二次函数yax的图像与性质

2

x y

§2.2.2.1二次函数y=a x 2的图像与性质

学习目标：

1、经历探索二次函数y=a x 2和y=a x 2＋c 的图象的作法和性质的过程

2、会作出y=a x 2和y=a x 2＋c 的图象，并能比较它们与y= x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响

3、能说出y=a x 2＋c 与y=a x 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 学习重点：二次函数y=a x 2、y=a x 2＋c 的图象和性质 学习过程：

一、 复习旧知，温故知新

二次函数y=x 2 与y=－x 2的性质： 二、创设情境，引入新知

二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝－x 2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？ 它们的函数图象又是怎样的呢？ 三、合作探究，发现新知

1、在同一坐标系中作二次函数y=x

2、y=2x 2 和y=4x 2的图象，并分析它的特征。 (1)列表：

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2 … 9 4

1

1

4

9

… y=2x 2 … … y=4x 2 …

…

(2)在直角坐标系（右图）中描点，

(3)用光滑的曲线连接各点，得到函数y ＝x 2

，

y=2x 2和y=4x 2的图象，分析它的相同点与不同点 相同点：

它们的图象都是一条，开口都向，对称轴都是，顶点坐标都是，增减性规律都一致，函数都有最值，当x ＝0时，y 最小=． 不同点：

函数图象开口大小不同，|a|越大，函数图象开口越,函数值的增长速度越．

【小结】：二次函数

y=ax 2（a ＞0）图象的开口大小与有关．

抛物线 y=x 2 y=－x 2

对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值

若|a|越大，函数图象开口越,函数值的增长速度越．

2、类比y=x 2与y ＝－x 2图象性质的联系，试一试不画出二次函数y=－x 2、y=－2x 2 和y=－4x 2的图象，分析它的特征． 相同点：

它们的图象都是一条，开口都向，对称轴都是，顶点坐标都是，增减性规律都一致，函数都有最值，当x ＝0时，y 最大=． 不同点：

函数图象开口大小不同，|a|越大，函数图象开口越,函数值的增长速度越．

【总结】：二次函数y=ax 2图象的开口大小与有关．

若|a|越大，函数图象开口越,函数值的增长速度越．

四、课堂小结，归纳新知

1、比较二次函数2

ax y =（a ＞0）与2

ax y -=的性质：

2、二次函数y=ax 2图象的开口大小与|a|有关，若|a|越，函数图象开口越．

五、学以致用，运用新知

1、刹车距离与二次函数的关系．

影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s ＝

100

1v 2

确定，雨天行驶时，这一公式为s ＝

501v 2

． （1）下图的坐标系中是s ＝100

1v 2

的图象，根

据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作出函数s=

50

1v 2

的图象． （2）如果车速是60km/h ，那么在雨天和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少M ？你是怎么知道的？

六、运用新知，巩固新知

1．抛物线y ＝3x 2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x _________

抛物线 2ax y =

2ax y -=

对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值

时，抛物线上的点都在x 轴的上方．

2．二次函数y=－2x 2的图象开口，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而；当x ＜ 0时，y 随x 的增大而；当x ＝ 0时，函数y 有最值是． 3．点A （

2

1

，b ）是抛物线y=4x 2上的一点，则b=；点A 关于y 轴的对称点B 是，它在函数上；点A 关于原点的对称点C 是，它在函数上．

4．已知抛物线2

y ax =经过点(1，3)，求当4=y 时，x =________．

5．已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=3x 2的图象上，则y 1，y 2，y 3之间的大小关系为（ ）

A ．y 1＜y 2＜y 3

B ．y 1＜y 3＜y 2

C ．y 3＜y 2＜y 1

D ．y 2＜y 1＜y 3

6.抛物线2

2

1x y -=不具有的性质是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．当x ＞ 0时，y 随x 的增大而减小 D ．函数有最小值

7．抛物线2

228,5,4

1x y x y x y =-==共有的性质是（ ）

A ．开口方向相同

B ．开口大小相同

C ．当x ＞ 0时，y 随x 的增大而增大

D ．都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点 8．抛物线y=4

1x 2，y=4x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）

A ．y=4

1x 2

B ．y=4x 2

C ．y=－2x 2

D ．无法确定

9．如图，A 、B 分别为y=x 2上两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB=6，则直线AB 的表达式为（ ）

A ．y=3

B ．y=6

C ．y=9

D ．y=36

10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）

11．（选做）设直线y 1=ax+b 与抛物线y 2=x 2的交点 A ，B 的横坐标分别为3，－1． (1) 求a ，b 的值；

(2) 设抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积．