专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-

专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法

【高考地位】

立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.

类型一 空间中线线角的求法

方法一 平移法

例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.

6π B. 4π C. 3π D. 2

π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点

F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）

在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）

A B C D ．

79

【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体

1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）

A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．,63ππ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦

C ．,43ππ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦

D ．,

32ππ⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，

2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所

成的角为（ ）

A ．

π

6

B ．

π4

C ．

π3

D ．

π2

【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，

4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC

上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）

A ．

1

6

B ．

3

C D ．

6

方法二 空间向量法

例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，

F ，

G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为

（ ） A ．30

B ．60︒

C ．90︒

D ．120︒

例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，

14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）

A ．

34

B ．34

-

C D ．

6

【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，

且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）

A ．

6

π B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体

1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小

时，其余弦值为（ ）

A ．0

B ．

1

2

C D ．

1116

类型二 空间中线面角的求法

方法一 垂线法

第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；

第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.

例3如图，四边形ABCD

是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平

面ABCD .

（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；

（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.

【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）

A ．13 B

． C

．3 D ．23

【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π

3

EDC ∠=

．

（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；

（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；

G

F

E

D

C

B

A