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集 合
一、知识结构
概 念
元 素 的 特 征 集 合 的 分 类 集 合 的 表 示
集 合 关 系
元 素 与 集 合
运 算
集 子交并补 合 与 集 合 集集集集
在学习下面的内容之前，建议同学们对相关知识进行一下 系统的复习和总结，这将有助于我们更好地理解和掌握本 节课的内容。
二、知识要点与典型例题： 1、集合中元素的特征：
示法的优势在于直观易懂，对分析问题有很大帮助。下面我们
一起做几个练习：
例4 区别下列三个集合： Axyx21，Byyx21，C(x,y)yx21。
解析：这三个集合的共同点在于它们的公共属性是相同的，其 中A、B都是数集。不同点在于这三个集合的代表元素不同，C
是点集，A和B尽管都是数集，但是研究对象则不同。因此可
任何非空集合的真子集。同时空集与任何集合的交集为空集，
空集与任何集合的并集仍然等于这个集合，空集的补集是全集， 全集的补集是空集等。
集合的表示：列举法、描述法和图示法的特点以及使用时
的注意事项。特别要说明的是在使用描述法用符号语言表示集
合的时候，首先一定要看清楚集合中的代表元素是什么，集合 中不能出现未被说明的字母，当然了，在默认情况下，集合中 的字母都属于实数集。一般地，描述法更适合表示无限集，而 列举法通常用来表示有限集或者具有一定规律的无限集，而图
的。比如“高个子的同学”、“高一数学中的难题”，都不
能组 成一个集合，这是因为高个子和难题的判断标准不具备确定 性。
（2）互异性：是集合最重要的特征。互异性是指在一个集合
中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象只能算作这
个集合中的一个元素。例如：由1，2，3，1构成的集合为{1， 2，3}；又如把两个集合{1，2，3}和{2，3，4}的元素合并到 一起构成一个新的集合时，那么新的集合只能写成{1，2，3， 4}。
集合与集合的元素是两个不加定义的概念，教科书中是通 过描述给出的，这与平面几何中点与直线的概念类似。但是， 学习这部分内容时，我们必须清楚集合中元素的特征。
（1）确定性：是集合的基本特征，是判断给定对象能否构成 集合的标准。一般地，只有当给定对象是具体的，它的属性 是明确的这两个条件同时满足时，才能构成集合，或者说对 于一个给定的集合，一个对象属不属于这个集合必须是明确
可。在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定
性”；在表示和计算一个集合时，要特别注意它的“互异性”， 因此在处理与互异性有关的这类题目时，为确保万无一失，检 验必不可少。下面我们一起研究几个例题：
例1 已知集合Sa，b，c中的三个元素是ABC的三边长， 那么ABC一定不是（ ） A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形
当a2时，B={1,3,2,5,2,5}，此时集合B中的元素既满足了互异性
的要求，同时与AB={2,5}的条件也完全吻合，所以a2满足题 意。 综上所述：a2.
