第二章 复变函数的积分

OB
1
xdx
BA
1
i
Biblioteka Baidu
1
dy

1

i
BA上：x=1
0
0
2
路径(2) l2 O C A
Re zdz xdx ixdy xdx ixdy xdx ixdy
l
l2
OC
CA
0 i0dy xdx ix0 OC上：x=0；
(第四版)
梁昆淼 编
高等教育出版社
主讲：冯 杰
第一篇 复变函数论
第二章 复变函数的积分
§2.1 复变函数积分 §2.2 柯西定理 §2.3 不定积分 §2.4 柯西公式
第二章 复变函数的积分
§2.1 复变函数积分
一、复数积分的基本概念
1、复函数积分的定义
y
f (z) u(x, y) iv(x, y)
F(z z) F(z) 1
z z
f ( )d
★两式
z
z z
相减： f (z) 1
z z
f (z)d
z z
★得：
F(z z) F(z) f (z) 1
z z
[ f ( ) f (z)]d
z
z z
★运用极 F (z z) F (z) 限方法： z
l Re zdz l xdx ixdy
路径(1) l1 O B A
y i (2)
C
A
(1, i)
(1) B
O
1
x
Re zdz xdx ixdy xdx ixdy xdx ixdy
l
l1
OB
BA
xdx ix0 x0 i1dy OB上：y=0；
1
2
i
l
z
1

dz

0 ( l不包围) 1 ( l包围)
1 (z )n dz 0
2 i l
n 1
例：计算积分 I
l
z
1 2
1
dz
y
l 是圆周 z a, a 2
x
z 1 解：
l
1 z2 1
dz
★有两个 奇点
1
1
1
dz
dz
析，作小圆C，则有： z Rei
★则积分：
I l(z )n dz↙为什么？
(z )n dz C
Rneind( R ei ) l
2 Rnein R eiid 0
iRn1 e d 2 i(n1) 0
C
R
l
I iR n1 e d 2 i(n1) 0
★对单连通区域： l + AB+l1 +B’A’+CD+ l2+D’C’； ★应用单通区域柯西定理，可得：
l
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz A’ A B
l
AB
l1
B'A'
B’
l1
f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
f (z)dz f (z)dz 0
l
i li
★ l 为区域外境界线；
l
A’ A B l1 B’
★ li为区域内境界线；
★积分沿境界线正方向进行；
D’ l2 D C C’
★正方向：沿该方向前进，区域在其左边；
证明复通区域柯西定理 证：
★将复连通区域：l + l1 + l2 进行切割变成—— 单连通区域： l + AB+l1 +B’A’+CD+ l2+D’C’ ；
1
★因此，
dz 0
l1 z 1
★但是
1 dz 2 i ，为什么？ y
l1 z 1
l2 l1
1
★是因为l 1 包围+1， 非解析！
z 1
1
1 x
★最后得l 1的路径积分：
1 dz 1 ( 1 1 )dz 1 (2 i 0) i
l1 z2 1
★对复变函
数求之和
f ( k )( zk zk1)
k
zk 1
k
B
zk
zn
A z0
x
★记
f (z)dz
l
f ( k )(zk zk1)
k
dz dx idy
★其中 f (z)dz [u(x, y) iv(x, y)](dx idy)
f (z)dz [u(x, y) iv(x, y)](dx idy) u(x, y)dx v(x, y)dy i[v(x, y)dx u(x, y)dy]
★闭复连通区域上的解析函数沿所有内、外境界线 正方向积分之和为零；
★闭复连通区域上的解析函数沿外境界线逆时针 方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和；
§2.3 不定积分
1、单连通区域的不定积分
★单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经
无关，令z0固定，终点 z 为变点，有单值函数：
z
F (z) f ( )d z0
CD
l2
D'C '
D’ l2 D C C’
★其中 f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
AB
B' A'
CD
D 'C '
★考察积分路径的方向
f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
l
l1
l2
f (z)dz f (z)dz 0
l2
B
★且： F '(z) f (z)
A
l1
★即，F(z) 是f (z)的原函数。
2、证明： F '(z) f (z)
★即
z
F(z) f ()d z0
★如图，有：F (z z) F (z) B
z

1
[
z z
f ( )d
z
f ( )d ]
z z0
u v
↖请同学
们动手做
x y y x 这一步。
★得：
l f (z)dz 0
证毕
★推论：单连通区域中解析函数 f ( z ) 的积分值与路经无关。
证明：
f (z)dz 0 l
l2
B
★即： f (z)dz f (z)dz 0 A
l1
l2
l1
★亦即： f (z)dz f (z)dz 0
dz
l z2 1
l1 z2 1
l2 z2 1 y
（1）首先求沿l 1 的积分。
l2 l1
1
11 1
dz ( )dz
l1 z2 1
2l1 z 1 z 1
1
1 x
★因为l
1
1 不包围-1，所以，z 1

z
1 (1)
在l 1 内解析
★因此， 1 dz 0
l1 z 1
2l1 z 1 z 1
2
（2）因为l 2 不包围+1， 被积函数
1 解析，即
1 dz 0
z 1
l2 z 1
★ l 2的路径积分得：
y
1
11 1
dz ( )dz
l1
0
(2 11i)

