大一高数--微分

29 sin cos ( ) sin 29 sin 6 180 180 6 1 3 (0.0175) 2 2
180
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特别当 x0 0 , x 很小时,
f ( x) f (0) f (0)x
常用近似公式: ( x 很小)
x
e x dx 2 x 1 e
d tan x 3 3. sec x d sin x 1 4. d ( cos 2 x C ) sin 2 x d x 2
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作业
P142 1 -10 复习题 一、1，2；二、1 – 6；8
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1 x
证明: 令 f ( x) (1 x)

得 f (0) 1, f (0)
当 x 很小时,
x x
1 x
x
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例6. 计算
的近似值 .
35 243
解:
(243 2)
1 5
2 1 3 (1 )5 243 1 2 3 (1 ) 5 243
y f ( x0 )x o( x)
当 x 很小时, 得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
令 x x0 x
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
关于△x 的 x 0 时为 高阶无穷小 线性主部
x0
2 A x0
x0 x
故 称为函数在 x0 的微分
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定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f (x) 在点
可微, 而 A x 称为 即
dx
x2
x2
x2


2
x2
2 xdx
x2
2
1 ex
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例2. 设
求
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x) d(cos( x y)) 0 sin x d y y cos x dx sin( x y) (dx d y) 0 y cos x sin( x y) dy dx sin( x y) sin x
dy
y
y f (x)
当 y x 时，
y
y x dx
称 x 为自变量的微分, 记作 dx
则有 从而
记
o

x0
x
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x
d y f ( x) dx
dy f ( x) dx
导数也叫作微商
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y x3 , 例如, 求
dy
x2 dx 0.02
例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1) d( 1 x 2 C ) xdx 2 (2) d(

1 sin t
C ) cos t d t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
注意 目录 上页 下页 返回 结束
四、 微分在近似计算中的应用
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练习
1. 设函数 的图形如下, 试在图中标出的点
x0 处的 d y , y 及 y dy , 并说明其正负 .
y dy 0
y
dy 0
y 0
o
x0
x0 x
x
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1 2. d(arctan e ) de x 2 x 1 e
(1 x) 1 x
3.0048
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内容小结
1. 微分概念 • 微分的定义及几何意义 • 可导 可微
2. 微分运算法则
微分形式不变性 : d f (u ) f (u ) d u ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算 估计误差*
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★ 导数与微分的区别:
1. 函数 f ( x ) 在点x0处的导数是一个定数 f ( x0 ), 而微分 dy f ( x0 )( x x0 ) 是x的线性函数.其定义 域是R.
2. 从几何意义上来看 f ( x0 ) 是曲线 y f ( x ) 在 , 点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率 而微分 dy f ( x0 ) , ( x x0 )是曲线 y f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线 方程在点 x0 的纵坐标增量 .
5. 复合函数的微分
分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
f (u ) ( x) dx d y f (u ) du
du
微分形式不变
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例1. 解:
求
dy
1 1 e 1 1 e 1 1 e
2 xe
x
2
x
2
d(1 e )
e d (x ) e
第七节 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
第二章
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一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x 2 , 当 x 在 x0 取 得增量 x 时, 面积的增量为 x0 x (x) 2 x
(3) y dy o(x)是比x(y)高阶无穷小 ; y y (4)当 f ( x0 ) 0 时 , lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x
所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x 很小时, 有近似公式
R 1 R 0.01
时体积的增量
4 R 2 R R 1
R 0.01
0.13 (cm 3 )
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
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例5. 求
的近似值 .
解: 设 f ( x) sin x ,
取 则 x
y dy
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定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
即 d y f ( x0 ) x
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二、微分的几何意义
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y
切线纵坐标的增量
使用原则: 1) f ( x0 ) , f ( x0 ) 好算 ;
2) x 与x0 靠近 .
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例4. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需
用铜多少克 .
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
3x 2 d x
0.24 x2 dx 0.02
又如, y arctan x , 1 dy dx 2 1 x
基本初等函数的微分公式 (见 P136表)
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三、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
思考题
因为一元函数 y f ( x ) 在 x0 的可微性与 可导性是等价的，所以有人说“微分就是导 数，导数就是微分”，这说法对吗？
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思考题解答
说法不对.
从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念.
的微分, 记作
d y A x
定理: 函数
在点 x0 可微的充要条件是 即
d y f ( x0 )x
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说明: y f ( x0 ) x o( x)
d y f ( x0 )x
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;
( 2) A是与x无关的常数, 但与f ( x )和x0 有关;
故 在点 的可导, 且
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定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知 在点 的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) ( lim 0 ) x 0 x