5-4、5-5麦克斯韦速率分布律、平均自由程详解

v
窄条：
dN dN f ( )d d Nd N
分子速率在 v—v+dv 区间内的概率
2
1
部分：

f ( )d
设任一速率区间为: ~ 设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN
N N
——分布在速率 v～ v+△v速率间隔内的分子数占 总分子数的比率。 占总分子数的比率。
N ——分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数 vN
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2. 速率分布函数 f(v) 的定义

三、麦克斯韦速率分布律
早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理导出 在平衡态下理想气体分子速率分布函数的具体形式
m0 3 2 f ( ) 4π( ) e 2πkT
f ( )
m0 2 2 kT

2
麦克斯韦速 率分布函数
麦克斯韦速率分布曲线
O

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四、气体分子速率的三种统计平均值
2 f d 0 2 12
2 3 2 3 d 0 F
12
F
3 5
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（4）电子气中一个电子的平均动能为
F 1 1 1 3 2 2 2 3 2 2 t me me f ( )d me 3 d meF 0 0 2 2 2 F 10
1.6 RT
m0 2 2 kT
d
2
8kT πm0
3. 方均根速率

8RT π


m0 2 2 kT
f ( )d 0
2 2 0
m0 3 2 4π( ) e 2πkT
2
d
2
3kT m0
2

3RT

1.73
RT

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2000
20%
3000
30%
4000
40%
1000
10%
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2. 气体分子数按速率的分布
速率 分子数按速率 的分布 分子数比率按 速率的分布 v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv …
ΔN 1
ΔN1/N
ΔN 2
ΔN2/N
…
…
ΔN i
ΔNi/N
…
…
二、 速率分布函数
A f ( ) 0
2
(0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱF ) ( F )
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（1）画出速率分布函数曲线； （2）用 N、F 定出常量 A；
2
（3）求出自由电子的最概然速率p 、平均速率
和方均根速率 ；
（ 4）电子气中一个自由电子的平均动能， me 为电子质量。
§5-4 气体分子的速率分布规律
一、分布的概念
气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过 碰撞不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出 分子数按速率的分布。 例如： 1. 学生人数按年龄的分布
年龄 15 ~16 17 ~ 18 19 ~20 21~22
人数按年龄 的分布
人数比率按 年龄的分布
dN N f ( ) lim 0 N N d
注意： 在平衡态下，f(v)仅是v的函数。 3. 速率分布函数 f(v) 的意义
※分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数占总
分子数的百分比；
※对单个分子来说，它表示分子具有速率在该单位
速率间隔内的概率 。
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4. 速率分布曲线 在v—v+dv区间的分子数占总分子数的百分比为
dN f ( )d N
dN =面积 N
f ( )
N 面积 N
在v1--v2区间 在0--区间有
2 N f ( )d 1 N
O d
1 2


0
f ( )d 1
----归一化条件
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1. 最概然速率 在一定温度下，以相同的速率间隔来说，速率大小
在与vp附近的分子数占总分子数的百分率最大。
df ( ) 0 d
p
2kT 2RT RT 1.41 m0
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2. 平均速率
f ( )d 0
0


m0 3 2 4 π( ) e 2πkT
说明 (1) 一般三种速率用途各不相同
·讨论速率分布一般用 p ·讨论分子的碰撞次数用 ·讨论分子的平均平动动能用 2
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系:
p
2
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【例题 5-2 】 导体中自由电子的运动可以 看作类似于气体分子的运动，所以通常称导 体中的自由电子为电子气（electron gas 或称 Fermi gas；Enrico Fermi，1901—1954） 。设 导体中共有 N 个自由电子，其中电子的最大 速率为F 。电子的速率分布函数为
1.研究气体分子的速率分布
•把速率分成若干相等的区间 •求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 •各区间的分子数占气体分子总数的百分比
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速率分布：把速率可能出现的值分成若干相等区间，平衡 态下全部分子如何分配到这些区间中去的问题。 将速率分成若干相等的区间，如：
0 ~ 10m/s; 10m / s ~ 20m / s; 20m / s ~ 30m / s; 30m / s ~ 40m / s;
解：(1) 由题意可知可 画出函数分布曲线。
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(2) 由归一化条件 f d 1，可知
0

f d
0

F
0
A d 1
2
积分后有
A

3 F
3
1，故 A
3

3 F
。
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(3)由图可知p F 。 根据平均速率和方均根速率的定义有 F 3 2 3 f d 3 d F 0 0 F 4
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五、麦克斯韦速率分布曲线的性质
1）气体分子速率可取 0 的一切值，但v 很小和v f(v)
很大的分子所占比率小， 具有中等速率分子所占比 率大。
2) 曲线下的面积
f ( v) f ( v)
O
vp
v
f ( v)
O v v+dv
v O v1 v2
v O
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