运筹学-图的基本概念(名校讲义)

§6 图的链、路及连通性 （3）
2．有向图的有关术语 ①链（初等链）：若Q是有向图G的基本图中的一条链（初等 链），则Q亦是G的链（初等链）。 ②路：若G的链 Q＝ i0 e j1 i1 is 1 e js is
中的每条边 e js 恰以为 is－1 起点，以 i 为终点，则称Q为从
§2 图的定义、分类及有关术语（3）
其几何图形示于图5-4中。 ②有关术语（在图G(V，E)中） (i)平行边（或多重边，重复边）： 具有相同端点的边。 e3 v3

e4 e e 2 e1 5 v4 (ii)环：两个端点落在一个顶点的边。 v2 v1 e6 e7 e8 (iii)简单图：无平行边和环的图。 v5 (iv)完备图：点点有通路，又无平 图5-4 行边，这类图又可称完全图或完美 图。
②若G1G，且G1G时，称G1为G的真子图，记为G1G。
③若G1G，且V1=V时，称G1为G的生成子图（即两图的顶点 一样）。
2．子图运算（略）
§5 顶点的度(v)
在无向图G=(V，E)中，与顶点v相联的边数，称为v的度(v)。 1．若(v)为偶数，称为偶度顶点。 若(v)为奇数，称为奇度顶点。 2．定理一：图的顶点度之和为2 m （m为图中总边数） 3．任一图中，奇度顶点个数必为偶数。 4．如果图G=(V，E)中，所有顶点的度均相等，则称G为正 则的，顶点度均为的正则图称为度正则的。0度正则图根本 无边，1度正则图只有一条边。
③路径：G的路Q中每个顶点都不相同，称Q为从 i 至
0
ik 1 e jk ik
i
0
至 i 的单向路，简来自百度文库路。
k
s
i
k
的单向路径，简称路径。
§6 图的链、路及连通性 （4）
④回路:起终点重合的单向路径称为单向回路，简称回路。 ⑤可达性：从u至v若存在路径，称u可达v。 ⑥连通图：G中任意两点间存在链的有向图。 ⑦强连通图：G中任意两点间相互可达的有向图。
§7 树及其性质 （1）
1．树的定义及术语 ①树：无回路的连通无向图称为树。 ②枝：树中的边称为枝。 ③生成树：若树T是无向图G的生成图，则称T是G的生成树。 ④根：有向图G中可以到达图中任一顶点的顶点u称为G的根。 ⑤根树：若有向图G有根u，且它的基本图是一棵树，则称G
为以u为根的根树或有向树。
§2 图的定义、分类及有关术语（6）
v2 e7 e6 v1 e4 图5-6 e8 e2 v 3 e
3
e1
v3
v4
e5

v
a


e d

e2

h x
v5
y
c
f
w
图5-7
§3 图的矩阵表示（1）
用矩阵表示无环图中点与边的联接关系可使人们一目了然。 可用4种矩阵表示一个图，是关联矩阵、邻接矩阵、回路矩 阵、割集矩阵。我们只介绍最常用的前两种矩阵。 1．无向图的矩阵表示 ①关联矩阵A(G)，该矩阵是表示顶点与边的联接关系。令图 G=(V，E)，V={v1，v2，，vn}， E={e1，e2，，em}，则矩阵A(G)元素[aij]（A阵为n×m）定 义为：
②闭链和开链：在Q链中，在k＞0时，若 i 0 链，否则为开链。 ③初等链：开链Q中，顶点都不相同。
①链：满足上述条件的Q，即为G中的链。在简单图中，链可用 顶点序列表示(因为无平行边)，例如可写为 Q i0 i1 ik 。
ik ，则称Q为闭
§6 图的链、路及连通性 （2）
C
A
B
D 图 5-1
§1 引言 （2）
有人提出这样问题：从河岸或岛上任一地方 开始步行，能否通过每一座桥恰恰一次后又 返回原地？ 瑞士数学家列昂纳德欧拉（1707~1783）将 这个问题简化为一个如图5-2所示的直观数 学模型，即用4个点表示两岸和两个小岛， 用两点间联线表示桥。于是问题转化为：在 该图中，从任一点出发，能否通过每个线段 一次且仅仅一次又回到原出发点。欧拉当时 就证明出这是不可能实现的，并为此写了被 公认为世界第一篇有关图论方面的论文，并 于1736年由圣彼德堡科学院发表。 C
第二十五讲 图的基本概念
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 引言 图的定义、分类及有关术语 图的矩阵表示 子图及其运算 顶点的度(v) 图的链、路及连通性 树及其性质
§1 引言 （1）
图论是数学中广泛应用的一 个分支。 早期图论与“数学游戏”有 着密切关系，所谓“哥尼斯 堡七桥”问题就是其中之一。 原东普鲁士的哥尼斯堡城有 一条普莱格尔河，河中有两 个小岛，有7座桥把该河的 两个小岛与河岸联结起来， 如图5-1所示。
④回路C：除起始点与终点重合外，其余顶点都不同的闭链称为 回路，记为C。 ⑤点连通：G中两点u，v之间存在链，称u，v是连通的。 ⑥连通图：G中任两点间都连通，则称G为连通图；否则称为分 离图。G内顶点连通关系满足等价关系。据此，可把G中顶点集 合V分成几个互不相交的子集V1，V2，，V，使得只有两个顶 点同属一个子集时，才能连通。 ⑦分支：上述子集V1 ，V2 ，，V所对应的子图G1 ，G2 ，， G称为分支。图G的分支个数记为( G)。 ⑧割边：若eE(G)，且( E－e)> ( G)，则称e为G的割边。
§7 树及其性质 （2）
2．树的性质 ①树必连通，但无回路。 ②树必有n－1条边（设有n个顶点）。 ③树无回路，但不相邻顶点联以一边，恰得一回路。 ④树连通，但去掉任一边，必变为不连通。 ⑤树中任两点间，恰有一条初等链。
§2 图的定义、分类及有关术语（1）
定义：一个图是由一个表示具体事物的点（顶点）的集合和 表示事物之间的联系（边）的集合所组成。 分类：通常把图分成两类，图边不带方向的无向图及图边具 有方向的方向图。
1．无向图
①定义及表示 设V={v1，v2，，vn}是由一个由n个顶点组成的非空集合。 E={e1 ，e2，，em}是一个由m条边组成的集合，且知E中元 素e是V中的一个无序元素对[u，v]。则称V和E这两个集合共 同构成了一个无向图G，记作G＝(V，E)。
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
1 2 3 4 1 0 1 2 1 0 B(G ) 3 1 2 4 0 0 v2 e
1
1 1 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1 1 1 0 0 A(G) 3 0 0 1 1 0 1 1 4 0 0 0 0 1 1 0
0 aij 1 1 表示i与e j 不关联 表示i为e j的起点 表示i为e j的终点
②邻接矩阵B’(G)元素[b’ij]定义为以为vi 起点和以vj 为终点的 边数。 针对有向图5-9，可分别写出相应的关联矩阵A’(G)和邻接矩 阵B’(G)为：
§3 图的矩阵表示（5）
1 2 3 4 5
0 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1
显然，图5-8的邻 接矩阵B(G)可表 达为：
1 2 3 4 5
2 0 0 1 0
§3 图的矩阵表示（4）
2．有向图的矩阵表示（与无向图定义相似） ①关联矩阵A’(G)元素[a’ij]定义为：
0 0 0 0
0 1 1 0
显然，A’(G)中列元素和必为0。 B’(G)中，i行元素和为以vi为 起点的有向边数，j列元素和为以vj 为终点的有向边数。

