质心的求解办法

大学物理 力学 ——怎么求解质心位置

一．实验法

原理：利用的是质心的性质。对于一个质点系，质心可以代表这个质点系的受力情况。当然这对于重力也就成立。因此理论上，任意一个平面物体悬挂后，质心都应该位于悬线所在的直线上（这条直线也是重力对于物体的作用线） 二．定义法

（1）对于多质点系统：

∑∑=

i

i

i c m r m r

可以写出三个分量式

∑∑=i i i c m x m x ∑∑=i i i c m y m y ∑

∑=i

i i c

m z m z （2）对于质量分布连续的物体：

⎰⎰=

dV

r dV r i

c ρρ

)(

可以写出三个分量式

⎰⎰=

dV

x dV x i

c

ρρ)(

⎰⎰=

dV y dV y i

c

ρρ)(

⎰⎰=

dV

z dV z i

c

ρρ)(

三．对称法

对于一个质量分布均匀的物体，其质心位于其几何中心。因此，轴对称图形的质心位于其对称轴上（几何中心位于对称轴上）。 四．组合法

对于由好几部分质量已知且质心位置已知的质点系组成的系统： 质量： ),质点系(,),3(),2(),1(321i m m m m i 质点系质点系质点系 位置:

),(,),3(),2(),1(321i r r r r i 质点系质点系质点系质点系 整个系统的质心位置仍由下式决定：

∑∑=

i

i

i c m r m r

例如：一个质点m （位置为1r

）和一个刚体M （其质心位置为2r

）组

成的系统的质心的位置为：

M

m r M r m r c ++=

21

五．负质量法

此方法用于求解：规则图形挖去一部分的图形求解质

心的问题。

如：下图为一半径为R 的均匀圆盘，挖去一个半径为2

R 的圆形部分。试求其质心所在的位置。

解答：如图建立坐标。有对称性，质心必定位

于x 轴上。

假设该图形为一个半径为R ，面密度为σ的圆盘和一个半径为2

R ，

面密度为（σ-）的圆盘的叠加。 则由方法四，不难得出：

x R R R x

R R R M M r M r M r c ˆ6

1])2()[()(ˆ2])2()[(0)(22

22

2

12211-=-+⋅-+⋅=

++=

πσπσπσπσ 此即其质心的位置。 *六．巴普斯定理

这个定理在微积分的课上曾经有所涉及。

定理内容：

一个平面图形沿垂直于图形的平面运动形成一个立体，那么这个立体图形的体积就等于质心所经路程乘以区域面积。

当该平面图形的面积趋于零时，该平面图形就变成了平面上的一条曲线，从而我们得到这个定理的推论：

如果令某一长为L 的曲线段沿着垂直于它所在平面的方向移动一段距离x ，那么L,r 与线段扫过的面积S 存在关系：S=Lx 。 应用举例：

.1eg 试求一个半径为R 的均匀半圆形的质心位

置。

解答：有对称性，设该半圆形的质心横坐标为x 。将该半圆

形绕着y 轴旋转，得到一个球 其体积为：

3

3

4R V π=

则根据巴普斯定理：

32

3

4)

2(2

1)2(R x R x S V ππππ=⋅=⋅= π

34R x =

.2eg 试求一段半径为r 的均匀半圆弧的质心位置。

解答：有对称性，设该半圆形的质心横坐标为x 。将该半

圆形绕着y 轴旋转，得到一个球壳 其表面积为：

24r S π=

则根据巴普斯定理：

2

4)

2()2(r x r x l S ππππ=⋅=⋅=

π

R

x 2=

.3eg 试求一段半径为r 的均匀弓形的质心位置。（就是在上一题的基础

上多了一条直径）

解答：根据上一题的结论，将该弓形看做半圆弧和直径两部分的组合。 半圆弧部分： 质量：)(1

R m πλ⋅=

坐标：π

R

x 21

=

直径部分： 质量：R m λ22=

坐标：

02=x

根据定理四，应有：

221121)(x m x m x m m c +=+

R m m x m x m x c π

+=++=

22)(212

211

求解质心位置的方法很多。通常而言采用物理方法能不失去其物理本质而且计算会显得简单。但是，如果物理方法不奏效，还是果断画出虫子（积分符号），以强算暴力地解决有关质心位置的问题。（方法2）

2012.3.7