无穷级数习题课有答案

第十二章 无穷级数习题课

一、本章主要内容

常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点

用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、例题选讲

例1：判别级数()

21ln 1ln ln 1n n n n ∞

=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+∑的敛散性。

（用定义）

解：原式=()()2

2ln 1ln 11

()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞

∞==+-=-++∑∑

级数的部分和1

11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪

⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭

111ln 2ln(1)ln 2

n =

-→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于

1

ln 2

。

例2：判别下列级数的敛散性

（1）111ln n n n n ∞

=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ， （2）2

11ln n n n ∞=-∑ ， （3）121n

n n n ∞

=⎛⎫

⎪+⎝⎭∑ （4）()1

1!2!!

2!n n n ∞

=+++∑ ，（5）()()()21111n n

n x x x x ∞

=+++∑ ，（0x ≥） （6）

ln 113

n

n ∞

=∑ 解：（1）因为ln(1)ln n n +<，所以

1111ln ln(1)0n n n n n

+-=-+>， 而 111ln

ln ln 1111n n n n n n +⎛

⎫-==-<- ⎪

+++⎝⎭

，

有

2111111ln 1(1)n n n n n n n n

+-<-=<++， 由比较审敛法知，级数

11

1ln n n n n ∞

=+⎛⎫- ⎪⎝

⎭∑收敛。 （2）因为 22

21ln lim lim n n n n n u n n →∞→∞==-，又211

n n

∞

=∑收敛，所以原级数收敛。

（3）用根值法

11212lim n n n n →∞→∞

==<+ ，所以原级数收敛。 （4）()()()()1!2!!11!!211!n n n n n n +++<--+=--

()2!1!2!n n n =--<

所以 ()()()()12!21

2!122122

n n n u n n n n n -<

=<++- 有比较法知，原级数收敛。 （5）比值法：

11

1lim lim n n n n n u x

u x ++→∞→∞=+， 当01x ≤<时，

1

1lim n n n

u x u +→∞=<，级数收敛， 当1x =时，

11

12lim n n n

u u +→∞=<，级数收敛， 当1x >时，

1

01lim n n n

u u +→∞=<，级数收敛。 所以，当0x ≥时，级数收敛。 （6）1

01133ln 31

y

x y e dx dy ∞

∞==-⎰

⎰，所以原级数收敛。

例4：判断级数

2

1sin ln n n n π∞

=⎛

⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性。

解：()11sin

ln n

n u n

=- 1sin ln n u n =，又11ln n n >，知级数21

ln n n ∞=∑发散，从而2

n n u ∞

=∑发散，即级数非绝对收敛。

因为

1

sin

0ln lim n n

→∞

=，且1sin ln x 在()2+∞，内单调减少，由莱布尼兹判别法知，原级数

条件收敛。

例3：证明级数

(

)

n-1

2

11n ∞

=⎛⎫--- ⎝∑收敛。 证：设(

)1f x =-，则原级数为()()n-1

2

1n f n ∞

=-∑， 又(

)3

2110,(0)2f x x x -⎛⎫

'=-<> ⎪ ⎪⎝⎭

，即()f x 在()0,+∞内单调下降， 从而()()1f n f n >+，且

()0lim n f n →∞

=，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。

例4：设数列{}n a 为单调增加的有界正数列，证明级数

211n n n a a ∞

=+⎛⎫- ⎪⎝⎭

∑收敛。 证明：因为数列{}n a 为单调增加有上界，所以极限存在。设

lim n

n a

a →∞

=，考虑

11111

01n n n n n n n n a a a a a

u a a a ++++--<=-

=< 而级数

()()1

1112

lim n n n n n a

a a a a a ∞

++→∞

=-=-=-∑存在，由比较审敛法知，原级数收敛。

例5：求下列幂级数的收敛域

（1）12n n n x n ∞

=∑ ， （2）2112sin 22n

n x n x ∞

=+⎛

⎫⎛⎫ ⎪⎪

-⎝⎭⎝⎭∑ ，（3）()()

2

321n

n n

n x n ∞=+-+∑

解：（1）

()

11

212lim lim n n n n a n a n +→∞→∞==+，所以收敛半径为2R =，收敛区间()2,2-。 2x =时，级数11n n ∞

=∑发散；2x =-时，()11

1n n n ∞

=-∑收敛。所以收敛域为[)2,2-。

（2）令122x t x +=-，原级数为21sin 2n n t n ∞

=⎛

⎫ ⎪⎝

⎭∑