第10章 结构动力学

10- 71

习 题

10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？

10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？

10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？

10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b)

EI 1=∞

EI

m

y

ϕ

分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，ϕ。 (c)

(d)

在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。

10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？

10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为

c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。

t )

10- 72

解：1）刚度法

该体系仅有一个自由度。

可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为..

ml a 。

取A 点隔离体，A 结点力矩为：....

3121233

I M m l a l l mal =⨯⨯⨯= 由动力荷载引起的力矩为：

()()2121

233

t t q l l q l ⋅⋅= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21

33

la k l c al ⋅

⋅+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得：

()

3

(3221393)

t q l ka m a l l c a l ++= 整理得：()

.

..

33t q ka c a m a l l l

++= 2）力法

.

c

α

解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程

为：() (2)

01110333

l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-⋅-⋅-⋅=⎰

则同样有：()

.

..

33t q ka c a m a l l l

++=。

10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。

解：

10- 73

取DF 隔离体，

0F

M

=∑：

..

22

20.2

3

22324

a

R a mx dx ka R ma ka αα

αα

⋅=+⇒=+⎰

取AE 隔离体：

0A

M

=∑

..

.

32220

430a

k mx dx ca ka Ra θαααα++++=⎰

将R 代入，整理得：

..

3

2

251504

R ma ka k θα

αα=+

+= 10-10 试建立图示各体系的运动方程。 (a)

解：（1）以支座B 处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。

(t )

..α

（2）画出p M 和1M 图（在B 点处作用一附加约束）

()324

t l M α-()

t p

M

3EI

l

1

M

（3）列出刚度法方程

l

l m (t )

10- 74

113EI

k l =，()..3124

p t m R l M α=- 1110p k R α+=

代入1p R 、11k 的值，整理得：

()..

43

2472t M EI

m l l αα+

= 10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。 (a)

解：

2

1M 图

图乘得：3

1111225222223236a a a f a a a a EI EI

⎛⎫=⨯⨯⨯

⨯⨯+⨯⨯

⨯=

⎪⎝⎭ ω=

=(b)

解：此体系为静定结构，内力容易求得。

在集中质量处施加垂直力P ，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为23

。 由此根据弯矩平衡可求得4

9

P k =

。 ω=

= (d)

2a

a a

10- 75

解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。 水平支杆中力为

33013EI l ，即11

3

3013EI

k l =。

ω=

(e)忽略水平位移

解：

1M 图

22

112455272213362a a a f a EA EA EA ⎛⎫⎛⎫

=⨯⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

ω=

(f)

解：

l 2

l 2

4a

4a

3a