非线性动力学
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2011-1-11 13
考虑一对一变换 则非线性方程 有可能化为线性的
习题1： 习题 ：求G的显示表达式 的显示表达式 有些系统，其相空间不是线性空间， 有些系统，其相空间不是线性空间，这类系统必定 是非线性的。例如：刚体动力学方程， 是非线性的。例如：刚体动力学方程，相空间为 SO3 流形。称为运动(Kinetic)非线性。 流形。称为运动(Kinetic)非线性 运动(Kinetic)非线性。 F的非线性称为力学非线性。 的非线性称为力学非线性。 力学非线性
2011-1-11 11
§2 非线性动力学的研究对象
——非线性动力系统及各种特征系统的现象 非线性动力系统及各种特征系统的现象 a) 什么是非线性动力系统？ 线性方程： 线性方程：量φ满足的方程 L(φ)=0 若 （i） φ是线性空间中一个元素（矢量） 是线性空间中一个元素（ ） 是线性空间中一个元素 矢量） （ii） L(aφ＋bψ)=a • L(φ) ＋b • L(ψ) 非线性动力系统的定义： 非线性动力系统的定义： 一个动力系统， 一个动力系统，若其基本力学量的运动由非 线性方程描述，则称作非线性动力学系统。 线性方程描述，则称作非线性动力学系统。
2011-1-11 12
非线性动力系统
若一个动力系统由方程 描述， 描述，其中 的运动描述。 也可以用系综概率密度 ρ(x) 的运动描述。
Liuvill 方程：是线性的。 两个方程等价。但两者 方程：是线性的。 两个方程等价。
的基本力学量不同。 的基本力学量不同。 若以x为基本力学量， 为非线性时， 若以x为基本力学量，F为非线性时，则系统为非线 性。
2011-1-11 4
18世纪： Lagrange 方程 18世纪 世纪：
Lagrange 函数
2011-1-11 5
19世纪 19世纪 Hamilton 方程
引进广义动量
Hamilton
函数
2011-1-11 6
Lagrange, Hamilton方程 均与Newton方程等价 力学的基本问题、基本方 法未变 结论：二百多年来牛顿力 学无实质性进展
2011-1-11 9
新力学的理论特点: 力学的基本问题
研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。 研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即： 研究相轨图 相轨图(phase 研究相轨图(phase portrait) 例如：是否周期解？（ ？（用微扰法不能回答这 例如：是否周期解？（用微扰法不能回答这 一问题） 给出级数展开式： 一问题） 给出级数展开式：
已知的特征非线性现象： 已知的特征非线性现象：
混沌、分岔、突变、自组织现象、 混沌、分岔、突变、自组织现象、耗 散结构， 散结构，分形特征
2011-1-11 16
§3 非线性动力系统模型的建立
实际系统往往包含巨大数目自由度 s～1023， ～ 从中得出基本力学量及其遵循的方程
微观描述
µ为控制参量，表示外界的影响 为控制参量， 为控制参量
2011-1-11 17
亚宏观描述
引进集体运动变量： 引进集体运动变量： 忽略连续系统运动的涨落， 忽略连续系统运动的涨落，可由微观描 述得到
涨落耗散定理
2011-1-11
涨落项
18
宏观描述
在长时间后， 在长时间后，绝大多数集体运动模式 t→∞ 时有
由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。 由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。 的运动， 设长时间后只剩下 x1 ,…, xm 的运动，则在
2011-1-11 14
b) 什么是特征非线性现象？ 什么是特征非线性现象？
例： 考虑映射 设 f(x)>x
n→ ∞
则xn+1> xn
lim x n = ∞
即使 f 是非线性的，没有任何不同 于线性系统的有趣特征
2011-1-11 15
当 f(x)=r x(1-x) 时出现一系列 分岔、混沌等非线性现象。 分岔、混沌等非线性现象。 非线性科学并不研究对于线性 关系的偏离， 关系的偏离，而必须研究质 的变化。 的变化。
Haken称之为随动原理(slaving principle). 代入前一方程， 代入前一方程， Haken称之为随动原理(slaving 称之为随动原理 消去 xj , j=m+1,…,n 得
xj , j=1,…,m 称作序参量（基本力学量） 称作序参量（基本力学量） 绝热消除法： 中心流形→ 绝热消除法： 中心流形→ 惯性流形
非线性动力学
第一章
汪秉宏 中国科学技术大学
近代物理系
2011-1-11 1
第一章
引言
§1 Newton 力学及其发展 §2 非线性动力学的研究对象 §3 非线性动力系统模型 的建立
2011-1-11 2
§1 Newton 力学及ຫໍສະໝຸດ Baidu发展
力学的定性研究时期 （公元前－17世纪中叶） Archimedes， Galileo， Kepler 定量研究时期 世纪中叶－ 世纪末 世纪末） （ 17世纪中叶－19世纪末） 世纪中叶 Newton，Lagrange, Hamilton ，
如何证明? 如何证明?
