第四章命题逻辑的自然演绎系统
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013年7月9日星期二
前提 前提 前提 前提 ⑵⑷否后 ⑴⑸肯前 ⑶⑹假言三段论
11
例2：B→┐A B∧（C→D） A∨C ∴ D ⑴ B→┐A ⑴B→┐A ⑵ B∧（C→D） ⑶ A∨C ⑷B ⑸ C→D ⑹ ┐A ⑺C ⑻D
前提 前提 前提 ⑵化简 ⑵化简 ⑴⑷肯前 ⑶⑹否析 ⑸⑺肯前
2013年7月9日星期二
蕴涵引入规则(记为→+)
例1：F∨┐G ┐H→┐F ∴G→H ⑴ F∨┐G ⑵ ┐H→┐F ⑶G ⑷ ┐┐G ⑸F ⑹ ┐┐F ⑺ ┐┐H ⑻H ⑼ G→H
2013年7月9日星期二
前提 前提 条件假设 ⑴双重否定 ⑴⑷否析律 ⑸双重否定 ⑵⑹否后律 ⑺双重否定 ⑶─⑻条件证明
22
蕴涵引入规则(记为→+)
2013年7月9日星期二 33
3. F∨┐G ┐H→┐F ∴G→H
4. E∨(J∧┐K) J→(┐K∧E) ∴E
2013年7月9日星期二
34
置换规则的涵义
对于任何命题P，无论它是以整 个命题出现，还是作为一个命题的 一部分出现，都可用与它重言等值 的命题Q来替换。
2013年7月9日星期二
35
置换规则
2013年7月9日星期二
29
⑴ X→Y∨Z ⑵ Z→┐X ⑶X ⑷ Y∨Z ⑸ ┐┐X ⑹ ┐Z ⑺Y ⑻ X→Y
2013年7月9日星期二
前提 前提 条件假设 ⑴⑶肯前律 ⑶双重否定 ⑵⑸否后率 ⑷⑹否析律 ⑶─⑺条件证明
30
练习：
2. E∨(J∧┐K) J→(┐K∧E) ∴E
2013年7月9日星期二
第四章
命题逻辑的自然演绎系统
自然演绎系统NP
构建命题逻辑的形式系统，可以采用公理化方法， 也可采用自然演绎的方法。为接近人们日常思维的实 践，采用自然演绎的方法来构建命题逻辑的一个形式 系统NP。
命题逻辑的自然演绎系统NP是由形式语言L ′和一 组推导（变形）规则构成的。其中形式语言L ′包 括初始符号、形成规则和定义。
讨论对象语言的语言叫元语言或语法语言。
2013年7月9日星期二
5
形成规则的作用
（1）以递归的方式定义合式公式。 （2）提供一种能行、可判定的方法判定任一符号串是不是 合式公式。 （3）检验合式公式的性质。
如:(((p∨q)∧(p))→q)的形成过程是：p，q，(p∨q)， (p)，((p∨q)∧(p))，q ，(((p∨q)∧(p))→q)。这个 字符串是反复运用形成规则而形成的，因此它是合式公式。
2013年7月9日星期二
6
合式公式的子公式
合式公式的子公式：在生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式都
是这一生成的合式公式的子公式。如： A的子公式是A和A； A∧B 的子公式是A、B和A∧B； A∨B 的子公式是A、B和A∨B； A→B 的子公式是A、B和A→B。 如：p，q，（p∨q），(p)，((p∨q)∧(p))，(((p∨q)∧(p))→q)都 是(((p∨q)∧(p))→q)的子公式。
练习：
1.
