(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十章 无穷级数 习题详细解答
解 若级数分别为
∑u
n =1 ∞
∞
n
= 1 − 1 + 1 − " + (−1) n −1 + " ；
∑v
n =1 ∞
n
= −1 + 1 − 1 + " + (−1) n + " ；
∞ ∞
则级数
∞
∑ (u n + vn ) 显 然 收 敛 ； 但 是 如 果 另 外 有 级 数 ∑ wn = ∑ u n ， 则 级 数
（3） （5） ∑ ( n + 2 − 2 n + 1 + n ) ;
n =1 ∞
（6）
1 1 1 1 + + 3 + 4 +"; 3 3 3 3
（7） ( − ) + (
1 1 1 1 1 1 − 2 ) + "" + ( n − n ) + " ; 2 3 2 3 2 3 2 1 3 5 7 2n − 1 +"; （8） + + + + " + 3 5 7 9 2n + 1
敛，由比较判别法,故级数
(sin 2n) 2 也收敛. ∑ 6n n =1
∞
（5）当 a > 1 时， u n =
∞ ∞ 1 1 1 1 ，而 收敛，故 收敛 < ∑ ∑ n n n n a 1+ a n =1 a n =1 1 + a
当 0 ≤ a ≤ 1 时， lim u n = lim
n→∞ ∞
（4）因为 S n = sin （5）因为
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
(整理)第十一章无穷级数(答案)34872
第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a ，则级数∑∞=1n nauBA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a 收敛，当0<a 发散D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。
4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na 收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→nn u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21n u n≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p9、级数∑∞=1n na收敛，是级数∑∞=1n na绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 A A 、0>p B 、0≥p C 、1>p D 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n n n n k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关 12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sin n naAA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、D A 、收敛，收敛 B 、发散，发散 C 、收敛，发散 D 、发散，收敛 14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n n n 15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n n n D 、∑∞=-12)1(n n n16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n n n C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n n n n B 、∑∞=+-11)1(n n n n C 、∑∞=+-121)1(n nnn D 、∑∞=-12!)1(n nn n 18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x 的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2- C 、(-2,2) D 、(]2,2-19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x 的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1-20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2-二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n n n n α收敛。
第8章 无穷级数--答案
收敛，
∞
∑u
n =1
∞
2 n
和
∑v
n =1
∞
2
n
都收敛.
（C）若正项级数
∞
∑u
n =1
n
发散，则 un ≥
1 . n
（D）若级数
∑ un 收敛，且 un ≥ vn ( n = 1, 2,
n =1
) ，则 ∑ vn 2 也收敛.
n =1
∞
解，选 A, ( un + vn ) = un + 2un vn + vn ≤ 2(un + vn ) ,因为
1 1+ x ⎧ , x <1 ⎪−1 + ln 由于 S1 ( 0 ) = 0 ，故 S1 ( x ) = ⎨ 2x 1− x ⎪0, x=0 ⎩ 1 ⎧ 1 1+ x − , x <1 ⎪ ln S ( x ) = S1 ( x ) − S2 ( x ) = ⎨ 2 x 1 − x 1 − x 2 ⎪0, x=0 ⎩
7． （95）将函数 f ( x ) = ln 1 − x − 2 x 解： f ( x ) = ln 1 − x − 2 x
(
2
) 展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间。
(
2
) = ln (1 + x ) + ln (1 − 2 x )
4
ln (1 + x ) = ∑ ( −1)
n=0 ∞
∞
n
第8章 一、填空选择 1． （91）设 0 ≤ an < （A）
无穷级数 (答案)
1 ( n = 1, 2, n
∞
) ，则下列级数中肯定收敛的是（
高等数学无穷级数上课习题与答案
第一次作业1.写出级数√x2+x2?4+x√x2?4?6+x22?4?6?8+?的一般项。
解：一般项为u n=(x12)n (2n)!!2.已知级数∑2n n! n n∞n=1收敛，试求极限limn→∞2n n!n n。
解：由级数收敛必要条件可知lim n→∞2n n!n=03.根据级数性质，判定级数∑(15n+2n)∞n=1的敛散性。
解：因为级数∑(1 5n )∞n=1收敛，级数∑(2n)发散，∞n=1所以由性质可推导出级数∑(15n+2n)发散。
∞n=14.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n−1−√n)的敛散性，∞n=1若收敛，求其和。
解：设u n=√n−1−√n ,S n=√2−1+√3−√2+√4−√3+?+√n−1−√n=√n+1−1=n1+√n+1因为limn→∞S n=limn1+√n+1=∞ ,所以所求级数发散。
5.判定级数∑√n +1n∞n=1的敛散性。
解：因为lim n→∞u n =lim n→∞√n +1n=1≠0 ， 所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n +1n∞n=1发散 。
6.1√2−1−1√2+1+1√3−1−1√3+1的敛散性。
解：原式=(1√2−1−1√2+1)+(1√3−1−1√3+1)+?=12(1+12+13+?1n +?)=12∑1n∞n=1 第二次作业1.根据P—级数的敛散性，判定级数∑2n +1()2()2∞n=1 的敛散性。
解：因为2n +1(n +1)2(n +2)2<2n +2(n +1)2(n +2)2<2(n +1)3<2n 3由∑1n3∞n=1是收敛的，所以∑2n +1(n +1)2(n +2)2∞n=1收敛。
2.如果∑a n ∞n=1，∑b n ∞n=1为正项级数且收敛，试判定∑√a n b n ∞n=1的敛散性 。
解：因为√n b n ≤a n +b n2,所以由比较审敛法知∑√a n b n ∞n=1收敛。
