《固体物理学》房晓勇-习题04第四章 晶体结构中的缺陷

第四章 晶格结构中的缺陷

4.1 试证明，由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为

s

B k T

s n N e

μ-

=

其中s μ是形成一个空位所需要的能量。

证明：设由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为s n ，则其微观状态数为 !()!!

s s s N P N n n =

-

由于s μ个空位的出现，熵的改变

[]!ln ln

ln ()ln()ln ()!!

B s B B s s s s s s N S k P k k N N N n N n n n N n n ∆===-----

晶体的自由能变化为

[]ln ()ln()ln s s s s B s s s s F n T S n k T N N N n N n n n μμ=-∆=-----

要使晶体的自由能最小

B

()ln 0s s s s T n F u k T n N n ⎡⎤⎛⎫

∂∆=+= ⎪⎢⎥∂-⎣⎦⎝⎭

整理得 s

B k T

s s

n e N n μ-

=-

在实际晶体中，由于,

s n N <

n n N

N n ≈-，得到

s

B k T

s n N e

μ-

=

4.2 铜中形成一个肖托基缺陷的能量为1.2eV ，若形成一个间隙原子的能量为4eV ，试分别计算1300K 时肖托基缺陷和间隙原子数目，并对二者进行比较。已知，铜的熔点是1360K 。

解：（王矜奉4.2.4）根据《固体物理学》4-8式和4-10式，肖托基缺陷和间隙原子数目分别为

s

B k T

s n N e

μ-

= 1

1B k T

n N e

μ-

=

得19

23

1.2 1.6105

1.3810

1300

2.2510

s

B k T

s n N e

N e

N μ--⨯⨯-

-

-⨯⨯===⨯

19

1

23

1.241016

1.3810

1300

1 3.2110B k T

n N e

N e

N μ--⨯⨯-

-

-⨯⨯===⨯

4.3 设一个钠晶体中空位附近的一个钠原子迁移时，必须越过0.5eV 的势垒，原子振动频率为1012Hz 。试估算室温下放射性钠在正常钠中的扩散系数，以及373K 时的扩散系数。已知，形成一个钠空位所需的能

量时1eV . 解：（刘友之8.8）根据《固体物理学》4-24式，

22B ()/2

021e

2u E k T

D a ν-+=

考虑沿[001]方向的扩散，()10

0/2 4.28210/2a a m -==⨯，在室温300K 时

()()

1923

22B 22B 2

2

10(0.51) 1.610

/1.3810300()/()/2

1200202

33

2

111 4.23810e

e 10e 2

22221.5310

/u E k T

u E k T a D a m

s νν----+⨯⨯⨯⨯-+-+-⎛⎫⨯⎛⎫=

==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

=⨯ 在373K 时 ()()

1923

22B 22B 2

2

10(0.51) 1.610

/1.3810373()/()/2

1200202

28

2

111 4.23810e

e 10e 222221.2910

/u E k T

u E k T a D a m

s νν----+⨯⨯⨯⨯-+-+-⎛⎫⨯⎛⎫=

==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

=⨯ 4.4 在离子晶体中，由于电中性的要求，正、负离子多成对地产生，令sp n 代表正负离子空位的数目，sp u 是产生一对缺陷所需的能量，N 是原有正、负离子对的数目，在理论上可推出：

2sp B u sp k T

n B e

N

-=

（1）试阐述产生正、负离子对后，晶体体积的变化V

V ∆，V 为原有的体积。

（2）在800℃时，用X 射线测定食盐的离子间距，再由此时测定的密度ρ算得分子量为58.430±0.016，而用化学方法所测定的分子量是58.454，求在800℃时缺陷

p

n N

的数量级。

解：（参考方俊鑫电子版4.22）

（1）在弗兰克尔缺陷中，晶体的体积没有显著变化，而在肖特基缺陷中每产生一对缺陷同时便在晶体表面填了两个新的原子，增加了体积，也就减少了密度，在肖特基缺陷中所增加的体积为：

3

2sp V n a ∆=其中a 为正负离子间的距离。

晶体原来的体积是32Na V = 因此体积变化是 /2/sp B u k T

sp n V V Be

N

-∆=

=

（2）这是一个著名的实验，证明食盐中有肖特基缺陷，因为X 光测点阵常数时，其值a 不随有无缺陷而改变，而用化学方法测密度则是真实的，每单位体积的质量V m ，当晶体总质量m 不改变时，晶体的实际体积V 将随缺陷数目的改变而变化，即用化学方法测得密度ρ