┐M→（N→L） J→K ┐M M∨（N∨J） ∴ L∨K
2013年7月9日星期二
14
⑴ ┐M→（N→L） ⑵ J→K ⑶ ┐M ⑷ M∨（N∨J） ⑸ N→L ⑹ N∨J ⑺ L∨K
前提 前提 前提 前提 ⑴⑶肯前 ⑶⑷否析 ⑵⑸⑹二难推理
2013年7月9日星期二
15
2. ┐P→（R→┐Q） P→┐Q ┐S∨┐R→┐┐Q ┐S ∴ ┐R
2013年7月9日星期二
16
⑴ ┐P→（R→┐Q） ⑵ P→┐Q ⑶ ┐S∨┐R→┐┐Q ⑷ ┐S ⑸ ┐S∨┐R ⑹ ┐┐Q ⑺ ┐P ⑻ R→┐Q ⑼ ┐R
2013年7月9日星期二
前提 前提 前提 前提 ⑷附加 ⑶⑸肯前 ⑵⑹否后 ⑴⑺肯前 ⑹⑻否后
17
3.
┐P∨┐Q→┐（R→S） ┐P （R→S）∨（T→U） ┐U ∴ ┐T
例2：A→B
┐C∨B→(D→E) ∴A→(D→E) ⑴ A→B ⑵ ┐C∨B→(D→E) ⑶A ⑷B ⑸ ┐C∨B ⑹ D→E ⑺ A→(D→E)
前提 前提 条件假设 ⑴⑶肯前律 ⑷附加 ⑵⑸肯前律 ⑶─⑹条件证明
2013年7月9日星期二
23
间接证明规则
否定消去规则(记为_)： 间接证明 如果从Γ和A推出B∧B，则从Γ推出A。 步骤： 1.否定结论 2.提出矛盾 3.肯定结论
2013年7月9日星期二 27
蕴涵引入（条件证明）规则与 否定消去（间接证明）规则
在做题过程中二者可以交替使用，既可 以先用蕴涵引入（条件证明）规则再用 否定消去（间接证明）规则，也可以先 用否定消去（间接证明）规则再用蕴涵 引入（条件证明）规则。
2013年7月9日星期二
28
练习
1、X→Y∨Z Z→┐X ∴X→Y
2013年7月9日星期二
37
德摩根律的证明
T18(a) (A∧B)├┤ A∨ B的证明
再证A∨B├ (A∧B)： (1) A∨B A (2) (A∧B) H (3) A∧B (2)，_ (4) A (3)，∧_ (5) B (3)，∧_ (6) A (4)，+ (7) B (1),(6),∨_ (8)B∧B (5),(7),∧+ (9)(A∧B) (2)—(8),_(消去H)
T18(a) (A∧B)├┤A∨ B(记为DeM.) T18(b) (A∨B)├┤A∧ B(记为DeM.)
2013年7月9日星期二
36
德摩根律的证明
T18(a) (A∧B)├┤ A∨ B的证明
先证(A∧B)├ A∨B: (1) (A∧B) (2) (A∨B) (3) A (4) A∨B (5)(A∨B)∧(A∨B) (6) A (7) B (8)A∨B (9)(A∨B)∧(A∨B) (10) B (11)A∧B (12)(A∧B)∧(A∧B) (13) A∨B A H1 H2 (3)，∨+ (2),(4),∧+ (3)—(5),_(消去H2) H3 (7)，∨+ (2)，(8)，∧+ (7)—(9)，_(消去H3) (6)，(10), ∧+ (1)，(11), ∧+ (2)—(12)，_(消去H1)
2013年7月9日星期二
2
初始符号
(1)甲类符号：p1, p2, p3, …； (2)乙类符号：，∧，∨，→； (3)丙类符号：(，)。
这些符号构成的有穷长的序列叫做符号串，例如:
p, p∧q，p∨q, p→q； (p∧q)→r，p∧(q→r)，…； ((p→∨q→pq)，(((p→q∧r)∨)，… 按照形成规则形成的符号串称为合式公式。
2013年7月9日星期二
3
形成规则
(1)任何单个的命题变元p是合式公式；
(2)如果A是合式公式，则(A)是合式公式；