3.根据极限审敛法，判别级数∑sin πn 的敛散性 。
[整理]11无穷级数习题与答案
![[整理]11无穷级数习题与答案](https://img.taocdn.com/s3/m/c340d0cac8d376eeaeaa31a9.png)
第十一章 无穷级数A1、根据级数发散与收敛性定义与性质判断级数收敛性1）()∑∞=-+11n n n2）...12)(12(1...751531311++-++⋅+⋅+⋅n n3）) (6)sin(...)62sin()6sin(πππn +++2、用比较法或极限形式的比较法判定级数收敛性。
1） )2sin()2sin()2sin(32n πππ+++2）∑∞=+111n n a ()1>a3）∑∞=++1)4)(1(1n n n4） ...11 (3131212112)22n n +++++++++3、用比值审敛法判定级数收敛性1）∑∞=+112tan n n n π2）∑∞=123n n n3）∑∞=132n n n n4、用根值法判定级数收敛性1）n n n n ∑∞=+1)13(2）[]∑∞=+1)1ln(1n n n5、下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛 1）...4131211+-+-2）∑∞=--113)1(n n nn3）∑∞=⋅-1231)1(n nn6、求下列幂级数的收敛性半径和收敛域域。
1) ...)1(...21222nx x x n n -+++-2)∑∞=--122212n n n x n3)∑∞=-1!21)1(n n n nx n7、利用逐项求导或积分求级数的和函数. 1)∑∞=++11414n n n x2)∑∞=-11n n nx8、将函数展开成x 的 幂级数并求收敛区间.1）2xx e e shx --=2）x a3）x 2sinB1、判断积数收敛性 1) ∑∞=1!.2n n n n n2) ∑∞=-1!2)1(2n n n n2、利用逐项求导或积分求级数∑∞=+0212n nn x 的和函数.3、求幂级数∑∞=--1)5()1(n nn n x 的收敛域.4、将x cos 展开成3π+x 的幂级数.5、将函数231)(2++=x x x f 展开成4+x 的幂级数.C1、求 ∑∞=-1n nx ne的收敛域. 2、求 ∑∞=+022!1n n n x n n 的和函数. 3、)(x f 是周期为2的周期函数，且在区间[]2,0上定义为：⎩⎨⎧≤<≤≤=21,010,)(x x x x f 求傅里叶展开式. 4 利用3题结果证明用结果证明，∑∞==12261n n π第十一章 无穷级数答案习 题 答 案A1、1）发散 2) 收敛 3) 发散2、1) 收敛 2) 收敛 3）收敛 4)发散3、1) 收敛 2）收敛 3）收敛4、1) 收敛 2）收敛5、1） 条件收敛 2） 绝对收敛 3） 绝对收敛6、1) 收敛半径1=R ，收敛区间:[]1,1-2) 收敛半径2=R ，收敛区间为：()2,2- 3) 收敛半径∞=R , 收敛区间为：()∞∞-,7、1)∑∞=++11414n n n x x x x x --++=11ln 41arctan 21 )1(<x 2)211)1(1x nx n n -=∑∞=- )1(<x 8、1）∑∞=---=-=112)!12(2n n x x n x e e shx ()+∞∞-∈,x 2）n n n a x x x n a e a ∑∞===0ln !ln ()+∞∞-∈,x 3）x 2sin =)!2(4)1(21212cos 212120n x x n n nn ∑∞=--=- ()+∞∞-∈,x B1、1) 解：1111)1(2lim )1()!1(2!.2lim lim -∞→--∞→-∞→-=--=n n n n n n n n nn n n n n n n u u 12)11(lim 21.<=-+=---∞→e n n n n n 由比值法，级数∑∞=1!.2n n n nn 收敛2) 解： 12lim )!1(2!2lim lim 12)1(122>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n 由比值法，级数∑∞=-1!2)1(2n n nn 发散 2、解：dx x x n x x n x x n n n n n n ⎰∑∑∑∞=∞=+∞==+=+00201202112112 dx x x x ⎰-=02111 x x x -+=11ln 21 )1(<x3、解:11lim lim1=-==∞→-∞→n n a a n n n n ρ，收敛半径11==ρr 6=x 时级数()∑∞=-111n n n 为交错级数收敛4=x 时级数为∑∞=11n n 发散，所以:收敛域为:(]6,44、)3sin(3sin )3cos(3cos )33(cos cos ππππππ+++=-+=x x x x ∑∑∞=+∞=++-++-=01202)!12()3()1(23)!2()3()1(21n n nn n n n x n x ππ 或者直接展开为：n n x n n )3(!)23cos(0πππ∑∞=++- 5、将函数231)(2++=x x x f 展开成4+x 的幂级数 解：设4+=x t 则4-=t x1121341)24(1)(---=+--+-=t t t t x f t t -+--=112121∑∑∞=∞=+-=002)2(21n n n t t )2(<t 所以231)(2++=x x x f =∑∑∞=∞=+-=002)2(21n n n t t C1、解:x xn nx n n n n e e n ne u u ----∞→-∞→=-=)1(1)1(lim lim 当0>x 时1<-x e；0<x 时1>-x e ；0=x 时∑∑∞=∞=-=11n n nx n ne 发散所以:收敛域:()∞∈,0x2、解：令t x =2 ∑∑∑∞=∞=∞=+=+02002!!2!1n n n n n n n t n n n t x n n n n t t n n e ∑∞=-+-+=1)!1(11n n n n t t n t n e ∑∑∞=∞=-+-+=211)2(1)!1(1t t t e t te e 2++=)421(22x x e x++= 3、解2121)(00210200====⎰⎰x xdx dx x f a⎰⎰==2010c o s c o s )(x d x n x x d x n x f a n ππx d x n n x n x n x d x n xd n ⎰⎰-==101010sin 1sin 1sin 1ππππππ[]1)1()(1cos )(12102--==n n x n n πππ xdx n x xdx n x f b n ππsin sin )(1020⎰⎰==xdx n n x n x n xdx n xd n ⎰⎰+-=-=101010cos 1cos 1cos 1ππππππ 1102)1(1sin )(1)1(1+-=+--=n n n x n n n ππππ所以： []x n n x n n x f n n n ππππsin )1(1)12cos()12(1241)(1112+∞=∞=-+---=∑∑ 当1=x 时：收敛于21 4、由⎩⎨⎧≤<≤≤=21,010,)(x x x x f[]x n n x n n x f n n n ππππsin )1(1)12cos()12(1241)(1112+∞=∞=-+---=∑∑（1≠x ）[]∑∞==--=120)12(1241)0(n n f π 8)12(1212π=-∑∞=n n ，记48)2(1)12(112121212s n n ns n n n +=+-==∑∑∑∞=∞=∞=π 所以：683412212ππ=⋅==∑∞=n n s。
无穷级数题(含答案)
⎛ ⎜⎝
∞ n=0
xn
⎞′′ ⎟⎠
=
1 2
(1 +
∞
x)n=2n(n− 1) x n −2
∑ ∑ = 1 ∞ n(n −1)xn−2 + 1 ∞ n(n −1)xn−1
2 n=2
2 n=2
∑ ∑ ∑ = 1
∞ (n + 2)(n +1)xn + 1
∞
(n +1)nxn =
∞
(n +1)2 xn ,
x <1
n=1
(2n)!n
∑ 27, 令 S(x) = ∞ 2n + 3 x2n , x ∈ (−∞, +∞).，则 n=0 n!
∑ ∑ ∑ S(x) =
∞
2nx2n + 3 ∞
(x2 )n
∞
=2
x2n + 3ex2
n=0 n!
n=0 n!
n=1 (n −1)!
∑∞
=2
x2 (x2 )n + 3ex2 = 2x2ex2 + 3ex2 = (2x2 + 3)ex2 .
