利用空间向量知识求空间中的二面角ppt课件

A. 15 6
B．－ 15 6
C. 15 3
D．以上都不对
(2)PA ⊥平面ABC，AC⊥BC，PA ＝AC＝1，BC＝2. 求二面角A-PB-C的余弦值．
第七章 空间中的向量方法
课堂小结：利用空间向量求二面角的方法 (1) 若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱 l垂直的异面直线, 则两个平面的夹角的大小就是向量 AB与 CD 的夹角。。。。 (2) 设n1, n2分别是平面α,β的法向量 , 则向量n1与n2的夹角 ( 或其补角) 就是两个平面夹角的大小。
22
22
??AM n1 ? 0，
? ? AN
n1
?
0，
? ??
?
1 2
x
?
1 2
z
?
0，
?
? ?
?
1 2
x
?
1 2
y
?
0.
令x＝1，解得y＝1，z ＝1，
所以n1＝(1 ，1，1) ．同理可求得平面BMN的一个法向量
n2＝(1 ，－1，－1) ．
所以
cos 〈n1，n2〉=
n1 n2 ＝ n1 n2
? 1 ＝－ 1 . 3? 3 3
故所求两平面所成角的余弦值为 1.
3
第七章 空间中的向量方法
练习：如图所示，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为 正方形，PD⊥平面 ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G 分别为PC，PD，BC的中点． (1)求证：PA⊥EF. (2)求二面角 D-FG-E 的余弦值．
第七章 空间中的向量方法
【解析】以D为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1), F(0,0,1),G(-2,1,0).
(1) 证明：由于 PA ＝(0 ，2，－2) ， EF ＝(1 ，0，0) ，
第八章 第七讲 立体几何中的向量方法
第3课时 利用向量知识求空间二面角
第七章 空间中的向量方法
掌握利用向量方法解决面面的夹角的求法． 重点：二面角与向量夹角的关系． 难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表 达线面角和二面角．
第七章 空间中的向量方法
知识点：二面角 温故知新 1．回顾复习二面角及其平面角的定义，求法． 思维导航 2．怎样用空间向量来求二面角的大小？
则 PA EF ＝1×0＋0×2＋( －2) ×0＝0， 所以PA⊥EF.
第七章 空间中的向量方法
(2) 易知 DF ＝(0 ，0，1) ， EF＝(1 ，0，0) ， FG＝ ( －2，1，－1) ， 设平面DFG的法向量 m＝(x 1，y1，z 1) ，
则
??m DF ? 0，
? ?m
FG
?
0，
利用向量法求二面角的两种方法
(1) 若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱 l垂直的异面直线, 则两个平面的夹角的大小就是向量 AB 与 CD 的夹角, 如图①. (2) 设n1, n2分别是平面α,β的法向量 , 则向量n1与n2的夹角 ( 或其补角) 就是两个平面夹角的大小, 如图②
第七章 空间中的向量方法
第七章 空间中的向量方法
3．用向量方法求二面角 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向
量大为小为n2，φ，<n则1，|cons2φ>|＝＝_θ_，|c_o_则s_θ_二|__面__角＝α_－_||n_ln－1_1|··_n|nβ_22为|_| _θ_或_．π－θ．设二面角
第七章 空间中的向量方法
解得
?z1 ? 0，
? ?
?
2x1
?
y1
?
z1
?
0.
令x1＝1，得m＝(1 ，2，0) 是平面DFG的一个法向 量．
第七章 空间中的向量方法
设平面EFG的法向量n＝(x 2，y2，z 2) ，
同理可得n＝(0 ，1，1) 是平面EFG的一个法向量．
因为cos
〈m，n〉＝
|
m m|
n |n
＝ |
2 5
第七章 空间中的向量方法
＝ 2
2＝ 10
10 ， 5
设二面角D-FG-E 的平面角为θ，由图可知θ＝π－〈 m，
n〉，
所以cos θ＝ － 10，
5
所以二面角D-FG-E 的余弦值为－
.150 ，
第七章 空间中的向量方法
课后训练： (1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向 量分别为 (0,-1,3), (2,2,4), 则这个二面角的余弦值为( )
例题讲解：正方体 ABEF-DCE′F′中 , M,N分别为 AC,BF 的中点 (如图 ),求平面 MNA 与平面 MNB 所成 角的余弦值 .
第七章 空间中的向量方法
【解析】 方法一：设正方体棱长为 1. 以B为坐标原点， BA，BE，BC所在直线分别为 x轴，y轴，z 轴建立空间 直角坐标系 B-xyz ，则A(1 ，0，0) ，B(0 ，0， 0) ．取MN的中点 G，连接 BG，AG，则 G( 1，1，1)． 因为△AMN，△BMN为等腰三角形， 2 4 4 所以AG⊥MN，BG⊥MN.所以∠AGB为 二面角的平面角或其补角．
因为 GA＝( 1，－ 1，－ 1 )，
244
GB＝(－ 1，－ 1，－ 1 )， 244
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所以
cos〈GA，GB〉＝
GA GA
GB GB
＝?
1
8 ＝－1 .
3? 3
3
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第七章 空间中的向量方法
故所求两平面所成角的余弦值为 1 .
3
方法二：设平面AMN的法向量n1＝(x ，y，z) ．
AM＝(－ 1，0，1 )，AN＝(－ 1，1，0．)