：OD⊥平面P AQ；

(2)若BE＝2AE，求二面角C－BQ－A的余弦值.

(1)证明法一取OO1的中点F，连接AF，PF，如图所示.

∵P为BC的中点，∴PF∥OB，

∵AQ∥OB，∴PF∥AQ，

∴P，F，A，Q四点共面.

由题图1可知OB⊥OO1，

∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O＝OO1，OB⊂平面BCO1O，

∴OB⊥平面ADO1O，

∴PF⊥平面ADO1O，

又OD⊂平面ADO1O，∴PF⊥OD.

由题意知，AO＝OO1，OF＝O1D，∠AOF＝∠OO1D，

∴△AOF≌△OO1D，

∴∠F AO ＝∠DOO 1，

∴∠F AO ＋∠AOD ＝∠DOO 1＋∠AOD ＝90°，∴AF ⊥OD .

∵AF ∩PF ＝F ，且AF ⊂平面P AQ ，PF ⊂平面P AQ ，

∴OD ⊥平面P AQ .

法二 由题设知OA ，OB ，OO 1两两垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设AQ 的长为m ，则O (0，0，0)，A (6，0，0)，B (0，6，0)，C (0，3，6)，D (3，0，6)，Q (6，m ，0).

∵点P 为BC 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，92，3， ∴OD →＝(3，0，6)，AQ →＝(0，m ，0)，PQ →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫6，m －92，－3. ∵OD

→·AQ →＝0，OD →·PQ →＝0， ∴OD

→⊥AQ →，OD →⊥PQ →，又AQ →与PQ →不共线， ∴OD ⊥平面P AQ .

(2)解 ∵BE ＝2AE ，AQ ∥OB ，∴AQ ＝12OB ＝3，

则Q (6，3，0)，∴QB

→＝(－6，3，0)，BC →＝(0，－3，6). 设平面CBQ 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，

由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·QB →＝0，n 1·BC →＝0，得⎩

⎨⎧－6x ＋3y ＝0，－3y ＋6z ＝0， 令z ＝1，则y ＝2，x ＝1，n 1＝(1，2，1).

易得平面ABQ 的一个法向量为n 2＝(0，0，1).

设二面角C －BQ －A 的大小为θ，由图可知，θ为锐角，

则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝66，