=1 e
≠ 0 ，级数发散。
n
（6） lim un+1 = 0 ， 级数收敛。 u n→∞
n
（7）因为 lim n→∞
un 1
∑ = lim n +1 = 1 ， 原级数与级数 ∞
1
敛散
n→∞ n
n=1 (n +1) ln(n +1)
(n +1) ln(n +1)
性相同，故原级数发散。 18， （1）条件收敛（用莱布尼兹判别法即可）；（2）条件收敛；
第十一章 无穷级数(答案)
第十一章 无穷级数(一)1．解：∵()∑=∞→-+=+-+=nk n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数发散。
2．解：∵()∑∑==→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=nk n k n n k k k k S 1141221212122121212221，(∞→n )，∴原级数收敛且和为41。
3．解：∵4121511511513113113151315131111+→-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑===n n nk k n k n k k k k n S43=，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。
4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n nn n ，∴由比值判别法知原级数发散。
5．解：∵()1111lim 1lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U en e n n en nn n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
6．解：∵02121limlim ≠=+=∞→∞→n n U n n n ，∴原级数发散。
7．解：∵()()2332lim 1lim=++=∞→∞→n n n n nU n n n ，而∑∞=11n n发散，∴由比较判别法知原级数发散。
8．解：∵()()0111lim !!11lim lim 4441=⎪⎭⎫⎝⎛++=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n U U n n nn n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
9．解：∵13113lim 13lim lim <=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→∞→n n n n U n n nn n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
10．解：∵≤，而2121l i m 21l i m =-=+∞→∞→nn n n n n ，故121l i m <=∞→n n n U ，∴由根值判别法知，原级数收敛。
无穷级数练习及答案
第九章 无穷级数 测试题一、选择题（每小题4分，共24分） 1.级数∑∞=+111n na 敛散的情况是（ ） A. 当0>a 时收敛 B. 当0>a 时发散C. 当10≤<a 时发散，当1>a 时收敛D.当10≤<a 时收敛，当1>a 时发散 2. 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α （常数0>α） （ ）（A ）发散； （B ）条件收敛；（C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关. 3. 设0lim =∞→n n a ，则常数项级数∑∞=1n na（ ）（A ）一定收敛且和为0 （B ）一定收敛但和不一定为0（C ）一定发散 （D ）可能收敛也可能发散 4. 若∑∞=1n nu收敛，则下列级数中哪一个必收敛。
（ ）(A)∑∞=-1)1(n n nu (B)∑∞=12n nu(C)()∑∞=+-11n n nu u(D)∑∞=1n nu5、如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n n n x a ( )(A)当2<x 时收敛 (B) 当8<x 时收敛 (C) 当81>x 时发散 (D) 当21>x 时发散 6、级数 ∑∞=1!2n n n n n （1） 与级数∑∞=1!3n n n nn （2）( )（A ）级数（1）（2）都收敛 （B ）级数（1）（2）都发散（C ）级数（1）收敛，级数（2）发散 （D ）级数（1）发散，级数（2）收敛二、填空题（每小题4分，共28分） 1.已知级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n 则此级数的通项=n u .2.设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径是 .3. 幂级数()()()∑∞=---121311n n nn n x 的收敛域为 . 4. x ln 在10=x 处展开成的泰勒级数为x ln =_____________________ 5、如果幂级数()nn n x a 10-∑∞=的收敛半径是1，则级数在开区间 内收敛.6、幂级数nn nx n n ∑∞=12cos 的收敛域是 . 7、幂级数()∑∞=-15n n nx 的收敛半径是 ，收敛域是 .三、解答下列各题（每题12分，共48分）1. 判别级数21cos 32n n n n π∞=∑的敛散性。
无穷级数(习题及解答).doc
第十一章无穷级数§级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数an 1 q n收敛 ( a为常数 )，则q 满足条件是( )．(A) q 1 ；(B) q 1 ；(C) q 1 ；(D) q 1 ．答 (D) ．2.下列结论正确的是 ()．(A) 若 lim u n 0 ，则u n收敛； (B) 若 lim( u n 1 u n ) 0 ，则u n 收敛；n n 1 n n 1(C) 若u n 收敛，则 lim u n 0 ； (D) 若u n 发散，则 lim u n 0. 答 (C) ．n 1 n n 1 n3. 若级数u n 与v n 分别收敛于 S1 , S2，则下述结论中不成立的是( )．n 1 n 1(A) (u n v n ) S1 S2；(B) ku n kS1；n 1 n 1(C) kv n kS2；(D) u n S1 ．答 (D) .n 1 n 1v n S24. 若级数u n 收敛，其和 S 0 ，则下述结论成立的是( )．n 1(A) ( u n S) 收敛；(B) 1收敛；n 1 n 1 u n(C) u n 1 收敛；(D) u n 收敛 . 答 (C) .n 1 n 15. 若级数a n 收敛，其和 S 0 ，则级数( a n a n 1 a n 2 ) 收敛于( )．n 1 n 1(A) S a1 ；(B) S a2； (C) S a1 a2；(D) S a2 a1．答 (B) .6. 若级数a n发散，b n收敛则( )．n 1 n 1(A)(a n b n ) 发散；(B)(a n b n ) 可能发散，也可能收敛；n 1 n 1(C)a n b n发散；(D)( a n2 b n2 ) 发散. 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 设 a1 ，则( a)n.答： 1.n 01 a2. 级数 (ln 3)n 的和为．答：22n1 .n 0ln 33. 级数( n 2 2 n1 n) ，其和是．答： 12 .n 04.数项级数1的和为 . 答： 1.n 1 (2n1)(2n 1)25*. 级数2n 1 的和为.答： 3.n 02n 三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)8 82 83L( 1) 8n 答： 收敛 .9 29 39 n L9解：1 1 1 L1 答： 发散 .(2)6 9 L33n解：1 1 1L1L答： 发散 .(3)333 n3 3解：3 32 33 L3n L答： 发散 .(4)2223 2n2解：1 1 1 1 1 11 1 L 答： 收敛 .(5)3223223 33L3n2 2n解：§正项级数收敛判别法、 P — 级数一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足 0 u n v n , (n 1,2,L ) ，则 ()．n 1n 1(A) 若v n 发散 ,则 u n 发散； (B) 若u n 收敛 ,则 v n 收敛；n 1n 1n 1n 1(C) 若u n 收敛 ,则v n 发散； (D) 若u n 发散，则v n 发散 .