中学数学思想方法

中学数学思想方法

教学目的：

通过本章的学习，使学生了解学习中学数学思想方法的重要意义；理解中学数学中常用的思想方法；掌握在中学数学教学中培养中学生数学思想方法的方法和手段。

教学重点、难点与关键：

中学数学思想方法的理解记载中学数学教学中对学生的培养

教学方法：

讲授、讨论与阅读讲义和中数教材相结合

主要内容：1、中学数学思想方法概述。2、中学常用的数学思想方法。3、中学数学思想方法与教学。

教学程序：

第一节中学数学思想方法概述

数学思想方法一词无论是在数学、数学教育范围内，还是在其他学科中，都已被广为使用。数学基础知识包括数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理等以及它们反映出来的数学思想方法。

但是，什么是数学思想、数学方法以及数学思想方法？这些不能像数学中的概念那样可以明确地给出定义（至少目前不能），而只能给出一种解释或界定。

一、浅析数学思想与数学方法

方法是一个元概念，它和点、线、面、集合等概念一样，不能逻辑地定义，只能概略地描述。例如，可把方法说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式、手段、途径等的统称。人们将学习数学、研究数学、讲授数学和应用数学的活动统称为数学活动。数学方法，顾名思义，就是人们从事数学活动所用的方法。数学方法主要牵涉方法论方面的内容，如表示、加工、处理某种现象或形式的手法。数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即严密的逻辑性以及结论的确定性；三是普遍的应用性和可操作性。数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言；二是提供定量分析及计算的方法；三是提供逻辑推理的工具。

人们常用数学思想来泛指某些有重大意义、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果，例如坐标思想、极限思想、概率统计思想等。可是对这些例子来说，将思想换成方法同样适用。一般地说，数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。数学思想既牵扯到认识论方面的内容，如对数学科学的看法，对数学与外部世界关系的看法，对数学认识过程的看法，也牵涉方法论方面的内容，如处理数学问题时的意识，策略和指向。数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴。而数学方法则是解决数学问题的手段，具有行为规则的意义和一定的可操作性。同一数学成果，当用它去解决个别问题时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为思想。例如极限，用它去求导数、求积分时，人们就是说极限方法；当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表示，使无限向有限转化时，人们就讲极限思想了。当将这两重意思合在一起说时，就有了极限思想方法、数学思想方法之类的提法。M.克莱因的巨著《古今数学思想》，其实说的都是古今数学方法，只不过从数学史角度看，人们更加注重那些数学大师们的思想贡献，文化价值，因而才称之为数学思想。

相对数学方法而言，数学思想更具有普遍性与可创造性，其抽象程度更高一些，理论的味道更浓一些。数学方法经常表现为实现某种数学思想的手段，而对于方法的有意识选择，往往体现出对于数学思想的理解深度。

尽管存在着这样或那样的区别，但是数学思想与数学方法之间的总体关系乃是密不可分相互交融的。我们不可能也没必要把数学思想和数学方法严格区分开来。因此，人们常常对这两者不加区分，而统称为数学思想方法，这样会显得更为方便。

数学思想方法是在数学科学的发展中形成的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂。数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识。它从属于哲学思想方法和一般科学思想方法，它是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思想方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的，不是一成不变的。

二、中学数学中的数学思想方法

数学思想方法，从接受的难易程度可分为三个层次：一是基本具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法，以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；三是数学思想，如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想及化归与转化的思想。数学思想方法还可以按其他方式进行分类。例如，胡炯涛认为：最高层次的基本数学思想是数学教材的基础与起点，整个中学教学的内容均遵循着基本数学思想的轨迹而展开。“符号化与变换思想”、“集合与对应思想”以及“公理化与结构思想”构成了最高层次的基本数学思想。他认为中学数学基本思想是指：渗透在中学数学知识与方法中具有普遍而强有力适应性的本质思想。归纳为十个方面内容：符号思想、映射思想、化归思想、分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想、模型思想。

除了胡炯涛对数学思想方法的阐述，任子朝在《改进高考命题推行素质教育》一书中认为数学思想方法包括：数形结合的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想；逻辑学中的方法：分析法、综合法、反正法、归纳法；具体数学方法：配方法、换元法、待定系数法、同一法等。

第二节中学常用的数学思想方法

一、字母代表数思想

用字母代替数字，是中学生最先接触到的数学思想，也是初等代数以及整个数学教育最重要、最基础的数学思想。19世纪以来，代数学已经发展成为关于形式运算的一般学科，并随着字母意义由数→向量→矩阵→张量→旋量→超复数等各种形式量的不断拓展，而得到长足的发展。

在数学中，由字母代表数，各种量与量之间进行推理与演算，都是以符号形式来表示的，从而形成一整套形式化的数学语言。例如，我们可以用点“M(x,y,z)”来表示物体所在的空间位置，用“G=f(m)”表示重力与质量的关系，用“=”表示等于，用“∈”表示属于，用“∫”表示积分等。对数学而言，只有广泛使用符号，才能有利于问题的陈述、推理的表达和定量的计算。符号是人类思维与交流的工具，它能够清晰而简明的表达数学思想和规律。

二、建立模型思想

模型是相对原型而言的。原型是指在现实世界中所遇到的客观事物，而模型