2011-1-11 10
新力学的理论特点 新力学的理论特点
基本方法：
定性方法： 微分拓扑 大范围分析 定性方法： 微分拓扑大范围分析 代数与群论 数值方法： 数值方法：计算机模拟 大大拓宽了力学的研究领域 发现了许多新的力学现象。 混沌、 发现了许多新的力学现象。如：混沌、 分岔、突变、 分岔、突变、结构稳定性转变
2011-1-11 7
19世纪末、20世纪初发生的 19世纪末、20世纪初发生的 世纪末 对于牛顿力学的三大变革
2011-1-11
8
太阳系是否稳定？
——N 体稳定性问题 ——N
微扰是否收敛？ 许多科学家宣称太阳系是稳定的， 许多科学家宣称太阳系是稳定的，但并未给出其证 明。如 Dirichlet。 。 奥斯卡奖1890年授予 Poincare. 他证明了所有微扰 奥斯卡奖 年授予 级数是发散的，因而研究稳定性必须使用新的方 级数是发散的， 法 ——定性方法：几何拓扑，微分拓扑。 定性方法：几何拓扑，微分拓扑。 定性方法 力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。 力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。 求解 析解并不解决问题。 析解并不解决问题。
2011-1-11 19
FTP Complexity
IP address： 202.38.83.243 User name： guest Password： guest
2011-1-11 20
Thanks for Attention！ Attention！
Thanks for Attention！ Attention！
2011-1-11 3
（17世纪）Newton方程： 17世纪 世纪） 方程：
基本问题： 的函数形式， 基本问题：已知 的函数形式， 求上 述方程组的解析表达式。 述方程组的解析表达式。数学家可证明其存 在性及唯一性。 在性及唯一性。 基本方法－微扰论： 基本方法－微扰论： 存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功， 存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功， 能够精确预言天体的运动。 能够精确预言天体的运动。
考虑一对一变换 则非线性方程 有可能化为线性的
习题1： 习题 ：求G的显示表达式 的显示表达式 有些系统，其相空间不是线性空间， 有些系统，其相空间不是线性空间，这类系统必定 是非线性的。例如：刚体动力学方程， 是非线性的。例如：刚体动力学方程，相空间为 SO3 流形。称为运动(Kinetic)非线性。 流形。称为运动(Kinetic)非线性 运动(Kinetic)非线性。 F的非线性称为力学非线性。 的非线性称为力学非线性。 力学非线性
2011-1-11 11
§2 非线性动力学的研究对象
——非线性动力系统及各种特征系统的现象 非线性动力系统及各种特征系统的现象 a) 什么是非线性动力系统？ 线性方程： 线性方程：量φ满足的方程 L(φ)=0 若 （i） φ是线性空间中一个元素（矢量） 是线性空间中一个元素（ ） 是线性空间中一个元素 矢量） （ii） L(aφ＋bψ)=a • L(φ) ＋b • L(ψ) 非线性动力系统的定义： 非线性动力系统的定义： 一个动力系统， 一个动力系统，若其基本力学量的运动由非 线性方程描述，则称作非线性动力学系统。 线性方程描述，则称作非线性动力学系统。
2011-1-11 12
非线性动力系统
若一个动力系统由方程 描述， 描述，其中 的运动描述。 也可以用系综概率密度 ρ(x) 的运动描述。
Liuvill 方程：是线性的。 两个方程等价。但两者 方程：是线性的。 两个方程等价。
的基本力学量不同。 的基本力学量不同。 若以x为基本力学量， 为非线性时， 若以x为基本力学量，F为非线性时，则系统为非线 性。
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18世纪： Lagrange 方程 18世纪 世纪：
Lagrange 函数
2011-1-11 5
19世纪 19世纪 Hamilton 方程
引进广义动量
Hamilton
函数
2011-1-11 6
Lagrange, Hamilton方程 均与Newton方程等价 力学的基本问题、基本方 法未变 结论：二百多年来牛顿力 学无实质性进展
2011-1-11 9
新力学的理论特点: 力学的基本问题
研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。 研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即： 研究相轨图 相轨图(phase 研究相轨图(phase portrait) 例如：是否周期解？（ ？（用微扰法不能回答这 例如：是否周期解？（用微扰法不能回答这 一问题） 给出级数展开式： 一问题） 给出级数展开式：