答 (D) .n 1n 1n 1n12. 若 0a n 1, ( n 1,2, L ) ，则下列级数中肯定收敛的是()．n (A)a n ；(B)( a n 1 a n ) ；n1n1(C)a n2；(D)a n ．答 (C) .n 1n 13. 设级数 (1)2n nn!与 (2)3n n n! ，则 ( )．n 1nn 1 n(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛，级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散，级数 (2)收敛．答 (C) .4. 设级数 (1)1 与 (2) 10n , 则 ( ).n 1n nn 1 n!(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛 ,级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散 ,级数 (2)收敛．答 (D) .5. 下列级数中收敛的是 ()．(A)n1 ； (B)sin1；n 1 n( n 2) n 1n(C)( 1)nn ； (D)1． 答 (A) .n 13n 1n 1 2n 11 216*. 若级数，则级数().n 1 n 2 6 n 1 (2n1)22222(A);(B);(C);(D).答 (B) .4812167. 设 u n 与 v n 均为正项级数 ,若 lim u n1，则下列结论成立的是().n 1n 1nv n(A)u n 收敛 ,v n 发散；(B)u n 发散 ,v n 收敛；n 1n1n 1n 1(C)u n 与v n 都收敛 ,或 u n 与 v n 都发散 .(D) 不能判别 .答 (C) .n 1n1n 1n 18. 设正项级数u n 收敛，则 ().n 1(A) 极限 limun 11；(B)极限 limu n 1 1；nu nnu n(C) 极限 lim n u n1；(D) 无法判定 .答 (A)n9. 用比值法或根值法判定级数u n 发散，则u n ().n 1n 1(A) 可能发散； (B) 一定发散；(C) 可能收敛；(D) 不能判定 .答 (B)二、填空题1. 正项级数u n 收敛的充分必要条件是部分和 S n.答：有上界 .n 12. 设级数2n 1收敛，则 的范围是.n 1n3. 级数u n 的部分和 S n2n ，则 u n.n 1n 14. 级数2n1是收敛还是发散.n 02n3 答：．22答：.n( n 1)答：收敛 . 5. 若级数1收敛，则 p 的范围是.答： p 0 . n 1n p sinn6. 级数3n n! 是收敛还是发散.答：发散 .n 1n n三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1)1 n ；答：发散 . (2)1 ；答： 收敛 .n 1 1 n 2n 1 (n 1)(n 2)(3)sin n ；答：收敛 . (4)1 n (a 0) .答 a 1 收敛 ; a 1 发散 .a n 12 n 112. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1)3n ； 答：发散 .(2)n 2 ；答： 收敛 .n 1 n 2nn 1 3n解：(3)2n nn!；答： 收敛 .(4)n tan n 1．答： 收敛 .n 1 nn 12解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性： (1)n 1解：(3)n1nn1；答： 收敛 .(2) ；答：收敛 .2n 1 n 1[ln( n 1)]n解：2n 1n； 答：收敛 .3n 1解：b n(4) 其中 a n a, (n ) ， a n , b, a 均为正数．a nn 1答：当 b a 时收敛，当 b a 时发散，当 b a 时不能判断．§一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足u n v n , ( n 1,2, L ) ,则 ( )．n 1 n 1(A) 若v n 收敛 ,则u n 发散；(B) 若u n 发散 ,则v n 发散；n 1 n 1 n 1 n 1(C)若u n 收敛 ,则v n 发散；(D) 若v n 收敛 ,则u n 未必收敛．答(D) .2.下列结论正确的是 ()．(A)u n收敛，必条件收敛；(B)u n 收敛，必绝对收敛；n 1 n 1(C)u n 发散，则u n 必条件收敛；n 1 n 1(D)u n 收敛，则u n 收敛．答 (D) .n 1 n 12.下列级数中，绝对收敛的是 ()．(A) ( 1)n n; (B) ( 1)n 1 1 ；n 1 3n 1 n 1 n2(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1．答 (B) .n 1 ln( n 1) n 1 n3. 下列级数中，条件收敛的是 ( )．nn 2(A) ( 1)n 1 ；(B) ( 1)n 1 ；n 12n3 1 n 1 3(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1 ．答 (A) .n 1n2 n 1 n 2n4. 设为常数，则级数sin n 1( ).n2 nn 1(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 敛散性与的取值有关．答 (C) .5. 设a n cos n ln(1 1 ) (n 1,2,3, ) ，则级数( ).n(A) a n 与a n2 都收敛 . (B) a n与a n2 都发散 .n 1 n 1 n 1 n 1(C) a n 收敛，a n2发散. (D) a n发散，a n2 收敛 . 答 (C) .n 1 n 1 n 1 n 16.设0 a n 1(n 1,2,3, ) ,则下列级数中肯定收敛的是(). n(A) a n . (B) ( 1) n a n.(C) an . (D) a n2 ln n . 答 (D) .n 1 n 1 n 2ln n n 27.下列命题中正确的是( ).(A) 若u n2与v n2都收敛,则(u n v n)2收敛 .n 1 n 1 n 1(B) 若u n v n收敛,则u n2与v n2都收敛.n 1 n 1 n 1(C) u n 发散 ,则u n 1若正项级数.n 1 n(D) 若u n v n (n 1,2,3, ) ,且u n 发散 ,则v n 发散 . 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 级数( 1)n 1的取值范围是．答：1.绝对收敛，则n 1 n2. 级数1 sin n条件收敛， 则 的取值范围是 ．答： 01.n 1 n 23. 级数a n 2收敛，则( 1)nan是条件收敛还是绝对收敛．n 0n 0n答：绝对 收敛 .三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛(1)( 1)n 11； n 1n解：(2)( 1)n 1 n；n 13n1解：sin n(3)n 1( n 1)2；解：(4)( 1)n 11；n 13 2n解：(5)( 1)n 11 ；n 1ln( n 1)解：(6)n 1 2n2( 1)n 1n!答： 条件收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 条件收敛 .答： 发散 .解：§幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数x n 的收敛区间是 ( )．n 1 n(A) [ 1, 1] ；(B) ( 1, 1) ；(C) [ 1, 1) ； (D) ( 1, 1] ．答 (C) .2. 幂级数( 1)n (x 1)n 的收敛区间是 ( )．n 1n 2n(A) [ 2 , 2] ；(B) ( 2 , 2) ；(C) [ 2, 2) ； (D) ( 2, 2] ．答 (D) .3. 幂级数x 2 n的收敛半径是 ( ).1 n2 3nn(A) R 3 ；(B) R 3 ；(C) R 1(D)1答 (B) . ；R ．3 3（ A）(C)（ B）(D)4. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处 ( ).n 1(A) 发散； (B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (C) .5. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处( ).n 1(A) 发散；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (D) . 