(3)如果A和B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、
(A→B)是合式公式； 只有（1）----到（3）形成的符号串是合式公式。
2013年7月9日星期二
4
定义
定义是用来表示缩写的，定义两边的符号串可以相 互代替。 如：(AB)=df(A→B)∧(B→A)。 形式语言L ′的全体合式公式记为Form(L ′)。 形式语言L ′是我们研究对象，叫对象语言。
2013年7月9日星期二 24
否定消去规则(记为_)
又称间接证明或反证法，是把由Γ推出 A的推理转化为由Γ和临时的假设A推出 B∧B的推理。
最适于证明结论不是蕴涵式的推论。
2013年7月9日星期二
25
否定消去规则(记为_)
例1：A→B A→B ∴ A (1) A→B (2) A→B (3) A (4) A (5) B (6) B (7) B∧B (8) A
T23(b) A∨(B∧C)├┤(A∨B)∧(A∨C)
蕴析律
（A→ B) ├┤ (A∨B) 德 摩 根 律
(A∧B) ├┤ (A∨ B)
(A∨B) ├┤ (A∧B)
2013年7月9日星期二
40
置换规则的证明
T21(b) A∨B├┤B∨A的证明 先证A∨B├ B∨A (1) A∨B A (2) A H1 (3) B∨A (2)，∨+ (4) A→B∨A (2)—(3)，→+（消去H1） (5) B H2 (6) B∨A (5)，∨+ (7) B→B∨A (5)—(6)，→+（消去H2） (8) B∨A (1)，(4)，(7)，D.C. 同理，可证B∨A├A∨B。
前提 前提 间接假设 (3)，_ (1)，(4)，→_ (2)，(4)，→_ (5)，(6)，∧+ (3)—(7)，间接证明
2013年7月9日星期二
26
否定消去规则(记为_)
例2：A→(B→C)∧(¬ C→D)，¬ C∧¬ D /∴ ¬ A (1) A→(B→C) ∧(¬ C→D) A1 (2)¬ C∧¬ D A2 (3) ¬ C (2)∧_ (4) ¬ D (2)∧_ (5) ¬ A ¬ H1 (6) A (5)_ (7) (B→C)∧(¬ C→D) (1)，(6)→_ (8) ¬ C→D (7)∧_ (9) D (3)，(8)→_ (10) ¬ D∧D (4)，(9)∧+ (11)¬ A (5)—(10)- (消去H1)
2013年7月9日星期二
18
⑴ ┐P∨┐Q→┐（R→S） 前提 ⑵ ┐P 前提 ⑶（R→S）∨（T→U） 前提 ⑷ ┐U 前提 ⑸ ┐P∨┐Q ⑵附加 ⑹ ┐（R→S） ⑴⑸肯前 ⑺ T→U ⑶⑹否析 ⑻ ┐T ⑷⑺否后
2013年7月9日星期二
19
条件证明规则
步 骤： 1.引入假设 2.撤销假设 （适用于蕴含式）
31
⑴ E∨(J∧┐K) ⑵ J→(┐K∧E) ⑶ ┐E ⑷ J∧┐K ⑸J ⑹ ┐K∧E ⑺E ⑻ E∧┐E ⑼E
2013年7月9日星期二
前提 前提 间接假设 ⑴⑶否析律 ⑷化简 ⑵⑸肯前律 ⑹化简 ⑶⑺合取 ⑶─⑻间接证明
32
作业：
1. ┐X→Y X→┐Z ┐┐Z∧W ∴ Y∧W 2. E→F∧G E∧H I∨K F∨J→┐I ∴K
2013年7月9日星期二 9
条件证明规则
5.蕴涵引入规则(记为→+)： 条件证明 如果从公式集Γ和A推出B，则从Γ推出A→B；
2013年7月9日星期二
10
例1： ┐R→（H→T） R→H T→S ┐H ∴ H→S ⑴ ┐R→（H→T） ⑵ R→H ⑶ T→S ⑷ ┐H ⑸ ┐R ⑹ H→T ⑺ H→S
12