3
路径(2)
OB A:y 0x:02 y
BA : x 2 y : 0 1
i
(1)
A (2,i)
z2 x2 y2 i2xy
O
(2) B
2
x
z2dz (x2 y2 )dx 2xydy i[2xydx (x2 y2 )dy]
R
（1）如果l 不包围，被积函数解析，
l
★则有： (z )n dz 0 为什么？ l
（2）如果l 包围，但是n 0，被积函数亦解析，
★则亦有： (z )n dz 0 为什么？ l
（3）如果 l 包围， 而且n < 0 , z= 为(z- )n 奇点，函数在该点不解
iR n1 1 ei(n1) i(n 1)
2
0
iR n1 1 (ei(n1)2 1) i(n 1)
C
R
l
n 1
I
iR n1 1 ei(n1) i(n 1)
2
0
0
n 1
I iR n1 2 ei(n1) d 2 i 0
结论：
★将复变函数的实部和虚部分开
l f (z)dz l u(x, y)dx v(x, y)dy i [v(x, y)dx u(x, y)dy]
2、复函数积分的性质 ★6条性质与实函数的积分相同P23
例1：计算积分 Re zdz l 分别沿路径(1)和(2)，如图所示。
解 Re z x dz dx idy

l
Pdx

Qdy


S
( Q x

P )dxdy y
★令：
P [u(x, y) iv(x, y)], Q [v(x, y) iu(x, y)

l
f
(z)dz


S
( v x

u )dxdy y

i

S
(
u x

v )dxdy y
★由C.R.条件 u v
z0
z
★即，F(z) 是f(z) 的原函数
lim f (z)
F(z z) F(z)
z0
z
★且： F '(z) f (z)
2、路积分等于原函 数F(z)的改变量
F (z2 ) F (z1)
z2 f ( )d
z1
证明： F '(z) f (z) F(z) f ()d C
l
i li
l
A’ AB B’
l1
l2
D’ D C C’
逆时针→ f (z)dz
f (z)dz←顺时针
l
i
li
逆时针→ f (z)dz f (z)dz←逆时针
l
i li
★内、外境界线逆时针积分相等！
3、柯西定理的数学意义： ★闭复连通区域上的解析函数沿境界线积分为零；
f (z)

1
z z
[ f ( )
z z
f (z)]d

1 z
z z
z
d

z z
0
zz ff (()) ff (())
lim ★即，F(z) 是f(z)的原函数 f (z)
F(z z) F(z)
l1
l2
★所以： f (z)dz f (z)dz
l1
l2
★即：解析函数 f ( z ) 的积分值与路经无关。
二、复连通区域
1、复连通区域的含义
★函数在区域上不可导，存在奇点； ★将这些点挖掉所形成的带空区域；
2、复通区域柯西定理：如果 f ( z )在闭复连通区域 上是单值的解析函数，则有
l
l2

OB上：y=0，BA上：x=2
OB BA
z2dz 2 x2dx
1
(4y)dy i
1
(4

y2
)dy

(2
11i)
l
0
0
0
3
★由此可见，对于有些被积函数，积分与路径无关！
§2.2 柯西定理 一、单连通区域
1、单通区域柯西定理
如果函数 f ( z )在闭单 连通区域 B上解析，则沿B 上任一分段光滑闭合曲线 l （可以是边界），则有:
l f (z)dz 0
证明： f (z)dz l
l u(x, y)dx v(x, y)dy i[v(x, y)dx u(x, y)dy]
l [u(x, y) iv(x, y)]dx [v(x, y) iu(x, y)dy]
★由格林公式
（查高等数学—曲线积分与曲面积分的关系）
B
(2) 2
x
z2dz (x2 y2 )dx 2xydy i[2xydx (x2 y2 )dy]
l
l1
路径(1) OA x 2y dx 2dy y : 0 1
z2dz 1(4y2 y2)d(2y) 4y2dy i[4y2d(2y) (4y2 y2)dy]
z0
z z z

1[
z
f ( )d
z z
f ( )d
z
f ( )d ]
z z0
z
z0
z0
★即：
F(z z) F(z) 1
z z
f ( )d
z
z z
★另一方面，有恒等式：f (z) 1
z z
f (z)d
z z
F (z1) F (z0 )
★即：
z1 f ( )d
z0
F (z2 ) F (z0 )
z2 f ( )d
z0
F(z2) F(z1)
z2 f ( )d
z1
证毕。
例：计算积分：I (z )n dz l
（n 为整数）
C
解：n 0 被积函数解析。
OC
CA
CA上：y=1
1
1
0 i0dy 0 xdx
1 2
y i (2)
C
A
(1, i)
(1) B
O
1
x
★由此可见，对于有些被积函数，积分与路径有关！
例2：计算积分 z2dz l
分别沿路径(1)和(2)，如图所示。y Ci
解 z2 x2 y2 i2xy
O
(1) A (2,i)