泰勒公式

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
因为 Rn ( x) f ( x) Tn ( x)
R( k n
)
(
x)
f
(
k
)
(
x
)
T( n
k
)
(
x
)
所以
在近似计 算中的应用
Rn( x0 ) Rn ( x0 ) Rn(n)( x0 ) 0,
这也就是说, Tn( x) 是逼近 f ( x) 的最佳 n 次多项式.
在以后的应用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形式
变为
f ( x) f (0) f '(0) x L f (n) (0) xn o( xn )
1!
n!
n f (k)(0) xk o( xn ).
k0 k!
f
(98 ) (0)
98! 249 49!
,
f (99)(0) 0.
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§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
例3
求
1 x
在点
x
1的泰勒公式.
解 利用 1 1 x x2 L xn o( xn ). 1 x
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
§3 泰勒公式
多项式函数是最 简单的函数.用多项式来 逼近一般的函数是近似计 算的重要内容,也是数学 的研究课题之一.
一、带有佩亚诺型余项 的泰勒公式
二、带有拉格朗日型余项 的泰勒公式
三、在近似计算中的应用
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§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
例4
求
ln(1 x2 ) e x2 sin x3 1
lim
x0
x3
.
解 因为 ln(1 x2 ) x2 x4 o( x4 ),
2
sin x3 x3 o( x3 ), e x2 1 x2 x4 o( x4 ),
所以
2! ln(1 x2 ) e x2 sin x3 1
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例2
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
求
f (x) e
x2 2
的麦克劳林公式,
并求
f (98)(0)
与 f (99)(0) .
解
由例1
ex 1
x
x2 L
xn o( xn ),
1! 2!
设
Pn( x) a0 a1( x x0 ) L an( x x0 )n ,
则
P (x ) a ,
n0
0
P( x ) a , P( x ) 2!a ,
n0
1
n0
2
,
Pn(n)( x0 ) n!an ,
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§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
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§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
定理6.8
设 f (x) 在 x = x0 处有n 阶导数，则
f ( x) Tn( x) o((x x0 )n ) ,
即 f (x)
f ( x0 )
x0
)
1
n
!
lim
x x0
f (n1)( x) x
f (n1) ( x0 ) x0
f
(
n)
(
x0
)
0.
(3)式称为 f ( x)在点 x0处的带有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式.
注1 即使 f ( x) 在点 x0 附近满足
f ( x) Pn( x) o((x x0 )n )
(4)
lim
x0
x3
x2 1 x2 x3 1 o( x3 )
= lim x0
x3
x3 o( x3 )
lim x0
x3
1.
本题虽然可用洛必达法则来求, 但上法比较简单 .
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§3 泰勒公式
在近似计 算中的应用
5. (1 x) 1 x ( 1) x2 L
2!
( 1) ( n 1) xn o( xn );
n! 6. 1 1 x x2 L xn o( xn ).
1 x
以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林公
式), 请务必牢记. 下面验证 1 和 6, 其余请读者自己验证.
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
即 a P ( x ),
0
n0
a
P( x ) , n 0
1
1!
a
P( x ) , n 0
,
2
2!
an
Pn(n) ( x0 ) . n!
上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶 导数所确定的.
设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果 f ( x) Pn( x) o((x x0 )n ),
此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.
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带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
泰勒 ( Taylor,B. 1685-1731, 英国 )
麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 )
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带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
例1 验证下列公式
1. ex 1 x x2 L xn o( xn );
1! 2!
n!
2. sin x x x3 L (1)m1 x2m1 o( x2m );
也不能说明 Pn( x) 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式.
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带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
比如 f ( x) D( x) xn1 , Pn( x) 0,
在 x0 0处满足 (4). 但是当 n > 1 时, Pn( x) 不是
3!
(2m 1)!
3. cos x 1 x2 L (1)m x2m o( x2m1);
2!
(2m)!
4. ln(1 x) x x2 x3 L (1)n1 xn o( xn );
23
n
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带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
1! 2!
n!
1. ex 1 x x2 L xn o( xn );
1! 2!
n!
