法向量求二面角-空间向量
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C1 A1
B1 E
C A
D
精品
B
2.(广州二模）如图，P A 平 面 A B C , B A C 9 0 0 D,E,F分别是AB,BC,CP的中点，AB=AC =1,PA=2.(1)求直线PA和平面DEF所成的 角的大小； (2)求点P到平面DEF的距离。
P
F
A
C
D
精品
E
B
小结： 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面 角方面的应用，注意所求角与法向量的联系， 掌握基本的思想方法。 2、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势
cos<ED,n>=1/4<ED,n>=arccos(1/4)
二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)
例
精品
例２．在四面体 ABCD中，AB⊥面 BCD，
BC=CD，∠BCD＝9 0 0，∠ADB= 3 0 0 ．E、F
分别是AＣ、AD的中点。 １）求证 平面BEF⊥平面ABC； ２）求二面角ＥＦ－Ｂ－ＣＤ的大小。
用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发 展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问 题的主要工具，故，学会用向量法解立体几何问 题是学好立体几何的基础。
精品
=
2
( =<BA , n > )
精品
例
2、利用平面法向量求二面角的大小
m n
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
精品
2、利用平面法向量求二面角的大小
指入、指出平面的法 向量的夹角的大小就 是二面角的大小。
（2，1，2） N
（1，2，2） 则
MF=（1,1，-2）
NF=（0，0，-2）
EF=（-1，1，-2），
设平面ENF的法向量 A
为n=(x,y,z),
x
D1 z E
D
{ 则
EFn=0 NFn=0
{
-x+y-2z=0 -2z=0
{ x=y 令x=y=1,则n=(1,1,0)
z=0
精品
M
C1
N B1
Cy
F B
2
解：（2）建系如图， D1 z
M
C1
由（1）得：面ENF
的法向量为
n=A1
E
（1，1，0），又
N B1
MF=（1，1，-2）
EF=（-1，1，-2）
D
设面EMF的法向量
Cy
为m=（x,y,z) ，则
F
{ MF.m=0 EFm=0
{-xx++yy--22zz==00
A
B
x
令z=1,则m=(0,2,1)
m n
如图：二面角的大小等于<m ,n>
精品
例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，
C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-
N的大小
D1
M
C1
A1
E
N B1
D
A
精品
C
F B
(2)
解：（1）建系如图
所示，设正方体棱长
为2,则M（0，1，2）
F（1，2，0） E A1
zＡ
Ｆ
Ｂ
x 精品
Ｅ
Ｄ
y
Ｃ
广州一模
1.如图,正 A B C 按 它 的 一 个 法 向 量 n 平 移 到 A 1 B 1 C 1
D ,E 分 别 是 B C ,C C 1 的 中 点 ， ABAA1 2
(1)证 明 ： BEAB 1;
( 2 ) 求 二 面 角 B A B 1 D 的 大 小 。
cos<m,n>=10/5 由题意可知，所
{
x=0 y=2z
求二面角为锐角，故所求二面角的 大小为arccos(10/5)
精品
（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2， 原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1， 0）点D在平面yoz上，且BDC=90º， DCB=30º,求二面角D-BA-C的大小
平面法向量 在立体几何中的应用
——利用法向量求二面角
精品
(一)平面的法向量的定义：
如果n,那么向
量n叫做平面的
法向量
n
精品来自百度文库
（二）平面法向量的应用
1、利用平面法向量求直线 A 与平面所成的角：
直线与平面所成的
角等于平面的法向 量所在的直线与已 知直线的夹角的余
n
B
C
角。
如图：直线AB与平面所成的角
(0,-1/2,3/2) z D
B
E
(0,-1,0)
O 30º
y
C (0,1,0)
x
精品
A (1,1,0)
解：由题可知B（0，-1，0），C（0，1，0）， 又A（1，1，0），得AC=1，AB=5，又 BC=2， ACB=90º，又BCD=30º， BDC=90º，故BD=1，CD=3，由D点向 BC作垂线DE，则DE=3/2，OE=1/2，得D （0，-1/2，3/2）， E（0，-1/2，0）， ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/ 2),面ABC的法向量为ED，可求得面ABD的 法向量为n=(23,-3,1)