6．若幂级数a n (x 1)n在x 1处条件收敛，则级数a n( ).n 0 n 0(A) 条件收敛；(B) 绝对收敛；(C) 发散；(D) 敛散性不能确定. 答(B) .二、填空题1. 幂级数xn的收敛域是．答： [ 1,1]. n 1n22. 幂级数2n 3n n的收敛域是．答：1 1n n2 x3,. n 1 33. 幂级数( 1)n 1 x2 n 1的收敛半径 R ，和函数是．(2 n 1)!n 1答： R , sin x.4. 幂级数( 1)n x 2n，和函数是．(2 n)!的收敛半径 Rn 0答： R , cosx.5. 设a n x n的收敛半径为R，则a n x2 n的收敛半径为．答： R.n 0 n 06. 设幂级数a n x n 的收敛半径为 4 ，则a n x2n 1的收敛半径为．答： 2.n 0 n 07. 幂级数( 1)n 1 (2 x 3)n 的收敛域是. 答： (1, 2].n 0 2n 18. 幂级数a n ( x 1)2 n在处x 2 条件收敛，则其收敛域为.答：[ 0,2] .n 0一、简答题1.求下列幂级数的收敛域．(1) nx n；答： ( 1,1). (2) ( 1)n 1 x n ；答： [ 1,1].n 1 n 1n2(3) x n ；答： [ 3, 3) ．(4) 2n x n；答： 1 , 1．n 1 n 3nn 1 n2 1 2 2(5) ( x 5)n ;答：[4, 6). (6) ( 1)n x2n 1 ．答： [ 1,1].n 1 n n 1 2n 12.用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)nx n 1；答： S(x) 1 2 , x ( 1,1) ．n 1 (1 x)解：(2)x2n 1 1 1 x．2n．答： S(x)ln1, x ( 1,1)n 1 1 2 x解：3*. 求级数1的和．答： 2ln 2. n 1 n 2n解：§函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数f ( x) e x2 展开成 x 的幂级数是( )．(A) 1 x 2 x4 x6L ； (B) 1 x 2x4 x6；2! 3! 2!L3!(C) 1 x x2 x3L ； (D) 1 xx2 x3．答 (B) . 2! 3! 2!L3!2. 如果f ( x)的麦克劳林展开式为a n x2 n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) (0) ；(B) f (2 n ) (0) ；(C) f (2 n ) (0) ；(D) f ( n ) (0) ．答 (A) .n! n! (2 n)! (2 n)!3. 如果f ( x)在x x0的泰勒级数为a n ( x x0 ) n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) ( x0 ) ；(B) f (2 n ) ( x ) f (2 n ) ( x ) f ( n ) ( x )0； (C)n!0； (D) 0 ．答 (C) .n! n!4. 函数 f ( x)sin 2x 展开成 x 的幂级数是 ( )． (A)xx 3 x 5 x 7 ； (B) 1 22 x 2 24 x 4 26 x 6；3! 5! L 2! 4! L7! 6!(C) 2 x 23 x 325 x 527 x 7 L ； (D) 1x 2x 4x 6L ．答 (C) .3!5!7!4! 6!二、填空题1. 函数 f ( x) a x的麦克劳林展开式为x 12. 函数 f ( x) 3 2 的麦克劳林展开式为3. n 1x 2n 1幂级数( 1)(2n 的和函数是n 11)!4. 1 的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x5. 1的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x6. 函数 f ( x) ln(1 x) 的麦克劳林级数为7. 函数 f ( x) e x在 x 1 处的泰勒级数． 答：(ln n a) x n .n 0n!n． 答： 3ln 3 x n.n 02 n!．答： sin x .．答：n 0 x n .．答：( 1)n x n .n 0．答：(n 1x n1).n 1n． 答：e( x 1)n .n 0n!8. 函数 f ( x)1 在 x 1处的泰勒级数．答：( 1)n ( x 1)n .x 1n 02n 19. 函数 f ( x) 1 展开成 x 3 的幂级数为 ．答：( 1)n (x3)n .xn 03n 110. 函数 f ( x)21n22 n 1 x 2n.cos x 展开成 x 的幂级数为． 答：( 1)(2n)!2 n 011. 级数( 1)n 的和等于.答： cos1.n 0 (2n)!三、简答题1. 将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间．(1) f ( x) ln( a x), ( a 0) ；解：答： ln(an 1x nn. x) ln a( 1)n an 1(2) f ( x) sin2 x ；解：答： sin2 x ( 1)n 1 (2 x) 2 n , ( , ).n 1 2(2n)!(3) f ( x) (1 x)ln(1 x) ；解：答： (1 x)ln(1( 1)n 1 x nx) x , ( 1, 1].n 2 n( n 1)(4*) f ( x) x ；1 x2 解：x ( 1)n 2(2 n)! x 2 n 1答：x , [ 1, 1].1 x2 n 1 ( n!) 2 2(5). f ( x) x ．2xx2 3解：x 1 1 ( 1)n 1 x n 2(2n)! x 2 n 1答：, ( 1, 1).x 2 2 x 3 4 n 1 3n ( n!) 2 22. 将函数 f ( x) cos x 展开成 x的幂级数．3解：2 n2 n 1 n答： cosx1 ( 1)n 1 x 33 x 3, ( ,).2 n 0(2n)!(2n 1)! 3*. 将函数 f ( x) ln(3 x x 2 ) 在 x 1 展开成幂级数．解：答： ln(3 xx 2 ) ln 2( 1)n 11 ( x 1)n , (0, 2].n 02n n4*. 将函数 f (x)1展开成 x 4 的幂级数 .2 3xx 2解：答：1 11n3x 2n 0 2n 13n 1 ( x 4) , ( 6, 2).x 2§2 为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系 1, cosx ,sin x ,cos 2x ,sin 2x, L ,cos nx ,sin nx,L ( ).(A) 在区间 [ , ] 上正交； (B) 在区间 [ , ] 上不正交；(C) 在区间 [0, ] 上正交； (D) 以上结论都不对．答 (A) .2. 函数系 1, sin x , sin 2x, L , sin nx ,L().(A) 在区间 [0,] 上正交；(B) 在区间 [0, ] 上不正交；(C) 不是周期函数；(D) 以上结论都不对．答 (B) .3. 下列结论不正确的是 ()．(A) cosnx cosmxdx 0, ( n m) ； (B) sin nxsin mxdx 0, (n m) ； (C)cosnx sin mxdx 0 ；(D)cosnx cosnxdx0 ． 答 (D) .4. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是奇函数时，其傅里叶系数为 ()．(A) a n 0, b n 1 f ( x)sin nxdx ； (B) a n 0, b n 1 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) a n 0, b n 20, b n2sin nxdx ．答 (C) .f ( x)sin nxdx ； (D) a n0 05. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A) b n 0, a n 1 f ( x)sin nxd x ； (B) b n 0, a n 2 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) b n 0, a n 10, a n2cosnxdx ．答 (B) .f (x)cos nxdx ； (D) b n0 0二、填空题1. f ( x) 是以 2 为周期的函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：a0 (a n cosnx b n sin nx). 