通过上面的例题，我们可以得到如下启示：集合中元素的 互异性是集合最为重要的属性。教学实践告诉我们，集合中元
素的互异性既是各类考题经常要考查的内容，又常常在解题中
解之得到：x3且x 0且x 1。
例3 若A={2,4,a 2a a7， 1 2 2 3 2 ( a 3 a 8) B={1, a1,a 2a2, , a a 3a 7 ， 2 且AB={2,5},求实数a的值。
解析：因为AB={2,5}，所以a32a2a75，解得a2，或a1,
的特殊性在于这个集合中不含任何元素，比如当一个方程
（组）、不等式（组）无解时，我们说它的解集为空集。例 如：因为方程组 x y 1 无解， 3x 3 y 2
x y 1 所以集合 ( x, y) =。 3x 3 y 2
在第二节学习子集的时候教科书上规定：空集是任何集合 的子集。学习真子集的概念后，我们很容易得出结论：空集是
以下结论：这三个集合是不同的，具体区别如下：集合A是由 函数yx21的自变量x的取值范围构成的，因为x可以取任何实 数，所以Axyx21=R；集合B是由函数yx21的函数值y的 取值范围构成的，结合二次函数yx21的图像可以知道y1， 因此，Byyx21yy1；集合C是函数yx21图像上所有 点的坐标组成的集合。
（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关。例如：{1，
2}={2，1}，但是 {(1,2)} {(2,1)}。你知道其中的原因吗？
总之，正确理解集合的概念，必须要掌握构成集合的两个 条件：即研究对象是具体的，其属性（判断标准）是明确的， 按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不 在, 这两种情况必有一种且只有一种情况成立。绝对不能模棱两
至此，问题并没有结束，事实上，这只保证了A={2,4,}，集合B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性以及集合B中的元 素确定后能否满足AB={2,5}都有待于进一步验证。 下面我们把a的初步取值代入检验一下：
3 2
当a1时，a22a21，与元素的互异性相违背，故应该舍去a1. 当a1时，B={1,0,5,2,4}，AB={2,4,5}，这与AB={2,5}矛盾， 故应该舍去a1。
解析：根据集合中元素的互异性可得abc，即ABC的三条边 互不相等， 因此， ABC一定不是等腰三角形。正确答案为D.
例2
若xR，则｛3，x，x22x｝中的元素x应满足什么条件?
解析：根据集合中元素的互异性，x的取值不能使集合中的元素
有相等情况，源自文库
x 3 2 因此， x满足 x 2 x 3 2 x 2x x
被同学们所忽略，从而导致整个解题过程的失败，非常可惜！ 请同学们务必加倍重视。只要理解了互异性的概念，同时在解 题结束的时候，再检验一下，一定能够收到的事半功倍的效果。
2、集合的分类与表示：
集合的分类：数集（包括5个常见特定数集）与点集的区别与应 用，有限集、无限集和空集的区别与应用。这里面的重中之重 就是要充分理解和注意空集的特殊性。空集作为一个集合，它
一、知识结构
概 念
元 素 的 特 征 集 合 的 分 类 集 合 的 表 示
集 合 关 系
元 素 与 集 合
运 算
集 子交并补 合 与 集 合 集集集集
在学习下面的内容之前，建议同学们对相关知识进行一下 系统的复习和总结，这将有助于我们更好地理解和掌握本 节课的内容。
二、知识要点与典型例题： 1、集合中元素的特征：
示法的优势在于直观易懂，对分析问题有很大帮助。下面我们
一起做几个练习：
例4 区别下列三个集合： Axyx21，Byyx21，C(x,y)yx21。
解析：这三个集合的共同点在于它们的公共属性是相同的，其 中A、B都是数集。不同点在于这三个集合的代表元素不同，C
是点集，A和B尽管都是数集，但是研究对象则不同。因此可
任何非空集合的真子集。同时空集与任何集合的交集为空集，
空集与任何集合的并集仍然等于这个集合，空集的补集是全集， 全集的补集是空集等。
集合的表示：列举法、描述法和图示法的特点以及使用时
的注意事项。特别要说明的是在使用描述法用符号语言表示集
合的时候，首先一定要看清楚集合中的代表元素是什么，集合 中不能出现未被说明的字母，当然了，在默认情况下，集合中 的字母都属于实数集。一般地，描述法更适合表示无限集，而 列举法通常用来表示有限集或者具有一定规律的无限集，而图
的。比如“高个子的同学”、“高一数学中的难题”，都不
能组 成一个集合，这是因为高个子和难题的判断标准不具备确定 性。
（2）互异性：是集合最重要的特征。互异性是指在一个集合
中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象只能算作这
个集合中的一个元素。例如：由1，2，3，1构成的集合为{1， 2，3}；又如把两个集合{1，2，3}和{2，3，4}的元素合并到 一起构成一个新的集合时，那么新的集合只能写成{1，2，3， 4}。
集合与集合的元素是两个不加定义的概念，教科书中是通 过描述给出的，这与平面几何中点与直线的概念类似。但是， 学习这部分内容时，我们必须清楚集合中元素的特征。
（1）确定性：是集合的基本特征，是判断给定对象能否构成 集合的标准。一般地，只有当给定对象是具体的，它的属性 是明确的这两个条件同时满足时，才能构成集合，或者说对 于一个给定的集合，一个对象属不属于这个集合必须是明确
可。在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定
性”；在表示和计算一个集合时，要特别注意它的“互异性”， 因此在处理与互异性有关的这类题目时，为确保万无一失，检 验必不可少。下面我们一起研究几个例题：
例1 已知集合Sa，b，c中的三个元素是ABC的三边长， 那么ABC一定不是（ ） A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形
当a2时，B={1,3,2,5,2,5}，此时集合B中的元素既满足了互异性
的要求，同时与AB={2,5}的条件也完全吻合，所以a2满足题 意。 综上所述：a2.
