2020年福建省泉州一中高三数学普通高中毕业班模拟考试理

2020年泉州一中普通高中毕业班模拟考试理科数学（2020.5.26）

命题 邱形贵

本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚。

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式：

样本数据11,,n x x x …，的标准差 锥体体积公式1

3

V Sh =

s = 其中S 为底面面积，h 为高

其中x 为样本平均数 球的表面积、体积公式

柱体体积公式V Sh = 2

344,3

S R V R ππ==

其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径

第I 卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡上。 1．已知复数z 满足(12i)z 5i +=，则z 等于（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i -

2．设集合},2|{},,|{2

R x y y B R x x y y A x

∈==∈==,则B A I 等于( ) A ．{2,4} B ．{|0}y y > C ．{(2,4),(4,16)} D ．{4,16}

3．已知 a r ，b r 是两个非零向量，给定命题p: |a r ·b r |=|a r ||b r |，命题q:?t ∈R,使得a r =t b r

，

则p 是q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．已知圆2

2

:8O x y +=，点(2,0)A ，动点M 在圆上，则OMA ∠的最大值为（ ） A ．

512π

B ．6π

C ．3π

D ． 4

π

5．设11, 2OM ??= ???

u u u u r ，()0, 1ON =u u u r

，则满足条件01OP OM ≤?≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤?≤u u u r u u u r 的动

点P 的变化范围(图中阴影部分含边界)是（ ）

6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于

（ ）

A ．15

B ．29

C ．31

D ．63

7．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶

路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )

s t

O A ．

s

t

O s

t O

s

t

O

B ．

C ．

D ．

8．编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示五个盒子中。

要求每个盒子只能放一个小球，且A 不能放1，2号，B 必须放在与A 则不同的放法有（ ）种

A ． 42

B ． 36

C ． 32

D ． 30

9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1CC 的中点，则在空间中与三

条直线11A D 、EF 、CD 都相交的直线（ ）

A ．不存在

B ．有且只有两条

C ．有且只有三条

D ．有无数条 10．定义在R 上的函数()f x 满足()()2221f x f x =-，现给定下列几个命题： ①()1f x ≥-；②()f x 不可能是奇函数；③()f x 不可能是常数函数；④若

()0(1)f x a a =>，则不存在常数M ，使得()f x M ≤恒成立．

在上述命题中错误．．

命题的个数为（ ）个 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。

11．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所

得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12。则抽取的男生人数是 ；

12．若,21)()1(212210=+∈++++=+*

a a N n x a x a x a a x n n n 且Λ则在展开式各项系

数中最大值等于 ；

13．函数()1x

f x e =-与x 轴，直线1x =围成的图形的面积是_______________；

0．0．

14．设方程=+-∈=+k k k x x x x

则整数若的根为),2

1

,21(,4200 ；

15．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨

进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用

12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，

给出下列式子：

①1122;a c a c +=+ ②1122;a c a c -=- ③1212;c a a c > ④12

12

.c c a a < 其中正确式子的序号是 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本题满分13分）

在斜△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且A

A C A ac c a b cos sin )

cos(222+=--.

（1）求角A ； （2）若2cos sin >C

B

，求角C 的取值范围。

17．（本题满分13分）

如图，在边长为12的正方形A 1 AA ′A 1′中，点B 、C 在线段AA ′上，且AB = 3，BC = 4，作BB 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点B 1、P ；作CC 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点C 1、Q ；将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得A ′A 1′ 与AA 1重合，构成如图所示的三棱柱ABC —A 1B 1C 1，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，

（1）求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；

（2）求面APQ 将三棱柱ABC —A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比；

（3）求面PQA 与面ABC 所成的锐二面角的余弦值．

18．（本小题满分13分）

甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩的分布列如下：

（2）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率； （3）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为ξ，求ξ的分布列和期望。

19．( 本小题满分13分)

以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆C 过点P (1,2

(1)求椭圆的方程

(2)记M 为y 轴正半轴上椭圆的顶点,直线l 交椭圆于A,B 两点,问:是否存在直线l,使得

A 1

B 1

C 1

A ′1

A ′

A B

C

P Q

A

B

C

A 1

B 1

C 1

Q

P

点2F 恰为?ABM 的垂心?,若存在,求出l 的直线方程;若不存在,说明理由.

20.（本题满分14分）

已知函数()ln()f x x a x =+-， （1）试确定()f x 的单调性；

（2）数列{}n a 满足11210n n n a a a ++-+=，且11

2

a =

，n S 表示{}n a 的前n 项之和 ①证明数列11n a ??

??-?

?为等差数列； ②求证：()1ln 2n S n n <+-+.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14

分，如

果多做，则按所做的前两题记分。 （1）．（矩阵与变换）

已知曲线C ：1=xy

①将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； ②求曲线C 的焦点坐标

（2）．（坐标系与参数方程）

已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=，

①写出直线l 的参数方程;

②设l 与圆42

2

=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积. （3）．（不等式选讲）

设a 、b 、c 均为正数，求证：a 21+b 21+c

21≥c b +1+a c +1+b a +1

.

2020年泉州一中普通高中毕业班模拟考试

理科数学参考答案

1B 2B 3C 4D 5A 6C 7A 8D 9C 10D 11．48 12．20 13．2e - 14．1 15．②③

16解.⑴ ∵ 2222cos ,b a c B ac --=-cos()2cos ,sin cos sin 2A C B

A A A

+=-，

2分 又∵ 222cos()sin cos b a c A C ac A A --+=，∴ 2cos 2cos ,sin 2B

B A

--=而ABC ?为斜三角形，

∵cosB 0≠，∴sin2A=1. 4分 ∵(0,)A π∈，∴2,2

4

A A π

π

=

=

. 6分

⑵∵34πB C +=

，∴333sin sin cos cos sin sin 444cos cos cos πππC C C

B C C C C ??

