法向量求二面角-空间向量

D1 z E
M N B1
C1
D F B
C y
EFn=0 -x+y-2z=0 { -2z=0 则{ NFn=0 { x=y 令x=y=1,则n=(1,1,0) z=0
2
解：（2）建系如图， 由（1）得：面ENF 的法向量为 A1 n=（1，1，0），又 MF=（1，1，-2） EF=（-1，1，-2） 设面EMF的法向量 为m=（x,y,z) ，则 A MF.m=0 x+y-2z=0 {-x+y-2z=0
(0,-1/2,3/2) D z
O
30º
y
B (0,-1,0) x
E
C (0,1,0)
A (1,1,0)
解：由题可知B（0，-1，0），C（0，1，0）， 又A（1，1，0），得AC=1，AB=5，又BC=2， ACB=90º ，又BCD=30º ，BDC=90º ，故 BD=1，CD=3，由D点向BC作垂线DE，则 DE=3/2，OE=1/2，得D（0，-1/2，3/2）， E（0，-1/2，0）， ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/2) ,面ABC的法向量为ED，可求得面ABD的法向量 为n=(23,-3,1)
平面法向量 在立体几何中的应用
——利用法向量求二面角
(一)平面的法向量的定义：
如果n,那么向 量n叫做平面的 法向量
n

（二）平面法向量的应用
1、利用平面法向量求直线 与平面所成的角： 直线与平面所成的 角等于平面的法向 量所在的直线与已 知直线的夹角的余 角。
A n C
B
如图：直线AB与平面所成的角 = 2 ( =<BA , n > )
z
Ａ Ｆ
Ｅ
Ｂ
x
Ｄ y Ｃ
1.如图,正 ABC按它的一个法向量n平移到ABC1 1 1 D, E分别是BC, CC1的中点， AA1 2 AB (1)证明：BE AB1; (2)求二面角B AB1 D的大小。
C1 A1 B1 E
广州一模
C A D B
2.(广州二模）如图， 平面ABC, BAC 900 PA

例
2、利用平面法向量求二面角的大小
m
n

求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
2、利用平面法向量求二面角的大小
m n
指入、指出平面的法 向量的夹角的大小就 是二面角的大小。
如图：二面角的大小等于<m ,n>
例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E， F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的 中点，求二面角M-EF-N的大小
D1
E M N A1
C1
B1
D F A B
C
(2)
解：（1）建系如图 所示，设正方体棱长 为2,则M（0，1，2） A1 F（1，2，0） E（2，1，2） N（1，2，2） 则 MF=（1,1，-2） NF=（0，0，-2） EF=（-1，1，-2）， A 设平面ENF的法向量 x 为n=(x,y,z),
D,E,F分别是AB,BC,CP的中点，AB=AC
=1,PA=2.(1)求直线PA和平面DEF所成的 角的大小； (2)求点P到平面DEF的距离。
P F A D B E
C
小结： 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面 角方面的应用，注意所求角与法向量的联系， 掌握基本的思想方法。 2、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的 发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几 何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体 几何问题是学好立体几何的基础。
D1
z
M N E B1
C1
D F B
C y
{ EFm=0
x
{ x=0 y=2z
令z=1,则m=(0,2,1) cos<m,n>=10/5 由题意可知，所 求二面角为锐角，故所求二面角的 大小为arccos(10/5)
（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2， 原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1，0） 点D在平面yoz上，且BDC=90º ，DCB=30º , 求二面角D-BA-C的大小
cos<ED,n>=1/4<ED,n>=arccos(1/4) 二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)
例
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例２．在四面体ABCD中，AB⊥面BCD， 0 BC=CD，∠BCD＝90 ，∠ADB= 300 ．E、F 分别是AＣ、AD的中点。 １）求证 平面BEF⊥平面ABC； ２）求二面角ＥＦ－Ｂ－ＣＤ的大小。