第三章 规则波导和空腔谐振器

H z x, y A cos k x x B sin k x x C cos k y y D sin k y y m kx B0 a 利用边界条件可得： n ky D0 b
矩形波导TE波的通解为：
mπ nπ H z ( x, y ) H mn cos( x) cos( y ) a b Ez ( x, y, z ) 0
mπ 2 nπ 2 k k k ( ) ( ) a b
2 c 2 x 2 y
截止波数只与波导 的结构尺寸有关。
其它场分量的求解
E H 1 H x 2 (j z z ) kc y x Hy Ex E H 1 (j z z ) kc2 x y H 1 Ez ( j z ) kc2 x y
微波技术与天线
——第3章 规则波导和空 腔谐振器
y
本章开始以矩形 波导为例，学习 微波电路场的分 析方法
均匀矩形波导系统:
b
x a
O
z
★ 结构：无限长, 其横截面沿轴向不变，波沿轴向传输
★ 制成材质：理想导体 ★ 基本问题：理想介质中无源传输，即 ＝0，J ＝0
1、场矢量（解结构）
被导电磁波的解结构：由于电磁波沿轴向（z方向）传输，故 z E ( x, y, z ) E ( x, y)e H ( x, y, z ) H ( x, y)e z 待求场分量包括：
mπ 2 nπ 2 k k ( ) ( ) 2 a b
2 c 2
当 0
fc
kc 2

1 2
(
mπ 2 nπ 2 ) ( ) a b
f f c 的信号不能在波导中传输通过
截止波长
2 c kc
2 m 2 n 2 ( ) ( ) a b
分离变量法求解偏微分方程： Ez ( x, y) f ( x) g ( y)
偏微分方程化为微分方程求解：
2 kx2 k y kc2
2 2 ( 2 2 kc2 ) Ez ( x, y) 0 x y
以上两微分方程的通解为:
d 2 f x k x2 f ( x) 0 dx 2 2 d g y k 2 g ( y) 0 y dy 2
H z 1 Ez E y 2 ( j ) kc y x
mπ mπ nπ z E x ( x, y , z ) 2 E0 cos( x)sin( y )e kc a a b nπ mπ nπ E y ( x, y , z ) 2 E0 sin( x) cos( y )e z kc b a b j nπ mπ nπ z H x ( x, y , z ) 2 E0 sin( x) cos( y )e kc b a b j mπ mπ nπ z H y ( x, y , z ) 2 E0 cos( x)sin( y )e kc a a b
m 0，2， 1 3, ， n 0，2， 1 3, ， m和n不能同等于零
mπ mπ nπ z H x ( x, y , z ) 2 H mn sin( x) cos( y )e kc a a b nπ mπ nπ H y ( x, y , z ) 2 H mn cos( x)sin( y )e z kc b a b j nπ mπ nπ z E x ( x, y , z ) 2 H mn cos( x)sin( y )e kc b a b j mπ mπ nπ z E y ( x, y , z ) 2 H mn sin( x) cos( y )e kc a a b
2
2 Ex k 2 Ex 0， 2 H x k 2 H x 0 E y k E y 0， H y k H y 0
2 2 2 2
—— 横向场方程 —— 纵向场方程
2 Ez k 2 Ez 0， 2 H z k 2 H z 0
利用解形式化简为：
f x A cos kx x B sin kx x g x C cos k y y D sin k y y
Ez x, y A cos k x x B sin k x x C cos k y y D sin k y y
Ez x, y A cos k x x B sin k x x C cos k y y D sin k y y
n：表示场 沿波导截面 窄边分布的 半波数
y一定时，x从0到a，Ez存在1个极点，2个零点，经历了一个”半波 “ x一定时，x从0到a，Ez存在2个极点，3个零点，经历了两个”半波 “
截止频率 f c 和截止波长 c
k k
2 2 c
2
如：
kc2 < k 2 kc2 k 2
mπ nπ Ez ( x, y, z ) E0 sin( x)sin( y )e z a b mπ 2 nπ 2 2 2 2 j j k kc j ( ) ( ) a b
被导电磁波的分类 Ez= 0， Hz= 0 的波，称为横电磁波，简记为 TEM 波 Ez 0， Hz= 0 的波 ，称为横磁波，简称为 TM 波或 E 波 Ez= 0， Hz 0 的波，称为横电波，简称为 TE 波或 H 波。
结构：如图 所示，a ——宽边尺寸、 b ——窄边尺寸 特点：可以传播TM 波和TE波，不能传播TEM波
表3-1-1给出了矩形波导中的部分波型的截止波长
1. 截止波长不仅与波导尺寸有关，还与波型指数 有关。 2. 矩形波导中存在一个截止波长对应几个波型的 现象，即简并现象。
单模传输条件
Ⅲ
TE12 , TM12
TE30 TE11 ,TM11 TE01 TE20 TE10
Ⅱ
Ⅰ
模式分布图可按工作 波长分为三个区： 截止区（Ⅰ）： > 2a
边界条件：Ez |x 0 0
Ez | x a 0
m kx a n ky b
E z | y 0 0 E z | y b 0
可得：
A0 C 0
m 1, 2,3…… n 1, 2,3……
令：E0 BD
m Ez x, y BD sin a
矩形波导中，场分布的几点讨论 m、n的物理解释 以TM波电场的z分量为例
m：表示场 沿波导截面 宽边分布的 半波数
mπ nπ Ez ( x, y, z ) E0 sin( x)sin( y )e z a b
当m=1，n=2时
π 2π z Ez ( x, y, z ) E0 sin( x)sin( y )e a b