-- ???=== 12分

即tan 1C >，∵304

C π

<<，∴42ππC <<. 13分

17．解（1）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5

∵AC 2 = AB 2 + BC 2 ∴AB ⊥BC 又AB ⊥BB 1 且BC ∩BB 1 = B

∴AB ⊥面BCC 1B 1 4分 （2）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．

∴S 四边形BCQP =

()(37)4

2022

BC BP CQ ?++?== ∴V A —BCQP =1

3

×20×3 = 20

又∵V 111

ABC A B C -=113412722

ABC S AA ?=???=V ．

∴

72205213

20205

V V -===上下． 8分

y

（3）如图，建立空间直角坐标系

则A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)

设面APQ 的法向量为m u r

= (x ，y ，z) 9分 330

440x z y z -+=??

+=?

?m u r = (1，–1，1) 11分 而面ABC 的法向量可以取n r

= (0，0，1) 12分

∴cos ,m n =

=

u r r

13分

18．解（1）记事件A ；射手甲剩下3颗子弹，

212

()339

P A ∴=

?= 4分 （2）记事件;C 甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件D ；甲命中2次10环，乙命中1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环为事件C D +

12222

2222111517()()()336366162

P C D C C C ∴+=???+??=

8分

（3）ξ的取值分别为16，17，18，19，20， 9

分

11111115

(16),(17)33932331811111161

(18),

363233183

111142111

(19),(20)3632189361815121107

161718192091839186

P P P P P E ξξξξξξ==?===?+?=

==?+?+?====?+?====?=

∴=?+?+?+?+?=

13

分

19． 解(1) 依题意

c=1,122a PF PF a =+=∴= 椭圆方程为2

212x y +=

5分

(2)211,1MF k k =-∴=Q ,设

l 的方程为

y=x+b,代入2

2

21x y +=得

2234220x bx b ++-=

设1122(,),(,)

A x x b

B x x b ++,

7分

假设存在 则有

221210,(1)(1)()0BM AF x x x b x b ?=∴--+----=u u u u r

9分

12122(1)()(1)0x x b x x b b ∴+-++-=

2444(1)(1)0

33

b b b b b --∴-+-=

4

13b b ∴==-

（舍去）或

12分

故存在l:

43

y x =-

满足题意

13分

20.（1）()1

1f x x a

'=

-+Q ()()1010a x a f x x a f x ''∴-<≤-≥≥-<当时,，当时,

故()f x 在(,1]a a --上是单调递增函数，在[1,)a -+∞上是单调递减函数 5分

（2）①11210n n n a a a ++-+=Q 11111

,11222n n n n n n

a a a a a a ++-∴=-=-=--- 112111(1)111n n n n

a a a a a +-∴

==+≠---

11n a ??∴?

?-??

是公差为1的等差数列，且首项为

1

1

21a =- 故11,1n n a =+- 1

11

n a n ∴=-+ 9分

②由（1）知，当1a =时，()ln(1)f x x x =+-在[0,)+∞是单调递减函数，又

()00f =，()()0,00x f x f ∴><=，即ln(1)x x +<

10分

11,ln(1)ln(2)ln(1)11

k N k k k k +∴∈>+=+-+++对于. 11分 1

11(ln(2)ln(1))1

k a k k k =-<-+-++ 12分

121(ln 3ln 2)1(ln 4ln 3)1(ln(2)ln(1))n n S a a a n n =+++<--+--++-+-+L L

ln 2ln(2)1ln(2)n n n n =+-+<+-+

14分

21．

（1

）由题设条件，0

00

0cos 45sin 45sin 45

cos 45M ??-?

==???????

，

':'2

222

M y x x x T y y y x y ?

?????????→=?=??????????????+??????

?

，即有''2

2

x y y x y ?=????=+??

，

解得'')'')2

x x y y y x ?=+???

?=-??

，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。

所以将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，得到的曲线是222y x -=。 4分 （2）由（1）知，只须把曲线222y x -=的焦点绕坐标原点顺时针旋转045后，即可得到曲线C 的焦点坐标

曲线

222

y x -=的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，变换矩

阵

0000cos(45)sin(45)sin(45)cos(45)N ????---?==??

?--????

022

2???????=?

??-?????-???

，022

2??????=????????

，

即曲线C

的焦点坐标是(。 7分

（2）. 解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??

，即12112x t y t ?=+???

?=+??． 3分 （2

）把直线12112

x y t ?=+???

?=+??代入422=+y x ，

得2221

(1)(1)4,1)202

t t t +

++=+-=，122t t =-， 5分 则点P 到,A B 两点的距离之积为2． 7分 （3）. 证明： ∵a 、b 、c 均为正数，

∴

21（a 21＋b 21）≥ab

21≥b a +1，当a=b 时等号成立； 3分 同理：

21（b 21＋c 21）≥bc 21≥c b +1，当b=c 时等号成立； 4分 21（c 21＋a 21）≥ca

21≥a c +1． 5分 三个不等式相加即得

a 21+

b 21+c

21≥c b +1+a c +1+b a +1

， 6分

当且仅当a=b=c 时等号成立. 7分