浅论容斥原理及其应用

第十五卷　第三、四期 四川教育学院学报
1999. 4

浅论容斥原理及其应用


刘雅宁

到使用一个称之为容斥原理的问题
方法程序化,思路明确
,这个原理直观易懂
,
,是一个十分重要的基本工具
,本
文目的是从集合论的观点建立计数中普遍适用的容斥原
理及介绍某些应用。

在经济数学概率论教学古典概率求值时,大量存在
排列组合的计算,尤其是有关限制性的排列计算常涉及
容斥原理的介绍

二、
一、容斥原理的简单直观模型

引例　计算
n元集合
{a1, a2 ..an}时, a1不在第一
个位置上的
n元无重复排列
i1, i2 ..in (i1 ≠a1)的个数
,
对这种有限制性的排列计算问题
,常用间接方法计算
,即
放弃条件
,总体加减
,n元集合
{a1, a2, ..an}的无重复
n元排列总数为
Pn= n!,而
a1固定在第一个位置上的排
列数相当于
n-1元集合
{a2, a3 ..an}的
n-1元无重
复排列
Pn-1= (n-1)!,故符合条件的排列数是
N= Pn
-Pn-i。

再看计算
n元集合
{a1, a2, ..an}的
a1不在第一个
位置上
,而
a2不在第二个位置上的排列
i1, i2, ..in (i1≠
a1, i2 ≠a2)的个数
,这个问题有两个限制条件
,当从总数
中减去
a1不在第一个位置上的无重复排列
, a2不在第二
个位置上的无重复排列数时
,又多减掉一次
a1既在第一
位置上
, a2又在第二个位置上的排列数
Pn-2,所以应补回
一次
,故符合条件的排列总数是


N= Pn-Pn-1-Pn-1+ Pn-2= Pn-2Pn-1+ Pn-2

这个引例的解题规律是利用如下原理进行间接计算
的。设有某个有限集合
A,其元素个数
.A . = n,令A1是
A中具有性质
P1的元素所组成的集合
,其个数为
.A1 .;A 2是A中具有性质
P2的元素所组成的集合
,其
个数为
.A2 .;既有性质
P1;又有性质
P2的集合的元素个
数为
.A1 ∩A2 . ,则对引例是求不具有性质
P1的元素个
数为
N= .A . -.A1 . ,求既没有性质
P1也没有性质
P2
的元素个数为
N= .A . -.A1 . -.A2 . + .A1 ∩A2 .。这
就是容斥原理的简单直观的规则。

设A是一个含有有限个元素的集合
, .A . = n,n∈
N,记
P1, P2 ..Pm是A中每一个元素可能具有或可能
不具有的
m个性质
,对于
i= 1,2..m,A i是A中具有
性质
Pi(可能还有其它性质
)的元素的子集合
;A i∩AJ是
A中同时具有性质
Pi和
Pj(可能还有其它性质
)的元素
的子集合
,A i∩AJ ∩Ak是A中同时具有性质
Pi, Pj, Pk
的元素的子集合
,..等等。不具有这些性质中任一性质
的元素的子集合是
A{ 1∩A{ 2 ∩..∩A{ m,则有容斥原理。

容斥原理　不具有性质
P1, P2, ..Pm的任何一个
的A的元素个数由下式给出
.A{ 1 ∩

A{ 2 ∩.∩A{ m . = .A .

m

6i= 1 .Ai.1+
)m1≤6i< j≤m .Ai∩Aj. 1≤6i< j≤m .Ai∩Aj∩Ak . +
..+ (-.A1∩A2∩.∩Am . ①
其中
,第一个和式是对
{1, 2. .m}中所有整数
i进
行,第二个和式是对
{1, 2, .m}中所有
2元素组成
{i, j}
进行
,如此等等
,对于
m= 3,等式①成为
.A{ 1∩A{ 2∩A{ 3 . = .A .


(.A1 . + .A2 . + .A3 . )+
(.A1∩A2. + .A1∩A3.+ .A2∩A3..A1∩A2∩A3.

-
一般地
,公式①的右端共有
Cm0+ Cm1+ Cm2+ .+

Cmm= 2m　项
若引入记号
X0表示
A没有
m个性质中任何一个性
质
P1的元素个数
,

m

m=

X1=
i= 1 .AI., X2=
1≤6i< j≤m .Ai∩Aj. , ., X

6 63 .

A1 ∩A2∩., ∩Am . ,注3 i< j< .< 2m
也就是
Xi为有
i个性质的元素个数
(不是仅有
i个
性质的元素个数
),则公式①可简单写为
X0= .A . -X1+ X2-X3+ .+ (-1)m
m ②X

推论
(广义加法原理
)A的至少具有性质
P1, P2, P3,
.Pm中的一种性质的元素的个数可由下式给出


.A1 ∪A2 ∪.∪Am . =


6i=
m1 .Ai. 1≤6i< j≤m .Ai∩Aj.

