高一数学必修一函数的实际应用

数N
3.000 5.000 12.48 13.11 13.78
对数lg N 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2
解 依题意，y≤12.48(1＋1%)10， 得lg y≤lg 12.48＋10×lg 1.01≈1.139 2， ∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿. 答 2008年人口至多有13.78亿.
习题课 函数的实际应用
老师：do cer独秀
1 • PART 01学习目标
CONTENTS 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究 4 • PART 04达标检测
学习目标
1.进一步掌握常用的函数模型解析式的求法及应用； 2.提高在面临实际问题时，通过自己建立函数模型来解决问题的 能力； 3.培养借助表格、图象处理数据的能力.
反思及感悟
依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法： (1)首先建立直角坐标系，画出散点图； (2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式； (3)利用待定系数法求出各解析式； (4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数， 若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题.
代入 y＝a＋bx，得2415..18＝＝aa＋＋1204..40bb，， 用计算器可得a≈2.4，b≈1.8. 这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可 以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好 地反映积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土 地多少公顷？ 解 由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4， 即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷.
类型二 对数函数模型的应用 例2 1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选 择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们 的面前. (1)世界人口在此前40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
解 设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y， 则y·(1＋x)n＝60， 当n＝40时，y＝30，即30(1＋x)40＝60，∴(1＋x)40＝2， 两边取对数，则40lg (1＋x)＝lg 2， ∴lg (1＋x)＝l4g02≈0.007 525， ∴1＋x≈1.017，得x＝1.7%. 故每年人口平均增长率是1.7%.
反思及感悟
对于二次函数模型，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、 判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实 际问题中的最值问题.利用二次函数求最值时特别注意取得最值时的自变 量与实际意义是否相符.
跟踪训练1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天 都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日租金增加2元 ，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高 到多少时，每天客房的租金总收入最高？ 解 设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，由x ＞0，且300－10x＞0得：0＜x＜30， 设客房租金总收入y元，则有：y＝(20＋2x)(300－10x) ＝－20(x－10)2 ＋8 000(0＜x＜30) 由二次函数性质可知当x＝10时，ymax＝8 000. 所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最 高，为每天8 000元.
(3)使用拟合函数预测的结果一定准确吗？预报准确度受哪些因素影响 ？答案 利用拟合函数得到的结果不一定准确.预报准确度与建立拟合 函数依据的制约因素全面与否，数据采集密集度，采集区间长度都有 关系. 4.我们在处理以往案例中，大量使用了表格、图象.用它们处理数据有 什么优势？
答案 表格便于我们定量观察量与量之间的依存关系.单调性及增长 速度，图象则更直观.
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象； 解 利用计算机几何画板软件， 描点如图甲.
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象； 解 从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们 假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx. 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，
解 由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在 进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销 售量为480－40(x－1)＝520－40x(桶). 由于x＞0,520－40x＞0，即0＜x＜13. y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200,0＜x＜13. 易知，当x＝6.5时，y有最大值. 所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
答 每年人口平均增长率为1.7%.
(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1% 以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？ 以下数据供计算时使用：
数N
1.010 1.015 1.017 1.310 2.000
对数lg N 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0
问题导学
1.(1)求给定的函数模型的解析式，通常使用_待__定__系__数__法. (2)使用待定系数法求解析式时，假设有n个系数待定，则需要列___n___ 个关于待定系数的方程.
2.回想一下当你面临实际问题时，是如何建立函数模型的，特别需要 注意哪些要点？ 答案 处理实际问题的关键是：①全面、准确地接收题目提供的信息 ，②根据需求整理信息，③正确表达其中蕴含的数量关系，④注意变 量的实际意义对取值范围的影响.
A.10 元
B.20 元
C.30 元
D.430元
5.一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示， 现以均匀速度往水瓶中灌水，直到罐满为止，如果水深 h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( D )
规律及方法
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面 (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 2.函数拟合与预测的一般步骤 (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图. (2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线， 即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个 十分完美的事情， 但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的.因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两 侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了. (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.
3.回顾上节例3人口增长问题的处理方法，回答下列问题： (1)如何寻找拟合函数？ 答案 根据原始数据、表格，绘出散点图；考察散点图，画出拟合曲 线；从函数模型中挑出“最贴近”拟合曲线的函数类型，求出其待定 系数.
(2)当有多个候选拟合函数模型时，如何进行选择？ 答案 把已知数据特别是远期数据分别代入候选函数，根据拟合效果 择优录用.
解析 设t分钟时水箱的水有y升，依题意有y＝200＋2t2－34t，当t＝8.5 时，y有最小值，共放水289升，可供4人洗澡.
3.某种商品第一年提价25%，第二年欲恢复成原价，则应降价( C ) A.30% B.25% C.20% D.15%
4.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是 月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函 数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( A )
达标检测
1.若每隔 3 年计算机价格降低13，则现在价格为 8 100 元的计算机，9 年后 的价格可降为( A )
A.2 400元 C.300元
B.900元 D.3 600元
2.某种电热水器的水箱盛满水是200升.浴用时，已知每分钟放水34升， 在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放 水自动停止.现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗 澡( B ) A.3 B.4 C.5 D.6
题型探究
类型一 二次函数模型的应用 例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每 桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元
6
7
8
9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
跟踪训练3 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立
了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的
实测资料，如表所示.
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2Biblioteka Baidu
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
反思及感悟
1.解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模， 要注意数学模型中元素的实际意义.
2.对数函数模型的一般表达式为：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数， a>0，a≠1).
跟踪训练2 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学 家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v＝5log21Q0 ，单位是m/s ，其中Q表示燕子的耗氧量. (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
解 由题意知，当燕子静止时，它的速度为 0，代入题目所给公式可得 0
＝5log21Q0.
解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位.
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解 将耗氧量 Q＝80 代入公式得：v＝5log28100＝5log28＝15 (m/s)， 即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s.