B1 E
C A
D
精品
B
2.(广州二模）如图，P A 平 面 A B C , B A C 9 0 0 D,E,F分别是AB,BC,CP的中点，AB=AC =1,PA=2.(1)求直线PA和平面DEF所成的 角的大小； (2)求点P到平面DEF的距离。
P
F
A
C
D
精品
E
B
小结： 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面 角方面的应用，注意所求角与法向量的联系， 掌握基本的思想方法。 2、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势
cos<ED,n>=1/4<ED,n>=arccos(1/4)
二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)
例
精品
例２．在四面体 ABCD中，AB⊥面 BCD，
BC=CD，∠BCD＝9 0 0，∠ADB= 3 0 0 ．E、F
分别是AＣ、AD的中点。 １）求证 平面BEF⊥平面ABC； ２）求二面角ＥＦ－Ｂ－ＣＤ的大小。
用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发 展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问 题的主要工具，故，学会用向量法解立体几何问 题是学好立体几何的基础。
精品
=
2
( =<BA , n > )
精品
例
2、利用平面法向量求二面角的大小
m n
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
精品
2、利用平面法向量求二面角的大小
指入、指出平面的法 向量的夹角的大小就 是二面角的大小。
（2，1，2） N
（1，2，2） 则
MF=（1,1，-2）
NF=（0，0，-2）
EF=（-1，1，-2），
设平面ENF的法向量 A
为n=(x,y,z),
x
D1 z E
D
{ 则
EFn=0 NFn=0
{
-x+y-2z=0 -2z=0
{ x=y 令x=y=1,则n=(1,1,0)
z=0
精品
M
C1
N B1
Cy
F B
2
解：（2）建系如图， D1 z
M
C1
由（1）得：面ENF
的法向量为
n=A1
E
（1，1，0），又
N B1
MF=（1，1，-2）
EF=（-1，1，-2）
D
设面EMF的法向量
Cy
为m=（x,y,z) ，则
F
{ MF.m=0 EFm=0
{-xx++yy--22zz==00
A
B
x
令z=1,则m=(0,2,1)
m n
如图：二面角的大小等于<m ,n>
精品
例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，
C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-
N的大小
D1
M
C1
A1
E
N B1
D
A
精品
C
F B
(2)
解：（1）建系如图
所示，设正方体棱长
为2,则M（0，1，2）
F（1，2，0） E A1
zＡ
Ｆ
Ｂ
x 精品
Ｅ
Ｄ
y
Ｃ
广州一模
1.如图,正 A B C 按 它 的 一 个 法 向 量 n 平 移 到 A 1 B 1 C 1
D ,E 分 别 是 B C ,C C 1 的 中 点 ， ABAA1 2
(1)证 明 ： BEAB 1;
( 2 ) 求 二 面 角 B A B 1 D 的 大 小 。
cos<m,n>=10/5 由题意可知，所
{
x=0 y=2z
求二面角为锐角，故所求二面角的 大小为arccos(10/5)
精品
（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2， 原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1， 0）点D在平面yoz上，且BDC=90º， DCB=30º,求二面角D-BA-C的大小
平面法向量 在立体几何中的应用
——利用法向量求二面角
精品
(一)平面的法向量的定义：
如果n,那么向
量n叫做平面的
法向量
n
精品来自百度文库
（二）平面法向量的应用
1、利用平面法向量求直线 A 与平面所成的角：
直线与平面所成的
角等于平面的法向 量所在的直线与已 知直线的夹角的余
n
B
C
角。
如图：直线AB与平面所成的角
(0,-1/2,3/2) z D
B
E
(0,-1,0)
O 30º
y
C (0,1,0)
x
精品
A (1,1,0)
解：由题可知B（0，-1，0），C（0，1，0）， 又A（1，1，0），得AC=1，AB=5，又 BC=2， ACB=90º，又BCD=30º， BDC=90º，故BD=1，CD=3，由D点向 BC作垂线DE，则DE=3/2，OE=1/2，得D （0，-1/2，3/2）， E（0，-1/2，0）， ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/ 2),面ABC的法向量为ED，可求得面ABD的 法向量为n=(23,-3,1)