例3：F∨G→（H→（I↔K）） H∧I H∨M→F ∴ I↔K ⑴ F∨G→（H→（I↔K）） 前提 ⑵ H∧I 前提 ⑶ H∨M→F 前提 ⑷H ⑵化简 ⑸ H∨M ⑷附加 ⑹F ⑶⑸肯前 ⑺ F∨G ⑹附加 ⑻ H→（I↔K） ⑴⑺肯前 ⑼ I↔K ⑷⑻肯前
2013年7月9日星期二 13
2013年7月9日星期二 38
置换规则 交换律
T21(a) T21(b) A∧B├┤B∧A A∨B├┤B∨A
结合律
T22(a) T22(b) A∨(B∨C)├┤(A∨B)∨C A∧(B∧C)├┤(A∧B)∧C
2013年7月9日星期二
39
置换规则
分配律
T23(a) A∧(B∨C)├┤(A∧B)∨(A∧C)
主联结词：辖域最大的联结词。
(((p∨q)∧(p))→q)的主联结词是→。
省略括号的约定：
(1)公式最外层的括号可以省略。 (2)联结词的结合力依下列次序递减：，∧，∨，→，。 如：(((p∨q)∧(p))→q)可简记为(p∨q)∧p→q。
2013年7月9日星期二 7
推演规则
（1）整推规则 （2）置换规则 （3）条件证明规则 （4）间接证明规则
2013年7月9日星期二
8
整推规则
1.合取引入规则(记为∧+)： 从A和B推出A∧B； 2.合取消去规则(记为∧_): 从A∧B推出A；从A∧B推出B； 3.析取引入规则(记为∨+)： 从A推出A∨B；从B推出A∨B； 4.析取消去规则(记为∨_): 从A∨B和A推出B；从A∨B和B推出A； 5.肯定前件（记为MP) 从A→B和A推出B; 6.否定后件规则（记为MT); 从A→B和B推出A;
2013年7月9日星期二 20
蕴涵引入规则(记为→+)
又称条件证明规则或演绎定理，是把从Γ推出A→B的推理 转化为从Γ和临时的假设A推出B的推理。
即：（Γ→（A→B））←→（Γ∧A→B）
前提集
结论
假设前提
本规则实质就是条件输入（输出）规则的运用 最适于证明结论为蕴涵式的推论。
2013年7月9日星期二 21
前提 前提 前提 前提 ⑵⑷否后 ⑴⑸肯前 ⑶⑹假言三段论
11
例2：B→┐A B∧（C→D） A∨C ∴ D ⑴ B→┐A ⑴B→┐A ⑵ B∧（C→D） ⑶ A∨C ⑷B ⑸ C→D ⑹ ┐A ⑺C ⑻D
前提 前提 前提 ⑵化简 ⑵化简 ⑴⑷肯前 ⑶⑹否析 ⑸⑺肯前
2013年7月9日星期二
蕴涵引入规则(记为→+)
例1：F∨┐G ┐H→┐F ∴G→H ⑴ F∨┐G ⑵ ┐H→┐F ⑶G ⑷ ┐┐G ⑸F ⑹ ┐┐F ⑺ ┐┐H ⑻H ⑼ G→H
2013年7月9日星期二
前提 前提 条件假设 ⑴双重否定 ⑴⑷否析律 ⑸双重否定 ⑵⑹否后律 ⑺双重否定 ⑶─⑻条件证明
22
蕴涵引入规则(记为→+)
2013年7月9日星期二 33
3. F∨┐G ┐H→┐F ∴G→H
4. E∨(J∧┐K) J→(┐K∧E) ∴E
2013年7月9日星期二
34
置换规则的涵义
对于任何命题P，无论它是以整 个命题出现，还是作为一个命题的 一部分出现，都可用与它重言等值 的命题Q来替换。
2013年7月9日星期二
35
置换规则
2013年7月9日星期二
29
⑴ X→Y∨Z ⑵ Z→┐X ⑶X ⑷ Y∨Z ⑸ ┐┐X ⑹ ┐Z ⑺Y ⑻ X→Y
2013年7月9日星期二
前提 前提 条件假设 ⑴⑶肯前律 ⑶双重否定 ⑵⑸否后率 ⑷⑹否析律 ⑶─⑺条件证明
30
练习：
2. E∨(J∧┐K) J→(┐K∧E) ∴E
2013年7月9日星期二
第四章
命题逻辑的自然演绎系统
自然演绎系统NP