93


式
中能被
8整除的整数集
,需要求的是
A

解:设A = {1, 2, .1000},记A1表示
A中能被
5
整除的整数集
,A 2表A中能被
6整除的整数集
,A 3表A

中整
的个数
,再加上
A中具有任两个性质的元素的个数的元数个数
,及概率大小。根据容斥原理
,在
1到
1000之间不
素的个数
,再减去
A中具有任三个性质的元素的个数
, 能被
5, 6和
8中任何一个整除的整数的个数是
:利用公
.,最后加上
(-1)m.A .减去A中具有任一性质P1的元素
与A中具有全部m个性质的元素
个数之积这样得出的数
,在进行第一次减法时
,因为同时X0= .A . -X1+ X2-X3

+
-.+ (-1)m-1 .A1 ∩A2 ∩.


1≤6i< j≤m .A1 ∩Aj∩Ak . ∩Am . ③
容斥原理及推论广义加法原理的证明用集合映射
,
集合运算法则
,德摩根律
(D. Morgen Law )及数学归纳
法即可完成
,此处从略
,容斥原理直观的意义是
:A中不
具有性质
P1, P2, .Pm中任一性质的元素个数是
A中全
部的元素的个数


具有性质
Pi和
P j(i≠j)的元在看作具有性质
Pi的元时
又减去一次
,在看作具有性质
Pi的元时又减去一次
,即
多减了
,所以需要加入一次
;在进行第一次加法时
,因为
同时具有性质
Pi、Pj和
Pk (i、j、k互异
)的元
,在看作具有
性质
Pi和
Pj的元时加了一次
,在看作具有性质
Pi和
Pk
的元时又加了一次
,多加了
,需要减去
, .,这一过程既有
包容又有排斥
,简称为容斥过程
,这一方法称为容斥方
法,这一结果称为容斥原理。

三、容斥原理应用举例


1.有限制的条件的线状排列模型。此时容斥原理的
计算公式为
:
m

N=

X0= (-1)mCmrPn-r= Cm0Pn-Cm1Pn-1+

r= 0

C2 6

mPn-2+ .+ (-1)mPn-m ④
因为此时
.A .即是
A中
n元排列个数
Pn, .Ai.是排
列数
Pn-1, .Ai∩Aj.是排列数
Pn-2, .,等等。

例
1　七名同学排成一排
,如果其中甲不站在排头
,
乙不站在排尾
,丙不站在中间
,问共有多少种排法
?这种
排法的概率是多少
?

解:七名同学排成一排的无重复排列总数为
M= P7
= 7! = 5040。公式④已给出计算程序方法。为了说明原
理运用
,记.A1 .表示甲站排头的
n元无复排列数
, .A2 .表示乙站排尾的
n元无复排列数
, .A3 .表示丙站中间的
n元无重排列数
,其排列数均为
P7-1= P6= 6!而.A1 ∩
A2 .表甲站排头
,乙站排尾的
n元无重排列数
, .A1 ∩A3 .表甲站排头
,丙站中间的
n元无重排列数
, .A2 ∩A3 .表
乙站排尾
,丙站中间的
n元无重排列数
,其排列数均为
P7-2= P5, .A1∩A2 ∩A3 .表甲站排头
,乙站排尾
,丙站中
间的
n元无重排列数
,其排列数为
P7-3= P4,根据容斥原
理符合条件的排列总数为
:

N = C30P7-C31P6+ C32P5-C33P4= P7-3P6+ 3P5

94

-P4= 3216

这种排列的概率为
P(A)= N .M = 3216.5040

例
2　求前
1000个自然数中不能被
5,也不能被
6,
又不能被
8整除的整数是多少个
?概率是多少
?

{ 1 ∩A{ 2 ∩A{ 3

3
即
X0= .A{ 1∩A{ 2∩A{ 3. = .A . -
i=1 .Ai.

6

+


1≤6i< j≤3.Ai∩Aj. 1≤i≤j≤k≤3.Ai∩Aj∩Ak .

因为
.A1 . = [ 10006 .5]= 200, .A2 . = [ 1000.6] =
166, .A3 . = [ 1000.8]= 125, .A1 ∩A2 . = [ 1000.(5×
6) ]= 33, .A1 ∩A3 . = [ 1000.(5×8) ]= 25, .A2 ∩A3 . = [1000.24]= 4, .A1∩A2∩A3. = [1000.120]= 8
所以
.A{ 1 ∩A{ 2 ∩A{ 3 . = 1000-(200+ 166+ 125)

+
(33+ 25+ 41) -8= 600
故概率为
P= 600.1000= 0. 6
2.容斥原理及推论
(广义加法原理
)对应事件的概率
广义加法原理
设有
n个事件
A 1,A 2, .An试证明事件的概率也成
立广义加法原理
:

n

P(A 1+ A 2+ .+An)= P(Ai)-P(Ai∩


i= 1 1≤6i≤j≤n

6

1) n-

A j) P(A i∩Aj∩A k)-.+ (-1P(A1 ∩A2

1≤i< j
6

.∩A n)
只要用数学归纳法证明这个概率的广义加法原理是
成立的
,这里从略
,现举例应用。

例
3　口试考场中主考老师共有
N张考试题纸
,每
张纸上一个题
,各题不同。今有
n (n≥N)个考生参加口
试。他们单独到主考老师处抽一个题
,回答完毕
,再把抽
的题纸入回去
,下一个学生再加考试。问当
n个考生分别
考完后
,至少有一个题没有被任何人抽到的概率是多少
?