其中2 n 1a n1f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,L , b n1f ( x)sin nxdx , n 1,2,L .2. f ( x) 是以 2 为周期的偶函数， f ( x) 傅里叶级数为．答： a0 a n cosnx. 其中 a n 2 f ( x)cos nxdx , n 0,1,2, L .2 n 1 03. f ( x) 是以 2 为周期的奇函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：b n sin nx.2f ( x)sin nxdx , n 1,2, L . 其中 b nn 1 04. 在 f ( x) x,( x ) 的傅里叶级数中，5. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，6. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，sin x 的系数为．答：2. sin 2x 的系数为．答： 1. cos2 x 的系数为．答：0.三、简答题1.下列函数 f ( x) 的周期为 2 ，试将其展开为傅里叶级数．(1) f ( x) 3x21, (x) ；解：答： f ( x) 2 1 12 ( 1)2 n cosnx , ( , ).n 1 nbx , x 0 (2) f ( x) 0 x ；ax ,解：答： f (x)(a b) [1 ( 1)n]( ba)cosnx ( 1)n 1 ( a b) sin nx ,4n 1n 2nx (2 k 1) .2. 将函数 f (x)xx) 展开为傅里叶级数．2sin (3解：答： f (x)18 3( 1)n 1n sin nx, ( , ).n 19n 213. 将函数 f ( x)x ,(x) 展开成傅里叶级数．cos2解：答： f (x)2 4 ( 1)n 11 cosnx, [ , ].n 14n 214. 将函数 f (x)x x) 展开成正弦级数．, (02解：答： f (x)sin nx , (0, ]. n 1n 5. 将函数 f ( x) 2x 2 , (0 x) 展开成正弦级数和余弦级数．解：41)n2 22答： f (x)( nsin nx, [0, ).n 1n 3n 3f ( x) 228 ( 1)n cosnx , [0,].3n 1n 2§ 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是 ( )．ln x m x(A) coscos dx 0, ( n m) ；ll l(B)lxsinm xd x 0, ( nm) ；sin nlll(C) ln x sinm xd x 0 ； (D) lx sin n xdx 0答 (D) . cos sin n．l l l ll l2. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，则 f (x) 的傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosn xb n n x ； (B) a 0a n cosnx b n n x ；n 1l l 2n 1l l(C) b n n x ；(D) a 0 a n cos nx ． 答 (B) .n 1l 2 n 1 l 3. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当 f (x) 是偶函数时，其傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosnx ；(B) a 0a n cosnx ；2n 1ln 1l(C)b n sinn x；(D) a 0a n sin nx ． 答 (A) .n 1l2 n 1 l4. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当f (x) 是奇函数时，其傅里叶级数为 ( )．(A) b 0b n sinnx ；(B) b 0b n cosnx2 n1ln 1l(C)b n sinn x；(D)b n cosnx ．答 (C) .n 1ln 1l二、填空题1. f ( x) 是以 2为周期的函数 , f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cos nx b n sinnx .2n 122其中 an 11f ( x)cosnxdx,n 0,1,2, , bn1 1f (x)sin nxdx , n 1,2, L .2 12L2 122. f ( x) 是以 2l 为周期的偶函数 ,f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cosnx. 其中 a n2 2 n 1lllnf ( x)cos xdx , n 0,1,2, L .3. f ( x) 是以 2l 为周期的奇函数， f (x) 的傅里叶级数为 .答：b n sinn x . 其中 b n2 0 f (x)sin nxdx , n 1,2, L .n 1 l l l4. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数，1 x , 1 x 0 f ( x) , 0x．又设 f ( x) 的傅里叶x 2 级数的和函数为 S( x) ，则 S(0)， S(3)．答： S(0)S(3) 1 .25. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数， 2 ,1x 0f ( x)0 x，则 f (x) 的傅里叶级数x 3 ,1在 x 1 处收敛于．答： 3.2x ,1 0 x6. 设f ( x)是以2为周期的函数， f ( x)2，又设 S( x) 是 f ( x) 的正0,1x 12弦级数的和函数，则7．S4答： S 71 .4 4三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为f (x) 1 x21x 1 ，试将其展开2 2为傅里叶级数．解：答：11 1 ( 1)n 1x) ( , ).f ( x) 2 cos(2n12 n 122. 设周期函数在一个周期内的表达式为 f ( x) 2x 1, 3 x 0，试将其展开1 , 0 x 3 为傅里叶级数．解：答：1 62 [1 ( n n n 1 6 nf (x)n 1 n 2 1) ]cos x ( 1) sinx , x 3(2 k 1).2 3 n 33*. 将函数f ( x) x2 , (0 x 2) 分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 28 ( 1)n 1 2 n nx n n3 2 [( 1) 1] sin 2 x, 0 x 2.n 1x 24 16 ( 1)n n0 x 2. 32n2 cos x,n 1 2。
高等数学B第八章无穷级数参考答案
第八章 无穷级数 参考答案习题8－11.(1)2345611111(1ln 2)(1ln 3)(1ln 4)(1ln 5)(1ln 6)++++++++++(2)23451111155555-+-+-(3)1131351357135792242462468246810⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4) 22222234564710131622222--+++2.(1)； (2)； (3)；(4)； (5)1(2)!n 1(1)21n n ---2246(2)n xn ⋅⋅ 11(1)n n n-+-⋅1(0.001)n3.(1)；(2)；2121(1)n n n ∞=-=-∑1112n n ∞==∑(3) .1[arctan arctan(1)]2n n n π∞=--=∑4. (1) 发散； (2) 收敛； (3) 发散； (4) 收敛； 5. (1) 收敛； (2) 发散； (3) 发散；(4) 发散；(5) 发散；(6) 发散； (7) 收敛 6. (1) 收敛；(2) 收敛；(3) 发散；(4) 发散 习题8－2(A)1. (1) 发散； (2) 发散；(3) 发散；(4) 收敛； (5) 发散；(6) 收敛 2. (1) 发散； (2) 收敛； (3) 收敛； (4) 收敛3. (1) 发散； (2) 收敛； (3) 收敛； (4) 收敛 4. (1) 收敛； (2) 发散； (3) 收敛； (4) 发散；(5) 收敛；(6) 收敛； (7) 收敛；(8) 收敛5.习题8－2(B)1.