通信原理精品课--第七章 m序列(伪随机序列)

…+1,-1,+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1,… 这是一个随机序列，它具有如下基本性质：
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7.3 m序列的性质
5 伪噪声特性
(1) 序列中+1 和-1 出现的概率相等； (2) 序列中长度为 1 的游程约占 1/2，长度为 2 的游程约占
i 1
其中，l=n+k-1≥n, k=1,2,3,…
＋
n－1 a1
cn－1 n
a0
cn＝1 输出 ak
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7.1 m序列
m序列的产生
一个产生最长线性反馈移位寄 存器序列的n级移位寄存器的 特征多项式必须为n次的本原
多项式。
线性反馈移位寄存器的特征多项式
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7.1 m序列
m序列的产生
输出序列是一个周期序列。其特性由移位寄存器的级数、 初始状态、反馈逻辑以及时钟速率(决定着输出码元的宽度) 所决定。 当移位寄存器的级数及时钟一定时，输出序列就由移位寄 存器的初始状态及反馈逻辑完全确定。当初始状态为全零 状态时，移位寄存器输出全 0 序列。为了避免这种情况， 需设置全 0 排除电路。
a3
a2
a1
a0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
ak 0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
图7-2 m序列产生器
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… … … …
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7.2 m序列产生器
m序列产生器的构成
部分m序列发生器的反馈系数
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通信原理
主讲人：吴海涛 副教授 TEL: 15819300159 Email:wuhaitaoabc@163.com
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第7章 m序列（伪随机序列）
7.1 m序列 7.2 m序列产生器 7.3 m序列的性质 7.4 m序列的应用 7.5 小结
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7.1 m序列
m序列的产生
＋
＋
c0＝1
c1
c2
1 an－1
2 an－2
＋
n－1 a1
cn－1 n
a0
cn＝1 输出 ak
线性反馈移位寄存器的递推关系式
递推关系式又称为反馈逻辑函数或递推方程。设图7-1 所示的线性反馈移位寄存器的初始状态为(a0 a1 …an-2 an-1)， 经一次移位线性反馈，移位寄存器左端第一级的输入为
n
an c1an1 c2an2 cn1a1 cna0 ciani
i 1
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7.1 m序列
m序列的产生
＋
＋
c0＝1
c1
c2
1 an－1
2 an－2
线性反馈移位寄存器的递推关系式
若经k次移位，则第一级的输入为
n
al ciali
在其一个周期的 15 个元素中，共有 8 个游程， 其中长度 为 4 的游程一个， 即 1 1 1 1; 长度为 3 的游程 1 个， 即 0 0 0； 长度为 2 的游程2个， 即1 1 与 0 0； 长度为 1 的游程 4 个， 即 2 个 1 与 2 个 0。
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除 (x5 1)，故它不是本原多项式。因而找到两个4次本原多
项式
(x4 x 1) (x4 x3 1)
用 (x4 x 1)构成的m序列产生器如下所示：
10011
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7.2 m序列产生器
a3 a2
a1
a0
m序列产生器的构成
＋
1
2
3
4
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7.3 m序列的性质
3 移位相加特性(线性叠加性)
例如： mp=0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1, … mp延迟两位后得mr, 再模二相加 mr= 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0, … ms=mp +mr= 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 , … 可见，ms=mp+mr为mp延迟 8 位后的序列。
则称f(x)为本原多项式。 （书中定理12—2-3-4）
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7.2 m序列产生器
m序列产生器的构成
以4级线性反馈移位寄存器为例
现以n=4为例来说明m序列产生器的构成。用 4 级线性反馈 移位寄存器产生的m序列，其周期为p=24-1=15，其特征多 项式f(x)是4次本原多项式，能整除(x15+1)。先将(x15+1)分 解因式，使各因式为既约多项式，再寻找f(x)。
是连 1 游程。
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7.3 m序列的性质
3 移位相加特性(线性叠加性)
m序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该m序列 的某个位移序列。 设mr是周期为p的m序列mp r次延迟移位 后的序列，那么
mp mr ms
其中，ms为mp某次延迟移位后的序列。
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7.3 m序列的性质
4 自相关特性
m序列具有非常重要的自相关特性。在m序列中， 此时定 义：设长为 p的m序列， 记作
a1, a2, a3,, ap ( p 2n 1)
经过j次移位后，m序列为
a j1, a j2 , a j3 ,, a j p
R( j) A D A D
A D
p
对应元 素不同 的数目
R( j) [ai ai j 0]的数目 [ai ai j 1]的数目 p
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7.3 m序列的性质
4 自相关特性
由移位相加特性可知，ai ai j 仍是 m序 列中 的 元素 ，所 以上式中分子就等于m序列中一个周期中 0 的数目与 1 的
