8.4 数字滤波器中系数量化效应

6
8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
定义（由系数量化引起的）极点偏差： Pi
ˆ P P P i i i
A(z)中所有系数的量化误差，对第i个极点Pi的 误差都有影响
Pi Pi ak k 1 ak
N
i 1,..., N
ˆk ak ak a
先推导 P / a i k
8
8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
A( z ) k z ak
Pi A( z ) / ak ak A( z ) / Pi Pi
N
A( z ) Pi
[ (1 Pl z 1 )]
l 1
N
Pi
N
z
1
1 ( 1 P z l ) l 1 l i

8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
一般对于窄带滤波器或过渡带很窄的滤波 器，都会有几个极点(零点)靠得很近，且 Filter的阶数也较高。这时系数量化效应引 起的极点(零点)偏差也大，严重时极点可能 移到单位圆上或单位圆外，引起系统的不 稳定。因此，在具体实现Fiter时，对于二 阶以上的Filter，最好不用直接型结构，而 用一阶或二阶的基本节进行级联和并联实 现。
8.4 数字滤波器中系数量化效应
1
8.4.1 引言
数字滤波器(DF)的量化效应表现在以下方 面：
⑴DF的系数量化效应；
⑵运算量化效应；
⑶定点补码溢出极限环振荡和定点舍入引起的
低电平极限环振荡；
时间原因，我们只给大家介绍DF的系数量化效应中的系 数量化对极零点位置的影响.
2
8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
N
z
(z P )
l l 1 l i
N
z Pi
Pi k
N i l l 1 l i
(P P ) (P P )
i l l 1 l i
9

Pi ( N k )
N
8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
Pi对系数ak量化效应的 敏感度为：
Pi Pi ( N k ) N ak ( Pi Pl )
利用a2变化造成的极点位置灵敏度，为保持极 点在其正常值的0.5%内变化，试确定所需要 的最小字长。
13
1 2 A ( z ) 1 1.7 z 0.745 z 0 解：令H(z)的分母为0，即
P2 0.85 j0.15 解得 P 1 0.85 j 0.15 P 则 P1和P2共扼出现 1 P 2 0.863 敏感度式，看a2变化的影响
l 1 l i
A(z)中各个系数的量化效应引起第i个极点的偏差
Pi
k 1 N
Pi N k
(P P )
l 1 l i i l
N
ak i 1,..., N
分母因式(Pi-Pl)表示由极点Pl指向极点Pi的矢量， 整个分母是所有极点(除了Pi极点)指向Pi极点的矢 ↑ 量之积 10 极点间距短，则极点位置敏感度大
1 ak z k
k 1

B( z ) A( z )
考察分母部分，将A(z)因式分解：
A( z ) 1 ak z k (1 Pi z 1 )
k 1 i 1 N N
对于N个ak和N个Pi，对于任一Pi研究： 某ak的误差对于Pi的影响情况 所有ak的误差对于Pi的影响情况
5
8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
敏感度
P i / ak
A(z)中，第k个系数ak量化引起A(z)多项式第i 个根(即H(z)第i个极点)Pi的变化率为 Pi / ak ， 称为极点Pi对系数ak量化的敏感度； 类似的定义可以推广到零点的情况； 通常希望对系数量化敏感度越低越好。
P 1 1 j 90o 1 3.3333e a2 P j 0.3 1P 2
P2 1 1 j 90o 3.3333e a2 P2 P j 0.3 1
14
由此可见，a2的变化对于P1、P2影响的大小是相同的 根据题意，要求出a2对P2(或P1)的影响，即要求 P2 或 P 1 P 有 P2 2 a2
IIR数字滤波器系统函数
H ( z)
k b z k
M
1 ak z k
k 1
k 0 N
B( z ) A( z )
系数ak、bk 决定系统零极点的位置，决定系统 性能 ak、bk字长有限，→量化误差，→零极点位置 偏差 本节研究系统零极点位置对系数量化偏差的敏 感度
11
8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
(P P )
i l l 1 l i
0 1
N
0
1
0
Байду номын сангаас
1
0
1
12
例题
下面举例说明极点位置灵敏度。极点位置
变化和系数字长的选择 例一(P411)：设DF的系统函数为
0.0373 0.0373 H ( z) 1 2 1 1.7 z 0.745 z 1 a1 z 1 a2 z 2
先求 Pi
7
8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
根据复合函数微分法则：
A( z ) Pi Pi A( z ) ak ak
z Pi
z Pi
A( z ) Pi ak ak A( z ) Pi z Pi
a2

0.5% P2 P2 a2 1.295 103 P2 a2 3.3333
2 a2 2.590 103 即所需的系数“量化阶”应为 若采用定点二进制小数表示，设小数点后为b位，则分辨 b 2 率为 。因为应满足 2b 2.590 103 且b应取整数，可得 b=9。即只有系数字长b=9才满足性能要求。
3
8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
思路：
首先介绍极点(零点)位置敏感度的概念 分析极点位置（偏差）对于系数量化效应的敏
感度 给出结论，低敏感度的系统结构
4
8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
设IIR Filter的传输函数H(z)为
H ( z)
k b z k M k 0 N