概率统计

概率论

随机事件：自然界和社会生活中有两类现象，确定性现象和随机现象，概率论以后者为研究对象。同一随机现象在大量重复出现时其每种可能结果出现的频率具有稳定性，随机现象大量重复出现时表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性。随机试验/试验是对随机现象的观察，满足可重复性，可观察性和随机性。随机试验的每一个不可再分的可能结果为一个样本点，用ω表示，所有样本点的全体为样本空间，用Ω表示。试验的结果具备的某一指定的可观察的特征称为一个事件，事件分为确定性事件（必然事件Ω，不可能事件∅）和随机事件（A,B,…），对应样本点的事件为基本事件，事件/随机事件：Ω的子集合。事件间的运算与关系：包含、相等、并、交、差、互斥、对立、有限个或可数个事件的交或并，完备事件组。运算律：A ∩(B ∪C )=(A ∩B)∪(A ∩C)（第一分配律）A ∪(B ∩C )=(A ∪B)∩

(A ∪C)（第二分配律）A ∪B ̅̅̅̅̅̅̅=A ∩B ̅（第一对偶律） A ∩B ̅̅̅̅̅̅̅=A ∪B

̅（第二对偶律） 概率：事件发生可能性大小的度量值，频率的稳定值说明了概率的客观存在，为概率提供了经验解释。概率的公理化定义：概率是定义在样本空间Ω的事件域上的实函数。定义在样本空间Ω的事件域上的一个实值函数P(.)称为Ω上的一个概率测度，若它满足P(Ω)=1;对任意A 有P(A) ≥0;对任意可数个两两互斥事件A 1，A 2，…，A n ，…，有P (⋃A i ∞i=1)=∑P(A i )∞i=1。一个具有概率测度的样本空间Ω称为一个概率空间记作（Ω，P ）。概率测度的其他性质P(A -B)=P(A)-P(AB)，P (A ∪B )=P (A )+P (B )−P(AB)

P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )−P (AB )−P (AC )−P (BC )+P(ABC) 古典概型：有限个等可能结果 几何概型：无限个等可能结果 条件概率：P (B |A )=

P(AB)P(A)

为事件A 发生的条件下B 发生的条件概率。计算条件概率有时可

从试验结构直接得出，有时则需用公式计算。

乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)

P (A 1A 2…A n )=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)…P (A n |A 1A 2…A n−1) 全概率公式：设{A i }是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件且其概率之和为1，则对任意B 有P (B )=∑P(A i )P(B|A i )i 贝叶斯公式：设{A i }是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件且其概率之和为1，则对任意B 且P(B)>0有P (A i |B )=P(A i )P(B|A i )

∑

P(A j )P(B|A j )

j

事件独立性：P(AB)=P(A)P(B) 有限个事件的两两独立与相互独立

相互独立性质：若n 个事件相互独立，将其中任意m 个换为相应的对立事件

形成的新的n 个事件仍然相互独立。

对n 个相互独立的事件A 1，A 2，…，A n 有P (⋃A i n i=1)=1−∏A i ̅n i=1 独立试验序列：各试验的结果之间相互独立。伯努利试验：只有两个可能结果的试验，或者

将某事件A 发生作为一个结果，不发生作为另一结果。伯努利试验序列：一个伯努利试验独立重复形成的试验序列

随机变量：定义在某个概率空间上，自变量为样本点，函数值为实值的函数（用实数表示每种可能的试验结果）

随即向量：X 1，X 2，…，X n 是定义在某个概率空间上的n 个随机变量，则（X 1，X 2，…，）是该概率空间上的一个n 维随机向量

均匀分布：设G为平面上一有界区域，面积S(G)，二维连续随即向量(X,Y)只在G中取值且对

G中每一点等可能取值则f(x,y)={

1

S(G)

,(x,y)∈G

0,其他

。且对任意平面区域D有P{(X,Y)∈D}=S(D∩G)

S(G)

。

二元正态分布：φ(x,y)=

2πσ1σ2√1−ρ2−1

2(1−ρ2)

[(x−μ1)

2

σ12

−2ρ(x−μ1)(y−μ2)

σ1σ2

+(y−μ2)

2

σ22

]

记作(X,Y)~N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)，则φX(x)=

√2πσ−(x−μ1)

2

2σ12，φY(y)=

√2πσ

−(y−μ2)

2

2σ22，当且仅

当ρ=0时φ(x,y)=φX(x)φY(y)。

条件分布函数：F(x|A)=P{X≤x|A}为A发生条件下X的条件分布函数

若A={Y≤y}，则F(x|Y≤y)=F(x,y)

F Y(y)

，若X与Y相互独立则F(x,y)=F X(x)F Y(y)

条件概率分布：p i|j=P{X=x i|Y=y j}=p ij

p j Y

,i=1,2,…为已知Y=y j条件下X的条件概率分布

若X与Y相互独立则p ij=p i X p j Y

条件密度函数：F X|Y(x|y)=F(x|Y=y)=∫f(u,y)

f Y(y)du

x

−∞

为Y=y条件下X的条件分布函数

f X|Y(x|y)=f(x,y)

f Y(y)

为Y=y条件下X的条件概率密度

若X与Y相互独立则f(x,y)=f X(x)f Y(y)

随机变量的矩：X为一随机变量，k为正整数，如果EX k存在则称EX k为X的k阶原点矩。