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7.3 m序列的性质
4 自相关特性
其中ai+p=ai (以p为周期)，以上两序列的对应项相乘然后相
加，利用所得的总和
p
a1 a j1 a2 a j2 a3 a j3 ap a j p aia ji
i 1
来衡量一个m序列与它的j次移位序列之间的相关程度，并
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7.4 m序列的应用
扩展频谱通信 （海蒂·拉玛，Hedy Lamarr） 码分多址(CDMA)通信（1985年，高通） 通信加密 误码率的测量
图7-1 线性反馈移位寄存器
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7.1 m序列
m序列的产生
由于带有反馈，因此在移位脉冲作用下，移位寄存器各级 的状态将不断变化，通常移位寄存器的最后一级做输出， 输出序列为
{ak } a0a1an1
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x15 1 ( x 1)(x 2 x 1)(x 4 x 1)
( x 4 x3 1)(x 4 x3 x 2 x 1)
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7.2 m序列产生器
m序列产生器的构成
以4级线性反馈移位寄存器为例
其中，4次既约多项式有3个，但由于 (x4 x3 x2 x 1) 能整
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7.1 m序列
伪随机序列
1、通信系统中的随机噪声使信号出现误码，希望减小或消除； 2、实验中对通信系统测试时，要加入一定的噪声； 3、保密通信时也希望利用噪声； ➢ 需要产生符合要求的随机噪声，但是难以重复产生和利用。 ➢ 直到20世纪60年代，伪随机噪声的发明，问题得到解决。 ➢ 伪随机噪声具有类似于随机噪声的某些统计特性，同时又
7.3 m序列的性质
4 自相关特性
R(j)
1
－P
－3 －2 －1
12 3
0
图7-3 m序列的自相关函数 《通信原理》精品资源共享课
P－1 P
j
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7.3 m序列的性质
5 伪噪声特性
如果我们对一个正态分布白噪声取样， 若取样值为正， 记 为+1，取样值为负，记为-1，将每次取样所得极性排成序 列， 可以写成
把它叫做m序列(a1,a2,a3,…,ap)的自相关函数。记作
R( j)
1 p
p i 1
ai a ji
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7.3 m序列的性质
对应
+1/-1
4 自相关特性
当采用二进制数字 0 和 1 代表码元的可能取值时（12.1-8）
对应元 素相同 的数目
用多项式f(x)来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态：
n
若一个n次多项式f(x)满足下列条件 f ( x) c0 c1x cn xn ci xi
(1) f(x)为既约多项式(即不能分解因式的多项式)；
i0
(2) f(x)可整除(xp+1), p=2n-1;
(3) f(x)除不尽(xq+1), q<p。
1/4，长度为 3 的游程约占 1/8, … 一般地， 长度为k的游 程约占1/2k，而且+1, -1 游程的数目各占一半； (3) 由于白噪声的功率谱为常数，因此其自相关函数为一冲 击函数δ(τ)。——信号的自相关函数与功率谱密度构成一 对傅里叶变换对。
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级数 序列长度 反馈系数（本原多项式的8进制表示）
3
7
13
4
15
5
31
6
63
余略，可查表。
23 45，67，75 103，147，155
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7.3 m序列的性质
1 均衡特性(平衡性)
m序列每一周期中 1 的个数比 0 的个数多 1 个。 由于p=2n-1 为奇数，因而在每一周期中 1 的个数为(p+1)/2=2n-1为偶数， 而0 的个数为(p-1)/2=2n-1-1 为奇数。上例中p=15, 1 的个数为 8，0 的个数为 7。当p足够大时，在一个周期中 1 与 0 出现 的次数基本相等。
能重复产生（周期性数字序列经滤波等处理）。
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7.1 m序列——最长线性反馈移位寄存器序列
m序列的产生
线性反馈移位寄存器——最长周期(2n-1 )
＋
＋
＋
c0＝1
c1
c2
1 an－1
2 an－2
n－1 a1
cn－1 n
a0
cn＝1 输出 ak
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7.3 m序列的性质
2 游程特性(游程分布的随机性)
m序列的一个周期(p=2n-1)中，游程总数为2n-1。其中长度 为 1 的游程个数占游程总数的 1/2；长度为 2 的游程个数占 游程总数的1/22=1/4；长度为 3 的游程个数占游程总数的 1/23=1/8； …… 一般地，长度为k的游程个数占游程总数的 1/2k=2-k，其中 1≤k≤(n-2)。 而且，在长度为k 游程中，连 1游程与连 0 游 程各占一半，长为(n-1)的游程是连 0 游程， 长为 n 的游程
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7.3 m序列的性质
2 游程特性(游程分布的随机性)
把一个序列中取值(1 或 0)相同连在一起的元素合称为一个
游程(Run Length) 。在一个游程中元素的个数称为游程长 度。例如图 7-2 中给出的m序列
{ak}= 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 …
m序列的自相关函数只有两种取值(1和-1/p)。R(j)是一个周 期函数，其周期与m序列的周期相同。即
R( j) R( j kp) j=整数
式中，k=1,2,…, p=(2n-1)为周期。 而且R(j)是偶函数， 即
R( j) R( j)
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数目之差。 另外由m序列的均衡性可知，在一个周期中0
比 1 的个数少一个，故得A-D = -1 (j为非零整数时)或 p (j为
零时)。 因此得
1
R(
j)源自文库
1
p
j0 j 1,2,,( p 1)
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7.3 m序列的性质
4 自相关特性