截面静矩和形心位置及惯性矩计算

y1
o
2
x2
80
y2
10
x
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
z
定义：
dA z
截面对 o 点的极惯性矩为

y
y
Ip Aρ2dA
0
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
2dA z Iy
A
Iz
因为
A
y 2dA
y
dA y x
ρ2 y2 z2
I p A ρ 2 dA
x
所以
I p = Ix + I y
0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。 若 x , y 两坐标轴中有一个为
y dA y
截面的对称轴， 则截面对 x , y 轴的
dx dx
x
惯性积一定等于零 。
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
y
πd Iρ 32
4
I x I y Iρ
I x Iy
πd Ix Iy 64
4
x
所以
§ І -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
组合截面的惯性矩和惯性积
一、 平行移轴公式
x , y ——任意一对坐标轴 C —— 截面形心 a （a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的 坐标。 xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
xc
I xy I xc yc abA
b
x
二、组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , I xyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
惯性积。
Ix I xi i 1
组合截面的惯性矩，惯性积
n
Iy I yi i 1
I xy I xyi
i 1 n
n
例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1 y1
Ix Iy 2
C(a,b)
y
yc
xc
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____ 截面对
x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y yc
I x I xc a A
2
Iy Iy b A
2
c
a o
C(a,b)
解：将截面分成两个矩形截面。
zc
20
截面的形心必在对称轴 zc 上。
140
1
yc
2
取过矩形 2 的形心且平行
20
于底边的轴作为参考轴， 记作 y 轴 。
y
100
A1 20 140 A2 100 20
Z1 80 Z2 0
zc
20
所以截面的形心坐标为
140
1
yc
20
A1 Z1 A2 Z 2 46.7mm ZC A1 A2
2
y1
o
2
y2
10
x2
80
x
y 2 5mm
所以
x
A 1 x1 A 2 x 2 3 7 50 0 2 0 mm A1 A 2 1 9 00
A 1 y1 A 2 y 2 7 5 50 0 y 4 0 mm A1 A 2 1 9 00
y
10
1
x1
C( y, x )
iy
Iy , A
ix
Ix A
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
解：
2
dA = b dy
h 2 h 2 2 3
I x A y dA
y
2
bh I x A y dA by dy 12
hb 12
3
dy
Iy
h
C
y x
b
例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。 解：因为截面对其圆心 O 的 极惯性矩为
ZC
2
y
100
I
1 yC
I yC
2
1 2 20 1403 20 140 (80 46.7) 12 1 2 3 100 20 100 20 ( 46.7 ) 12
zc
20
140
I yC I yC I yC 12.12 10 m
1 2
6
4
1
i
计算组合截面形心坐标的公式如下：
y
A y
i 1 i
n
i
A
i 1
n
z
A z
i 1 n i
n
i
i
A
i 1
i
例 1-1
试确定图示截面心 C 的位置。 y
10
解：将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合
x1 1
A 1 x1 A2 x 2 x A1 A2 Ai
二、
组合截面
由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截
面对于同一轴的静矩。
组合截面静矩的计算公式为
n
S Ay
z i 1 i
i
S A z
y i 1 i

i
其中： Ai —— 第 i 个简单截面面积
( y , z i ) —— 第 i个简单截面的形心坐标
2 Ix Iy

Ix Iy
I x1 y1
2 2 Ix Iy sin 2α I xy cos 2α 2

Ix
2 Iy
cos 2α I xy sin 2 α
cos 2α I xy sin 2α
上式称为转轴公式
y1 y
显然
x1
o

x
I x1 I y1 I x I y
yc
ZC
20
2
y
100
§ І -4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
一、 转轴公式 xoy 为过截面上的任 – 点建立的坐标系 x1oy1 为 xoy 转过 角后形成的新坐标系
y1 y
逆時针转取为 + 号，
x1
顺時针转取为 – 号
o

x
I x1
Ix Iy
I y1
i 1 n i 1
Ai x i
n
y1
o
y2
2 10
A1 y1 A2 y 2 y A1 A2
x2
80
x
矩形 1
A1 10 120 1200 mm
2
y
10
x1 5mm
y1 60mm
矩形 2 1
x1
A2 10 70 700 mm
70 10 45mm x2 2
§І-1 截面的静矩和形心位置
一、 定义 截面对 z , y 轴的静矩为： z
dA
S
z
A
ydA
z
S
y
zdA
A
o
y
y
静矩可正，可负，也可能等于零。
z
截面的形心 C 的坐标
公式为：
dA
y
z
A
ydA A
A

S
c
z
z
A
y
z
o
y y
zdA S
A
A
y
S
z
Ay
S
y
Az
若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。 截面对形心轴的静矩等于零。