构建命题逻辑的形式系统，可以采用公理化方法， 也可采用自然演绎的方法。为接近人们日常思维的实 践，采用自然演绎的方法来构建命题逻辑的一个形式 系统NP。
命题逻辑的自然演绎系统NP是由形式语言L ′和一 组推导（变形）规则构成的。其中形式语言L ′包 括初始符号、形成规则和定义。
讨论对象语言的语言叫元语言或语法语言。
2013年7月9日星期二
5
形成规则的作用
（1）以递归的方式定义合式公式。 （2）提供一种能行、可判定的方法判定任一符号串是不是 合式公式。 （3）检验合式公式的性质。
如:(((p∨q)∧(p))→q)的形成过程是：p，q，(p∨q)， (p)，((p∨q)∧(p))，q ，(((p∨q)∧(p))→q)。这个 字符串是反复运用形成规则而形成的，因此它是合式公式。
2013年7月9日星期二
6
合式公式的子公式
合式公式的子公式：在生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式都
是这一生成的合式公式的子公式。如： A的子公式是A和A； A∧B 的子公式是A、B和A∧B； A∨B 的子公式是A、B和A∨B； A→B 的子公式是A、B和A→B。 如：p，q，（p∨q），(p)，((p∨q)∧(p))，(((p∨q)∧(p))→q)都 是(((p∨q)∧(p))→q)的子公式。
练习：
1.
┐M→（N→L） J→K ┐M M∨（N∨J） ∴ L∨K
2013年7月9日星期二
14
⑴ ┐M→（N→L） ⑵ J→K ⑶ ┐M ⑷ M∨（N∨J） ⑸ N→L ⑹ N∨J ⑺ L∨K
前提 前提 前提 前提 ⑴⑶肯前 ⑶⑷否析 ⑵⑸⑹二难推理
2013年7月9日星期二
15
2. ┐P→（R→┐Q） P→┐Q ┐S∨┐R→┐┐Q ┐S ∴ ┐R
2013年7月9日星期二
16
⑴ ┐P→（R→┐Q） ⑵ P→┐Q ⑶ ┐S∨┐R→┐┐Q ⑷ ┐S ⑸ ┐S∨┐R ⑹ ┐┐Q ⑺ ┐P ⑻ R→┐Q ⑼ ┐R
2013年7月9日星期二
前提 前提 前提 前提 ⑷附加 ⑶⑸肯前 ⑵⑹否后 ⑴⑺肯前 ⑹⑻否后
17
3.
┐P∨┐Q→┐（R→S） ┐P （R→S）∨（T→U） ┐U ∴ ┐T
例2：A→B
┐C∨B→(D→E) ∴A→(D→E) ⑴ A→B ⑵ ┐C∨B→(D→E) ⑶A ⑷B ⑸ ┐C∨B ⑹ D→E ⑺ A→(D→E)
前提 前提 条件假设 ⑴⑶肯前律 ⑷附加 ⑵⑸肯前律 ⑶─⑹条件证明
2013年7月9日星期二
23
间接证明规则
否定消去规则(记为_)： 间接证明 如果从Γ和A推出B∧B，则从Γ推出A。 步骤： 1.否定结论 2.提出矛盾 3.肯定结论
2013年7月9日星期二 27
蕴涵引入（条件证明）规则与 否定消去（间接证明）规则
在做题过程中二者可以交替使用，既可 以先用蕴涵引入（条件证明）规则再用 否定消去（间接证明）规则，也可以先 用否定消去（间接证明）规则再用蕴涵 引入（条件证明）规则。
2013年7月9日星期二
28
练习
1、X→Y∨Z Z→┐X ∴X→Y
2013年7月9日星期二
37
德摩根律的证明
T18(a) (A∧B)├┤ A∨ B的证明
再证A∨B├ (A∧B)： (1) A∨B A (2) (A∧B) H (3) A∧B (2)，_ (4) A (3)，∧_ (5) B (3)，∧_ (6) A (4)，+ (7) B (1),(6),∨_ (8)B∧B (5),(7),∧+ (9)(A∧B) (2)—(8),_(消去H)
T18(a) (A∧B)├┤A∨ B(记为DeM.) T18(b) (A∨B)├┤A∧ B(记为DeM.)
