考研讲义数三经济部分

第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数三）

《考试要求》

1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。

2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。

3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。

一、.极限及级数在经济学中的应用

(一)复利：

设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元，

（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t

01t

A A r =+;

（2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)r

nt

A A t n

=+;

（3）由于lim [(1)]n

r

rt rt r e n n +=→∞

，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为

0rt

t A A e =，

称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。

(二)将来值与现值：

上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。现值与将来值的关系为： 0(1)t

t A A r =+

⇔0

(1)t

t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ⇔0(1)t t A A r -=+ 例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清, 年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？ 例2（08）设银行存款的年利率为0.05r

=，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现

第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ 、

二. 经济学中的常用函数

需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数；

供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数； 成本函数：01()()C Q C C Q =+, 其中0(0)C C =为固定成本, 1()C Q 为可变成本；

收益函数：R PQ =;

利润函数：()()()L Q R Q C Q =-.

例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p 和2p , 销售量分别为1q 和2q , 需求

函数分别为1

12402q p =-, 22100.05q p =-, 总成本函数为123540()C q q =++, 试问：厂家如何确

定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？

例 2（99） 设生产某种产品必须投入两种要素, 1x 和2x 分别为两种要素的投入量, Q 为产出量；若生

产函数为1

2

2Q x x α

β

=, 其中,αβ为正常数, 且1αβ+=, 假设两种要素的价格分别为1p 和2p 试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

解 需要在产出量1

2212x x α

β

=的条件下, 求总费用1122p x p x +的最小值, 为此作拉格朗日函数

12112212(,,)(122)F x x p x p x x x αβ

λλ=++-.

111211

21221220,(1)

20,(2)1220.(3)

F p x x x F p x x x F x x αβ

αβαβ

λαλβλ

--∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪∂=-=⎪∂⎩ 由(1)和(2), 得 1221216(

),()p p x x p p αββα

αβ

==；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当211212(

),6()p p x x p p βααβ

βα

==时, 投入总费用最小.

三. 利用导数求解经济应用问题

（一）、边际量：

当某经济量()y y x =的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、

边际收益、边际利润等, 由于(1)()()y x y x y x '+-≈, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小

的, 习惯

上将()y x '视为()y y x =的边际量. 1、 定义 ： 设()y f x =

或(),y f x t =，则称

dy dx 或y x

∂∂为y

关于x 的边际函数。

2、经济学含义：

dy

dx

表示自变量x 增加一个单位时经济量()y x 的改变量。

(二）、弹性函数：

1、定义：设某经济量()y y x =，称η

=dy

Ey x dy y dx Ex y dx

x

==为 ()y y x =的弹性函数。

2、经济学含义：当自变量x 增加1%时, 经济量()y y x =增加（η

>0时）或减小（0η<时）%η。

3、需求弹性：由于一般情况下需求函数()Q Q P =是P 的减函数, 因此定义需求对价格的 弹性 =p E Q P d Q

E E P Q d P =-

-（恒正，表示价格增加1%

时需求减小%p E ）

例1 设某产品的成本函数为2

1()40032C x x x =++, 而需求函数为100P x

=

, 其中x 为产量(假定等于需求量), P 为价格, 试求

(1)边际成本； (2)边际收益；(3)边际利润；（4）收益的价格弹性 ； 例2设某商品的需求函数为p P f Q 2

112)(-

== （1）求需求弹性函数及P=6时的需求弹性，并给出经济解释。 （2）当P 取什么值时，总收益最大？最大总收益是多

例3（15）为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。设Q 为需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（正数），

（1）证明定价模型

=11MC

P η

-

(2)若成本函

2()

1600,

40,1C Q Q Q P =+=

-需求函数试由（）中的定价模型确定此商品的价格。

例4(04)某商品的需求函数为Q = 100 ? 5P ，其中价格P ? (0 , 20)，Q 为需求量.

(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；