6. 1 1 x x2 L xn o( xn ). 1 x
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带有佩亚诺型余项的泰勒公式
验证 6
设
g(x) 1 , 则 1 x
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
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带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
验证 1 因为 f (k)( x) ex , 所以 f (0) f (0) f (n)(0) 1.
于是 ex 的 n 阶麦克劳林公式为
ex 1 x x2 xn o( xn ).
f (x) 在点 x0 0 的 n 阶泰勒多项式, 原因是 f (x)
在点 x = 0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存
在, 所以无法构造 n 阶多项式.
注2 若 f (x) 在点 x0 有n 阶导数, 则只有惟一的多 项式 ( 泰勒多项式 Tn(x) ) 满足:
f ( x) Tn( x) o((x x0 )n ).
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带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
注3 可以证明对任意一个n 次多项式 Pn( x) , 存在 U ( x0 ), 使得
| f ( x) Tn( x) | | f ( x) Pn( x) | , x U( x0 ).
近似地代替, 其误差为 o( x x0 ). 但在许多情况下, 误差仅为 o( x x0 ) 是不够的, 而要考虑用较高次
的多项式来逼近 f , 使得误差更小, 如 o( ( x x0 )n ).
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带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
问题: 是否存在一个 n次多项式 Pn( x), 使得 f ( x) Pn( x) o((x xo )n )?
答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多 项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x) 有什么关系？
其中 k 0 表示不求导. 这时称
Tn( x)
f ( x0 )
f
( x0 1!
)
(
x
x0
)
L
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n .
(2)
为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒多项式, 称
f (k)( x0 ) (k 0 , 1 , L , n) k!
为泰勒系数. Tn( x) 确实是我们所需要的多项式.
在近似计 算中的应用
g( x)
(1
1! x)2
,
g( x)
2! (1 x)3
,
,
g(n) ( x)
(1
n! x)n1
,
故
g(0) 1, g(0) 1!, g(0) 2!, , gn(0) n!.
于是 1 在 x 0 的 n 阶麦克劳林公式为 1 x
1 1 x x2 xn o( xn ). 1 x
xx0 n!( x x )
0
0
0
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带有带佩有亚佩诺亚型诺余型项余的项泰的勒泰公勒式公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
1 lim n! x x0
f
(n1) ( x)
f
(n1) ( x0 ) x x0
f
(n) ( x0 )( x
带带有佩亚诺型余项的泰勒公式
设 f ( x) 在 x x0 处可导, 由有限增量公式
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 ). 当 | x x0 | 充分小时, f ( x) 可以由一次多项式
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x0 )( x 1!
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f
(n) ( x0 n!
)(x
x0
)n
o(( x
x0
)n ).
(3)
证 设 Rn( x) f ( x) Tn( x) , Qn( x) ( x x0 )n,
故只需证
lim Rn ( x) Rn ( x) 0 . xx0 Qn ( x) ( x x0 )n
Qn( x0 ) Qn ( x0 ) L Qn(n1)( x0 ) 0 , Qn(n)( x0 ) n! 则当 x U ( x0 ) 且 x x0 时，连续使用 n –1 次洛 必达法则, 得到
R (x) lim n lim
R( x) n
R ( (n1) x) lim n
x x0 ( x x )n x x0 n( x x )n1
即
lim
x x0
f ( x) Pn( x) ( x x0 )n
0,
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带有佩亚诺型余项的泰勒公式
则不难得到:
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
f (k)( x0 ) Pn(k)( x0 ), k 0, 1, 2, , n, (1)
n!
那么
e
x2 2
1
x2 2
x4 22 2! L
(1)n
x2n 2n n!
o(
x
2
n
).
由定理
6.8
的注
2,
可知上式就是
e
x2 2
的麦克劳林
公式, 由泰勒系数公式可知 x98和x99的系数为
1 f (98) (1)49 ,
98!
249 49!
1 f (99) (0) 0 , 99!
于是得到
1 1
1
x 1 ( x 1) 1 [( x 1)]
1 ( x 1) ( x 1)2 L
(1)n( x 1)n o(( x 1)n ).
下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限.
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