(1) 发散； (2) 收敛； (3)时收敛，时发散，时不定b a <b a >b a = (4) 收敛； (5)时发散，时收敛；01a <≤1a >(6) 时收敛，时发散；01a <<1a ≥(7) 时收敛，时发散；0a e <<a e ≥(8)时收敛，时发散；12q >12q ≤(9)收敛； (10)发散.习题8－3(A)(1) 绝对收敛； (2) 绝对收敛； (3)条件收敛； (4)发散；(5) 绝对收敛；(6) 绝对收敛习题8－3(B)1. (1) 绝对收敛； (2) 条件收敛； (3) 条件收敛；(4) 时绝对收敛， 时条件收敛， 时发散；01a <<12a ≤<2a ≥ (5) 绝对收敛；(6) 当时绝对收敛， 时发散， 时条件收敛1a >01a <<1a =习题8－4(A)1. (1)(2) (3) 1,[]1,1-1,[]1,1-3,[3,3)-(4)(5)(6) 0，； 111,,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,[]1,1-1x =-(7) [－4, 6 )(8) 2, [－2, 2]+2. (1) , ;(2) , []1,1-arctan x (1,1)-21(1)x -(3) , []1,1-(1)ln(1)x x x +--习题8－4(B)1. (1)(2) (3)3,(-3,3)111,(,222-111,(,)e e e-(4)(5) ，1,(1,1)-max(,)c a b =(,)c c -2. (1) ，(2) (1,1)-32(1)x -[]21,1,2arctan ln(1)x x x -+3. ，3；2222(2)x x +-4.32习题8－5 (A)1. ; n n x x n x n ))(2cos(!1000-+∑∞=π(,)-∞+∞2. (1), 211(21)!n n x n -∞=-∑(,)-∞+∞ (2) , 111ln (1)(nn n xa n a∞-=+-∑(,];a a - (3) , ;211(2)(1)2(2)!nn n x n ∞-=-⋅∑(,)-∞+∞ (4) ,;∑∞=--+2)1()1(n nn n n x x (1,1]- (5) ,;121)12(!!)2(!!)12(+∞=∑+-+n n x n n n x []1,1- (6) , ;12122()!(!)2(2)1(+∞=∑-+n n nx n n x ]1,1(-3. (1) ,(1)!n n x e n ∞=-⋅∑(,)-∞+∞ (2) , 111(1)(1)ln10n n n x n-∞=--∑(0,2]4., 1212101(1)(1)((2(21)!6(2)!6n n n n n n x x n n ππ-∞∞-==⎤---+-⎥-⎦∑(,)-∞+∞5., 10(1)(3)3nn n n x ∞+=--∑(0,6)6. , 1111(4)23n n n n x ∞++=-+∑(6,2)--习题8－5 (B)1. (1) ，111ln 22n n n x n∞=-+∑[1,1);-(2) ，220(1)(2)!(22)nn n x n n ∞+=-+∑(,)-∞+∞ (3) ， 21(1)(1)n n n x n ∞=-+∑[2,0]-(4) ， 3310()n n n x x ∞+=-∑(1,1)-2. ，, , ; 1013n n n x ∞+=∑(3,3)-101(1)2nn n x ∞+=-∑(1,3)-133. (1), (21)1x e x +-(,)-∞+∞(2) , 2211(1)142xe x x ++-(,)-∞+∞习题8－71. (1), 220(1)112cos nn nx nπ∞=-++∑(,)-∞+∞(2) , 22211(1)(2cos sin )44nn e e nx n nx n πππ-∞=⎡⎤--+-⎢⎥+⎣⎦∑((21),0,1,2)x n n π≠+=±± (3) ()4a b π-+211(1)()(1)()cos sin n n n b a a b nx nx n n π∞=⎧⎫⎡⎤----+⎪⎪⎣⎦+⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑((21),0,1,2)x n n π≠+=±±, 121(1)sin 91n n nnx n -∞=--(,)ππ- (2) ,221111(1)(1)1(1)cos sin 211n n n n e e n ne nx nx n n n ππππππ---∞=⎧⎫⎡⎤+----+-+-⎪⎪+++⎨⎬⎢⎥++⎪⎪⎣⎦⎩⎭∑(,)ππ-3. , 221(1)4cos 3nn nx nπ∞=-+∑[,]ππ-5.),2,1,0,)12((,sin 2)1(2sin12112 ±±=+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∑∞=+n n x nx n n nn n ππππ6. , ;11sin n nx n∞=∑(0,]π7. , 2331422(1)()sin n n nx n n n ππ∞=⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦∑[0,)π , 223π+21(1)8cos n n nx n∞=-∑[0,]π3. ,11(1)sin 2n n nx n -∞=-∑[0,)π4. , 3181sin(21)(21)n n n ππ∞=⋅--∑[0,]π11., 12sin cos n hnhnx nππ∞=+∑[0,)(,]h h π ()0()12f x x x hS x x hπ≤≤≠⎧⎪=⎨=⎪⎩且12. (1) , 212(1)1cos 2()nn l l n x n lππ∞=⎡⎤--⎣⎦+∑[,]l l -(2) 14-+212sin 12cos 1(1)22cos sin ()n n n n n x n x n n n πππππππ∞=⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎢⎥--⎪⎪++⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭∑1(2,2,0,1,2)2x k k k ≠+=±± (3), 221(12cos)sin 633sin 3n n n n x n ππππ∞=+∑[0,3]13. (1) ,12214(1)(21)sin (21)n n ln xn lππ-∞=---∑[0,]l, 221212(21)cos 4(21)n l l n xn lππ∞=---∑[0,]l(2) [])2,0[,2sin 1)1(2)1(81231x n n n n n n πππ∑∞=+⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+-]2,0[,2cos )1(1634122x n n n nππ∑∞=-+14*. ,21(1)(1)11()n in xn in sh e n πππ∞=-∞--⋅+∑(21,0,1,2)x k k ≠+=±± 15*., 1212sin cos n h hn n tn ττππτπττ∞=+∑(,)-∞+∞总复习题八一、B C B C D C C D二、(1)(2) ;(3) 发散，收敛； (4) cos1,2R [0,2](6)(7) (8)[1,1)-32(ln 2)!nn (9)(10) ；22ln 3-3,p >03p <≤三、1. 收敛；2. 收敛；3. ；4. ；[0,6)(1,1)- 5.， 6.，；21(1)xx +-(1,1)-32(1)x x +8278. (1) 1；9. ， 2222arctan ln(1)1x x x x x +-++(1,1)-10. ，111(1)(2)2n n n n n x -∞+=--∑(0,4)11. ，210(1)(21)(21)!nn n x n n ∞+=-++∑(,)-∞+∞。
无穷级数习题及详细解答
(1,5]
n1
(4) 设函数 f (x) x 1 ( x ) 的傅里叶级数的和函数为 S(x),则S(5 ) 等于 1
(5) 设 函 数 f (x) x2 (0 x ) 的 正 弦 函 数 bn sin nx 的 和 函 数 n1
S(x),则当x( , 2 )时，S(x)
( 2 x 2)
0
（1）证明 an
an2
1 (n n 1
3, 4,) ，并求级数
n3
1 n
(an
an2 )
的和；
（2）证明级数
an 收敛.
n1 n
证：（1） an
4 tan2 x tann2 xdx
0
4 sec2 x tann2 xdx
0
4 0
tan n2
xdx
1 n 1
an2 ,
即有
an
1
x cos
x2dx
1 sin
x2
1
sin1.
2 6 2! 10 4! 14 6!
0
2
02
13.
将函数
f
x
x 2 x x2
展开成 x 的幂级数.