2013年7月9日星期二
36
德摩根律的证明
T18(a) (A∧B)├┤ A∨ B的证明
先证(A∧B)├ A∨B: (1) (A∧B) (2) (A∨B) (3) A (4) A∨B (5)(A∨B)∧(A∨B) (6) A (7) B (8)A∨B (9)(A∨B)∧(A∨B) (10) B (11)A∧B (12)(A∧B)∧(A∧B) (13) A∨B A H1 H2 (3)，∨+ (2),(4),∧+ (3)—(5),_(消去H2) H3 (7)，∨+ (2)，(8)，∧+ (7)—(9)，_(消去H3) (6)，(10), ∧+ (1)，(11), ∧+ (2)—(12)，_(消去H1)
2013年7月9日星期二
2
初始符号
(1)甲类符号：p1, p2, p3, …； (2)乙类符号：，∧，∨，→； (3)丙类符号：(，)。
这些符号构成的有穷长的序列叫做符号串，例如:
p, p∧q，p∨q, p→q； (p∧q)→r，p∧(q→r)，…； ((p→∨q→pq)，(((p→q∧r)∨)，… 按照形成规则形成的符号串称为合式公式。
2013年7月9日星期二
3
形成规则
(1)任何单个的命题变元p是合式公式；
(2)如果A是合式公式，则(A)是合式公式；
(3)如果A和B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、
(A→B)是合式公式； 只有（1）----到（3）形成的符号串是合式公式。
2013年7月9日星期二
4
定义
定义是用来表示缩写的，定义两边的符号串可以相 互代替。 如：(AB)=df(A→B)∧(B→A)。 形式语言L ′的全体合式公式记为Form(L ′)。 形式语言L ′是我们研究对象，叫对象语言。
2013年7月9日星期二 24
否定消去规则(记为_)
又称间接证明或反证法，是把由Γ推出 A的推理转化为由Γ和临时的假设A推出 B∧B的推理。
最适于证明结论不是蕴涵式的推论。
2013年7月9日星期二
25
否定消去规则(记为_)
例1：A→B A→B ∴ A (1) A→B (2) A→B (3) A (4) A (5) B (6) B (7) B∧B (8) A
T23(b) A∨(B∧C)├┤(A∨B)∧(A∨C)
蕴析律
（A→ B) ├┤ (A∨B) 德 摩 根 律
(A∧B) ├┤ (A∨ B)
(A∨B) ├┤ (A∧B)
2013年7月9日星期二
40
置换规则的证明
T21(b) A∨B├┤B∨A的证明 先证A∨B├ B∨A (1) A∨B A (2) A H1 (3) B∨A (2)，∨+ (4) A→B∨A (2)—(3)，→+（消去H1） (5) B H2 (6) B∨A (5)，∨+ (7) B→B∨A (5)—(6)，→+（消去H2） (8) B∨A (1)，(4)，(7)，D.C. 同理，可证B∨A├A∨B。
前提 前提 间接假设 (3)，_ (1)，(4)，→_ (2)，(4)，→_ (5)，(6)，∧+ (3)—(7)，间接证明
2013年7月9日星期二
26
否定消去规则(记为_)
例2：A→(B→C)∧(¬ C→D)，¬ C∧¬ D /∴ ¬ A (1) A→(B→C) ∧(¬ C→D) A1 (2)¬ C∧¬ D A2 (3) ¬ C (2)∧_ (4) ¬ D (2)∧_ (5) ¬ A ¬ H1 (6) A (5)_ (7) (B→C)∧(¬ C→D) (1)，(6)→_ (8) ¬ C→D (7)∧_ (9) D (3)，(8)→_ (10) ¬ D∧D (4)，(9)∧+ (11)¬ A (5)—(10)- (消去H1)