通过上面的例题，我们可以得到如下启示：集合中元素的 互异性是集合最为重要的属性。教学实践告诉我们，集合中元
素的互异性既是各类考题经常要考查的内容，又常常在解题中
解之得到：x3且x 0且x 1。
例3 若A={2,4,a 2a a7， 1 2 2 3 2 ( a 3 a 8) B={1, a1,a 2a2, , a a 3a 7 ， 2 且AB={2,5},求实数a的值。
解析：因为AB={2,5}，所以a32a2a75，解得a2，或a1,
的特殊性在于这个集合中不含任何元素，比如当一个方程
（组）、不等式（组）无解时，我们说它的解集为空集。例 如：因为方程组 x y 1 无解， 3x 3 y 2
x y 1 所以集合 ( x, y) =。 3x 3 y 2
在第二节学习子集的时候教科书上规定：空集是任何集合 的子集。学习真子集的概念后，我们很容易得出结论：空集是
以下结论：这三个集合是不同的，具体区别如下：集合A是由 函数yx21的自变量x的取值范围构成的，因为x可以取任何实 数，所以Axyx21=R；集合B是由函数yx21的函数值y的 取值范围构成的，结合二次函数yx21的图像可以知道y1， 因此，Byyx21yy1；集合C是函数yx21图像上所有 点的坐标组成的集合。
（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关。例如：{1，
2}={2，1}，但是 {(1,2)} {(2,1)}。你知道其中的原因吗？
总之，正确理解集合的概念，必须要掌握构成集合的两个 条件：即研究对象是具体的，其属性（判断标准）是明确的， 按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不 在, 这两种情况必有一种且只有一种情况成立。绝对不能模棱两
至此，问题并没有结束，事实上，这只保证了A={2,4,}，集合B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性以及集合B中的元 素确定后能否满足AB={2,5}都有待于进一步验证。 下面我们把a的初步取值代入检验一下：
3 2
当a1时，a22a21，与元素的互异性相违背，故应该舍去a1. 当a1时，B={1,0,5,2,4}，AB={2,4,5}，这与AB={2,5}矛盾， 故应该舍去a1。
解析：根据集合中元素的互异性可得abc，即ABC的三条边 互不相等， 因此， ABC一定不是等腰三角形。正确答案为D.
例2
若xR，则｛3，x，x22x｝中的元素x应满足什么条件?
解析：根据集合中元素的互异性，x的取值不能使集合中的元素
有相等情况，源自文库
x 3 2 因此， x满足 x 2 x 3 2 x 2x x
被同学们所忽略，从而导致整个解题过程的失败，非常可惜！ 请同学们务必加倍重视。只要理解了互异性的概念，同时在解 题结束的时候，再检验一下，一定能够收到的事半功倍的效果。
2、集合的分类与表示：
集合的分类：数集（包括5个常见特定数集）与点集的区别与应 用，有限集、无限集和空集的区别与应用。这里面的重中之重 就是要充分理解和注意空集的特殊性。空集作为一个集合，它