Hx Hy
E H 1 (j z z ) kc2 y x E H 1 (j z z ) kc2 x y
H z 1 Ez Ex 2 ( j ) kc x y H z 1 Ez E y 2 ( j ) kc y x
单模区（Ⅱ）： a < < 2a 多模区（Ⅲ）： < a
2b a
2a

模式分布图（a>2b）
单模工作条件为： 2a
max a, 2b
Ex ( x, y, z )、E y ( x, y, z )、H x ( x, y, z )、H y ( x, y, z ) —— 横向分量
Ez ( x, y, z )、H z ( x, y, z ) —— 纵向分量
2. 场方程（分析方法） 根据亥姆霍兹方程 其场分量形式即为：
2 2 2 E k E 0， H k H 0
横向场分量与纵向场分量的关系 Ez 直角坐标系中展开 E y j H x y Ez Ex j H y E j H x E y Ex j H z x y 直角坐标系中展开 H z H y j Ex y H H j E z H x j E y x H y H x j Ez x y
n x sin y b
所以TM波的纵向电场分布为：
Ez ( x, y, z ) Ez ( x, y)e
z
mπ nπ E0 sin( x)sin( y)e z a b m 1 2， n 1 2， ， 3, ， 3,
其中:
2 kc2 k 2
由于
源自文库
Ez ( x, y, z ) Ez ( x, y )e z H z ( x, y, z ) H z ( x, y )e
z
2 2 ( 2 2 kc2 ) Ez ( x, y ) 0 x y
kc2 2 k 2
2 2 ( 2 2 kc2 ) H z ( x, y ) 0 x y
mπ nπ x)sin( y )e z H z ( x, y, z ) 0 Ez ( x, y, z ) Emn sin( a b
2. TE波（Ez= 0）
纵向场只有Hz ，其边值问题为： y b x a
O
2 2 ( 2 2 kc2 ) H z ( x, y ) 0 x y
Ex ( x, y, z ) Ex ( x, y )e z E y ( x, y, z ) E y ( x, y )e z Ez ( x, y, z ) Ez ( x, y )e z
其中：
H x ( x, y, z ) H x ( x, y )e z H y ( x, y, z ) H y ( x, y )e z H z ( x, y, z ) H z ( x, y )e z
矩形波导中的场分布 1. TM 波（ Hz = 0 ）
纵向场只有Ez ：
y b x a
O
z
2 2 ( 2 2 kc2 ) Ez ( x, y) 0 x y
边界条件：Ez |x 0 0
Ez | x a 0
E z | y 0 0 E z | y b 0
结合纵横场量之间的关系
H z Hx 2 kc x H z Hy 2 kc y
H z H z | x 0 0 | xa 0 x x H z H z | y 0 0 | y b 0 y y
同样，利用分离变量法，可得纵向磁场的通解为：
纵向磁场的边界条件？
n H J n E 0 nB 0 nD s
切向磁场 不为0 法向磁场 为0
z
H x |x 0 0 H x |x a 0 H y | y 0 0 H y | y b 0