2013年7月9日星期二
18
⑴ ┐P∨┐Q→┐（R→S） 前提 ⑵ ┐P 前提 ⑶（R→S）∨（T→U） 前提 ⑷ ┐U 前提 ⑸ ┐P∨┐Q ⑵附加 ⑹ ┐（R→S） ⑴⑸肯前 ⑺ T→U ⑶⑹否析 ⑻ ┐T ⑷⑺否后
2013年7月9日星期二
19
条件证明规则
步 骤： 1.引入假设 2.撤销假设 （适用于蕴含式）
31
⑴ E∨(J∧┐K) ⑵ J→(┐K∧E) ⑶ ┐E ⑷ J∧┐K ⑸J ⑹ ┐K∧E ⑺E ⑻ E∧┐E ⑼E
2013年7月9日星期二
前提 前提 间接假设 ⑴⑶否析律 ⑷化简 ⑵⑸肯前律 ⑹化简 ⑶⑺合取 ⑶─⑻间接证明
32
作业：
1. ┐X→Y X→┐Z ┐┐Z∧W ∴ Y∧W 2. E→F∧G E∧H I∨K F∨J→┐I ∴K
2013年7月9日星期二 9
条件证明规则
5.蕴涵引入规则(记为→+)： 条件证明 如果从公式集Γ和A推出B，则从Γ推出A→B；
2013年7月9日星期二
10
例1： ┐R→（H→T） R→H T→S ┐H ∴ H→S ⑴ ┐R→（H→T） ⑵ R→H ⑶ T→S ⑷ ┐H ⑸ ┐R ⑹ H→T ⑺ H→S
12
例3：F∨G→（H→（I↔K）） H∧I H∨M→F ∴ I↔K ⑴ F∨G→（H→（I↔K）） 前提 ⑵ H∧I 前提 ⑶ H∨M→F 前提 ⑷H ⑵化简 ⑸ H∨M ⑷附加 ⑹F ⑶⑸肯前 ⑺ F∨G ⑹附加 ⑻ H→（I↔K） ⑴⑺肯前 ⑼ I↔K ⑷⑻肯前
2013年7月9日星期二 13
2013年7月9日星期二 38
置换规则 交换律
T21(a) T21(b) A∧B├┤B∧A A∨B├┤B∨A
结合律
T22(a) T22(b) A∨(B∨C)├┤(A∨B)∨C A∧(B∧C)├┤(A∧B)∧C
2013年7月9日星期二
39
置换规则
分配律
T23(a) A∧(B∨C)├┤(A∧B)∨(A∧C)
主联结词：辖域最大的联结词。
(((p∨q)∧(p))→q)的主联结词是→。
省略括号的约定：
(1)公式最外层的括号可以省略。 (2)联结词的结合力依下列次序递减：，∧，∨，→，。 如：(((p∨q)∧(p))→q)可简记为(p∨q)∧p→q。
2013年7月9日星期二 7
推演规则
（1）整推规则 （2）置换规则 （3）条件证明规则 （4）间接证明规则
2013年7月9日星期二
8
整推规则
1.合取引入规则(记为∧+)： 从A和B推出A∧B； 2.合取消去规则(记为∧_): 从A∧B推出A；从A∧B推出B； 3.析取引入规则(记为∨+)： 从A推出A∨B；从B推出A∨B； 4.析取消去规则(记为∨_): 从A∨B和A推出B；从A∨B和B推出A； 5.肯定前件（记为MP) 从A→B和A推出B; 6.否定后件规则（记为MT); 从A→B和B推出A;
2013年7月9日星期二 20
蕴涵引入规则(记为→+)
又称条件证明规则或演绎定理，是把从Γ推出A→B的推理 转化为从Γ和临时的假设A推出B的推理。
即：（Γ→（A→B））←→（Γ∧A→B）
前提集
结论
假设前提
本规则实质就是条件输入（输出）规则的运用 最适于证明结论为蕴涵式的推论。
2013年7月9日星期二 21