已知的特征非线性现象： 已知的特征非线性现象：
混沌、分岔、突变、自组织现象、 混沌、分岔、突变、自组织现象、耗 散结构， 散结构，分形特征
2011-1-11 16
§3 非线性动力系统模型的建立
实际系统往往包含巨大数目自由度 s～1023， ～ 从中得出基本力学量及其遵循的方程
微观描述
µ为控制参量，表示外界的影响 为控制参量， 为控制参量
2011-1-11 17
亚宏观描述
引进集体运动变量： 引进集体运动变量： 忽略连续系统运动的涨落， 忽略连续系统运动的涨落，可由微观描 述得到
涨落耗散定理
2011-1-11
涨落项
18
宏观描述
在长时间后， 在长时间后，绝大多数集体运动模式 t→∞ 时有
由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。 由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。 的运动， 设长时间后只剩下 x1 ,…, xm 的运动，则在
2011-1-11 14
b) 什么是特征非线性现象？ 什么是特征非线性现象？
例： 考虑映射 设 f(x)>x
n→ ∞
则xn+1> xn
lim x n = ∞
即使 f 是非线性的，没有任何不同 于线性系统的有趣特征
2011-1-11 15
当 f(x)=r x(1-x) 时出现一系列 分岔、混沌等非线性现象。 分岔、混沌等非线性现象。 非线性科学并不研究对于线性 关系的偏离， 关系的偏离，而必须研究质 的变化。 的变化。
Haken称之为随动原理(slaving principle). 代入前一方程， 代入前一方程， Haken称之为随动原理(slaving 称之为随动原理 消去 xj , j=m+1,…,n 得
xj , j=1,…,m 称作序参量（基本力学量） 称作序参量（基本力学量） 绝热消除法： 中心流形→ 绝热消除法： 中心流形→ 惯性流形
非线性动力学
第一章
汪秉宏 中国科学技术大学
近代物理系
2011-1-11 1
第一章
引言
§1 Newton 力学及其发展 §2 非线性动力学的研究对象 §3 非线性动力系统模型 的建立
2011-1-11 2
§1 Newton 力学及ຫໍສະໝຸດ Baidu发展
力学的定性研究时期 （公元前－17世纪中叶） Archimedes， Galileo， Kepler 定量研究时期 世纪中叶－ 世纪末 世纪末） （ 17世纪中叶－19世纪末） 世纪中叶 Newton，Lagrange, Hamilton ，
如何证明? 如何证明?
2011-1-11 10
新力学的理论特点 新力学的理论特点
基本方法：
定性方法： 微分拓扑 大范围分析 定性方法： 微分拓扑大范围分析 代数与群论 数值方法： 数值方法：计算机模拟 大大拓宽了力学的研究领域 发现了许多新的力学现象。 混沌、 发现了许多新的力学现象。如：混沌、 分岔、突变、 分岔、突变、结构稳定性转变
2011-1-11 7
19世纪末、20世纪初发生的 19世纪末、20世纪初发生的 世纪末 对于牛顿力学的三大变革
2011-1-11
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太阳系是否稳定？
——N 体稳定性问题 ——N
微扰是否收敛？ 许多科学家宣称太阳系是稳定的， 许多科学家宣称太阳系是稳定的，但并未给出其证 明。如 Dirichlet。 。 奥斯卡奖1890年授予 Poincare. 他证明了所有微扰 奥斯卡奖 年授予 级数是发散的，因而研究稳定性必须使用新的方 级数是发散的， 法 ——定性方法：几何拓扑，微分拓扑。 定性方法：几何拓扑，微分拓扑。 定性方法 力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。 力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。 求解 析解并不解决问题。 析解并不解决问题。
2011-1-11 19
FTP Complexity
IP address： 202.38.83.243 User name： guest Password： guest
2011-1-11 20
Thanks for Attention！ Attention！
Thanks for Attention！ Attention！
2011-1-11 3
（17世纪）Newton方程： 17世纪 世纪） 方程：
基本问题： 的函数形式， 基本问题：已知 的函数形式， 求上 述方程组的解析表达式。 述方程组的解析表达式。数学家可证明其存 在性及唯一性。 在性及唯一性。 基本方法－微扰论： 基本方法－微扰论： 存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功， 存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功， 能够精确预言天体的运动。 能够精确预言天体的运动。