v1 e 7

e2 e5 v4
图5-9
e4
e3
e6
v3
§4 子图及其运算
1．子图的有关定义： ①设G1=(V1 ，E1)，G=(V，E)，若V1V，E1E，则称G1 为G 的子图，记为G1G。
§3 图的矩阵表示（2）
0，表示i与e j 不关联 aij 例如，图5 8的关联矩阵A(G )为： 1，表示i与e j 关联
e1 e2 1 0 0 0 1 e3 0 1 0 1 0 e4 1 0 0 1 0 e5 0 0 1 1 0 e6 e7
1 1 2 1 3 0 4 0 5 0


A
B
D 图 5-2

§1 引言 （3）
图论中的“四色猜想”是近代数学中没有解决的最著名问题 之一。即在一个平面或球面上的任何地图只需用4种颜色来着 色，便可使任何相邻的两个国家（具有公共的边界线，不是 仅一点相接）具有不同的颜色。该问题只需几分钟即可对不 懂数学的人讲清楚，然而数学家们化了一个多世纪时间也始 终未彻底解决这个问题。虽然1976年美国的阿普尔、黑尔和 考齐等三人依靠电子计算机用了1200个小时证明该猜想是正 确的，然而并不理想，数学家们仍希望不依靠计算机给出证 明。 本书只准备介绍图的基本概念以及图论在诸如路径问题、网 络流问题和匹配问题等领域中的应用。
§2 图的定义、分类及有关术语（2）
若e＝[u，v]＝[v，u]，则称u与v为无向边e之端点；边e与顶点 u、v相关联；顶点u与v相邻。 [例5-1] 已知图G＝（V，E）有5个顶点和8条边，其点边关系 示于表5-1中 表5-1 e e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8
e＝[u,v] [v1,v2] [v2,v3] [v3,v3] [v3,v4] [v2,v4] [v4,v5] [v2,v5] [v2,v5]
§2 图的定义、分类及有关术语（4）
2．有向图 ①定义及表示 E中元素e是V中一个有序元素对(u，v)，则称V和E这两个集 合构成了一个有向图G，记作G＝(V，E) 。通常e=(u，v)表明 u和v分别为边e的起点和终点。 ②有关术语 (i)平行边（多重边）：起终点全相同的边。 (ii)环：起终点落为一个顶点的边。 (iii)简单图：既无环又无平行边的有向图。
§6 图的链、路及连通性 （1）
1．无向图的有关术语 设 Q＝ i0 e j1 i1 is 1 e js is ik 1 e jk ik 是无向图G=(V，E)中的 由顶点和边交错而成的非空有限有序列，且序列中边
e js (1 s k )的2个端点恰为序列中顶点 is 1 与 is ，则定义：
0 1 0 0 0 0 1 0 1 1
e2

v1
e1
v5

e7 e4 e6 v4

v2
e3 e5 v 3
图5-8
e6
§3 图的矩阵表示（3）
②邻接矩阵B(G)，该阵表示顶点之间的邻接关系。令图G=(V， E)，V={v1，v2，，vn}， E={e1 ，e2，，em}，则矩阵B(G)元素[bij]（B阵为n×n）定 义为： 0 表示 i 与 j 无联接边 bij N 表示 i 与 j 之间的联接边数
§2 图的定义、分类及有关术语（5）
(iv)完备图：图中任意两点u，v间有且仅有2条有向边(u，v) 及(v，u)的有向图。 (v)基本图：将图G中的有向边全变为无向边后所得的图G’称 为G的基本图。
3．同构
如果图G=(V，E)和G’=(V’，E’)的各自顶点集合V与V’之间以 及各自边集合E与E’之间在保持关联性质条件下一一对应， 则称图G与G’同构，即同构图的点边关系一样，而形状和点 边符号可以不同。例如，图5-6和图5-7就是同构关系。