f
x
2
x x x2
1 3
2 2
x
1 1
x
1 1
3
1
x
1 1
x
2
而
1
1n xn
1 x n0
x 1,1
1
1 x
n0
x n 2
2
x 2, 2
(x)
1
x2
a0 2
n1
an
cos nx
1
第十一章 无穷级数(答案)
第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a ，则级数∑∞=1n nauBA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a 收敛，当0<a 发散D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。
4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→n n u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21nu n ≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q 8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p 9、级数∑∞=1n n a 收敛，是级数∑∞=1n n a 绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要 10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 AA 、0>pB 、0≥pC 、1>pD 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n nnn k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sinn na AA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、DA 、收敛，收敛B 、发散，发散C 、收敛，发散D 、发散，收敛14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n nn15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=-12)1(n nn16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n nn C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n nn n B 、∑∞=+-11)1(n nn n C 、∑∞=+-121)1(n nn n D 、∑∞=-12!)1(n nnn18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2-C 、(-2,2)D 、(]2,2- 19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1- 20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n nn n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2- 二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n nn n α收敛。
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
26 ． 设 f x 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数， 它 在, 上 的 表 达 式 为,x 22f xx ,x，将 f x 展开成付里叶级数。
2 2, x2227．将函数 f xx 2 ，( 0 x l )分别展开成正弦级数和余弦级数。
(C)1．用定义判断下列级数的敛散性1n 12n 1 2n 1 2n 32．设 a i0 ， i 1,2,，判断级数a 1 a 2a n的敛散性。
1 a 11 a 1 1 a 21 a 1 1 a 21 a n判断下列正项级数的敛散性3nn! ；4．ln n1．；5．n n 2 11 ；3n 1n n1n 1n 2 2 nn 16．判断级数1sin n的敛散性。
n 1n2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间7．n 1n 2n x 2n ；8．1 n 1 11 x n ；n 1n 12n求下列级数的和9．1 n 1n 1n 2n110．展开d e x 1为 x 幂级数，并推出 n1 。
dx x n 1 n 1 !n11．求级数n2 2 x 3 n 1 的收敛区间及和函数。
n 1x, 0 x2．设函数2，试分别将 f x 展成为以 2 为周期的12f x,x2区弦级数和余弦级数。
13．将周期函数 fx1 , ,0，展为付氏级数，并据此求周期函数1 ,0,f 1 xa ,,0| x | ，,的 付 氏 级 数 ， 求 下 面 级 数b , 0, ， f 2 x4 111 。
132422n 12第十一章 无穷级数(A)n1．解：∵ S nk2k1n22，( n), ∴原级数k1发散。
2 ． 解 ： ∵ S nn11 n 1 1 1 1 1 1 ，k 1 2k 2k 22 k 1 2k 2k 22 2 2n 24( n) ，∴原级数收敛且和为 1 。
41 1 n11 1 1 1 1 11 1n n1 33n 55n 3．解：∵ S n3k5kk 1 3kk 1 5k11 2 4k 111353 ， ( n ) ，∴原级数收敛且和为 3。
4．解：∵ lim Un 1lim n 1 ! 100n limn1 ，∴由比值判别法知原级nU n n 100n 1 n ! n100数发散。
Un 1 n 1 e e n 1 n 1 e 15．解：∵lim lim 1 ，∴由比值判别法lim n 1 en U n n e n n e n e知，原级数收敛。
6．解：∵ lim U n lim n 1 1 0 ，∴原级数发散。
2n 2n n7．解：∵lim Unlim n 2n 3 2 ，而n 11发散，∴由比较判别法知原级n 1 n n n 3 nn数发散。
Un 1 n 1 4 n ! 1 n 1 48．解：∵lim lim 0 ，∴由比值判别法limU n n 1 ! n 4 n 1 nn n n知，原级数收敛。
n n n 19．解：∵lim n U n lim n lim 1 ，∴由比值判别法知，3n 1 3n 1 3n n n原级数收敛。
10 ．解：∵n n1 n U n n n1，而 lim nn1 lim n n 11，故2 2 n 2 n 2 211，∴由比值判别法知，原级数收敛。
lim n U nn 211．解：|U n | n ，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故n 1 n 12n 1原级数绝对收敛。
12．解：| U n| 1 1，而1发散，故1发散。
因此原级数非绝对ln n n n 2 n n 2 ln n收敛，又，显然ln 1 1 ， n 2,3, ，且 lim 1 0 ，故由莱布尼兹判别n 1 ln n n ln n法知原级数条件收敛。
13．解：∵ lim |U n | lim | 0 0 | 0 ，∴原级数发散。
14．解：此为交错级数，∵| Un|n1n 1，( n ) 而级数 1 发散，1 n2 n 1 nn故| U n |发散，即原级数非绝对收敛，显然n 单调递减且趋向于零，故原n 2n 1 1级数条件收敛。
15．解：∵l im an 1 3n 1 n lim 3 n 3 ，∴R 1 1a nlim3nn 1，当 x 时，n n n 1 n 3 3级数为 1 发散，当 x 1时，级数为1 n 1 收敛。
故原级数的收敛区n 1 n 3 n 1 n 间为1, 1 。
3 316．解：∵an 1 n n 1 1 0 ， n ，∴ R ，收敛a n n 1 n 1 n 1 1 n1n区间为, 。
17．解：∵an 1 1 1a n n 1 n11n， n，∴ R0 。
an 1lim2n n 1，∴ R 2 。
故当| x 1 | 2 ，即18 ．解：∵ lim n 1n a n n 2 n 1 21 x 3时收敛，当 x 1或 x 3 时发散，当 x 1 时，级数为 1 n 1，收n 1 n敛；当 x 3 时，级数为1，发散。
故收敛区间为1,3 。
n 1 n19 ．解：∵Un 1 x2n 3 2n 1 x 2 x2 ， n ，当 x2 1 时，即U n 2n x 2n 1 2 2 22 x 2 时收敛，当x2 1 ，即 x 2 或 x 2 时发散，∴ R 2 。
当2x2 时原级数为 2 2 ，发散，故收敛区间为2, 2 。
n 120．解：∵a n 1221， nn 1 3n 1 n 1 ，∴ R 3 ，当 x 3a n3n 1 n 23 n3时，原级数1 n2，发散。
故收敛区间为3,3 。
nn 121．解：设 f xnx n 1 ， | x | 1，n 1x x dxxnxn 1dx x 1 dxx n xf 0nxnn 1n 1 0 n 11 x∴ f xx1， | x | 1 。
x1 21 x22．解：设 f xf x1 x 2n 1 ， | x | 1，则n 1 2n 1x1 x2 n 1 1 x 2 n 1x 2 nx 2n 1 2n 1n 1 2n 1n 11 x 2xx 2，f x dx1 x 2dx即 f x fx 11 11 dx ，21 x 1 x∴ f xf 01 ln 1 xx 1 x1 ln1 x， | x | 1。
21 x2 1 x23．解：e xe x11 x n1 x n1 1 x 2k ， x。
22 n 0 n !n 0 n !2 k 0 2k !24．解： cos 2 x 1 1 cos2x1 11 n 12x 2n22n 02n !1 1 1 n 2nx 2n ，x。
2 2 n 02n !25．解： 1 x ln 1 x1 x1n 1x n ， | x | 1n 1n1 n 1 x nnn 11 n 1 x1 n1 n 1 x n 1 。
n 1nn 1n 1n n126．解：11 n xn1 n 11 11 13x 3 nx x 3 3 3 1 x 3 3 n 03n 03n 13 x 3x 63 1，即 027．解：∵ f x cos x为偶函数，∴ b n 0 ， n1,2,2a n1cos xcosnxdx2cos xcosnxdx2210 cos1n x cos1n x dx22x11 1 sin 1 n x 1 sin 1 n xn 21 n 2222cosnx cosnx 1 n 1 21 1 1 1 2n 1 2n 12n 2n1 n 1 411 ， n 0,1,2,44n 2 cos x在令 n 0 ，得 a 0，且 f x, 上连续∴ cosx 224 1 cosnx ， x 。