解:设A i(i= 1, 2, .N)表示第
i张题纸没有被任何
人抽到
,则N张题纸被抽到
K张的概率为
K.N (K= 1,
2, .N)。

由概率广义加法公式
:

C1 N)n C2

P(A1+ A2+ .AN)= N(1-1.

-N(1-2.



5时就有44种之
“错位排
那些排列,于是
D n = .A
又因A 1
这里a2, a3, .an
概率问题也是很方便的,且看一个问题:
某年级共有五个班级,五位班主任。要使一次考试中
原班主任不监考本班,问共有多少种排法?这个问题对于
n= 2, 3, 4还可直接排列出来,但当n=
多,直接排列就不那么容易了,,这是所谓
2143　3142　4123
2341　3412　4312
2413　3421　4321
所在D 1= 0,D 2 = 1,D 3= 2,D 4= 9, .
一般地,令A是{1, 2, .n}的所有n!个排列的集
合,用A i表示具有形如a1a2 .ai-1 iai+ 1 .an的排列集合,
那么{1, 2, .n}的错位排列恰是A中的
中的排列就那些形如a2, a3, .an的排列,
是{2, 3, , n}的一个排列,这样.A 1 . = (n
N-1

N)n 1)n-1CN N)n 1)k-1Ck

+ .+ (-N(1-N .= (-N(1
k= 1

6

-
N)n

K.

这就是所求概率。


3.“错位排列”模型
容斥原理不仅可顺利地具有程序化地解决一些简单
的限制性排列及概率问题
,就是一些著名的限制性排列

列”
的一般性计算公式:
数学模型的特例
,利用容斥原理可以推出“错位排列”

更列问题　若给定
n个元素的集合
{1, 2, .n}的无
重排列
a1a2.an满足


ai≠i, 对
r个足标
i成立


aj≠j, 对
n-r个足标
j成立

则称之为标准排列
123.n的一个
r更列
,当
r= n
时,简称为更列或错位排列。

对于
{1, 2, .n}的一个错位排列是使
a1 ≠1, a2 ≠2,
.an ≠n的一个排列
a1, a2, .an,也就是的每一个元素都
不在其自然位置上
,用Dn表示集
{1, 2, .n}上错位排列
总数。

则有
Dn=n!
06≤k≤n(-1) k1.k!=n! (1-1.1! +
1.2! -1.3! + .+ (-1) n1.n! ) ⑤

集{1, 2, .n}的
r-更列数为
N (r)= n! r! ·
r6≤k≤n

1) k


(-r(1.(k-r)!)
对⑤给出证明如下
:
当
n= 1,不存在错位排列问题
,当
n= 2,21是唯一

的一个错位排列。

当
n= 3,存在两个错位排列
, 231和
312,对于
n=
4,有


{ 1∩A{ 2∩.∩A{ n .{ 1 ∩A{ 2 ∩.∩A{ n

-1)!,同理
.Aj.= (n-1)! (j= 1, 2, .n) , .Ai∩Aj. =
(n-2)!, .Ai∩Aj∩Ak . = (n-3)!,一般地
, .A1∩A2 ∩
.∩Ar . = (n-r)!,因为
{1, 2, .n}的任取
k个元素的
组合数为
Cnk,根据容斥原理有
:

Dn= Cn0n! -Cn1(n-1)! + Cn2(n-2)! -Cn3(n3)!
+ .+ (-1)nCnn0! = n! (1-1! + 1.2! -3!

1.1.

+
.+ (-1) n1.(n! )
至此公式⑤证毕
,可以验证前面计算的
D1,D 2,D 3,
D 4,符合公式⑤
,应用这个公式很方便地算出
D5=5! (1-1!+1.2! -3!+1.4! -5! )

1.1.1.

= 44
D 6= 265, D 7= 1854等等
,Dn还有下列递推关系性

质
Dn= (n-1)(Dn-2+Dn-1)(n= 3,4,5.)
Dn= nD (n-1)+ (-1)n-2
(n= 2,3,4, .)
有关用容斥原理解答的问题还有不少
,如禁位排列

问题
,欧拉
(Eu ler)函数
5 (n) ,数论函数
0 (n)等等
,限于
篇幅就不一一讨

论了。

参考书目


(1)梅向明、张君达
,《组合基础》
(2)梁之舜、中山大学数学系
,《概率论及数理统计》