《2.4.1 摆线的参数方程》导学案3

《2.4.1 摆线的参数方程》导学案3

【学习目标】

了解渐摆线的生成过程及它的的参数方程.

【重点难点】

用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤

【学习过程】

一、知识梳理

1.摆线及其参数方程

(1)当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．

(2)设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝r φ－sin φ ，

y ＝r 1

－cos φ (φ是参数)．

2．圆的摆线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？

【提示】 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.

二、典型例题

已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．

【思路探究】 根据圆的摆线的参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝r φ－sin φ ，

y ＝r 1－cos φ (φ为参数)，只需把

点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线

和渐开线的参数方程即可．

【自主解答】 令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r >0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．

代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，(1)将⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝4＋5cos t ，

y ＝5＋5sin t 消

去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.

将⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ

代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.

由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π

2)．所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得

r ＝1

k π

(k ∈Z )． 又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1

π.

代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎨⎧

x ＝1

π

φ－sin φ ，y ＝1

π 1－cos φ

(φ为参数)

圆的渐开线的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝1

π cos φ＋φsin φ ，

y ＝1

π sin φ－φcos φ

(φ为参数)．

规律方法

根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．

三、变式训练

已知一个圆的摆线方程是⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝4φ－4sin φ

y ＝4－4cos φ，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆

的渐开线的参数方程．

【解】 首先根据摆线的参数方程可知 圆的半径为4，所以面积为16π， 该圆对应的渐开线的参数方程是：

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．

【课后练习】

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线

B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形

C ．正方形也可以有渐开线

D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同

【解析】 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.

【答案】 C

2．圆⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是

( )

A ．π

B ．3π

C ．6π

D ．10π

【解析】 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3φ－3sin φ，

y ＝3－3cos φ(φ为参数)，

把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．

【答案】 C

3．已知一个参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋t cos α，

y ＝2＋t sin α，如果把t 当成参数，它表示的图形是直线

l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t >0)，它表示半径为t 的圆．(1)请写出直线和圆的普

通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程．

【解】 (1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，

如果把α看成参数且t >0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2

＝t 2.

(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝t φ－sin φ ，y ＝t 1－cos φ (φ为参数).

【反思感悟】