高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
中值定理和泰勒公式
中值定理和泰勒公式一、中值定理中值定理，也称为拉格朗日中值定理，是微分学的基本定理之一、它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
中值定理有三种形式：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理之间存在递进和包含关系，其中拉格朗日中值定理是最常用的。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理适用于满足以下三个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导；3）f(a)=f(b)。
罗尔中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明，如果一个函数在两个端点具有相同的函数值，并且在中间一些地方导数为零，那么在这个导数为零的点附近，函数的变化是很小的。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理适用于满足以下两个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导。
拉格朗日中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
简单来说，拉格朗日中值定理说明，如果一个函数在一个闭区间上连续且可导，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点连线斜率的平均值。
3.柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于满足以下两个条件的函数f(x)和g(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导，并且g(x)不为零。
柯西中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a))]=f'(c)/g'(c)。
简单来说，柯西中值定理说明，如果两个函数在一个闭区间上连续且可导，并且其中一个函数在这个区间两个端点的导数不为零，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数的比值等于两个函数在这个区间两个端点连线斜率的比值。
泰勒公式
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
高数上3.3 泰勒公式
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
f
(n)
(x 0
)
(x
x
)n
R
(x)
n!
0
n
用类似的证明方法，我们可以证得另外一种带有 皮亚诺余项的泰勒公式.
设 f (x (n) ) 存在，则 0
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
例 2 求 f ( x) e x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n)( x) e x ,
f (0) f (0) f (0) f (n)(0) 1,
注意到 f ( (n1) x) e x 代入泰勒公式， 得
e
x
1
x
x2 2!
xn n!
ex (n 1)!
但这种近似等式存在明显不足, 首先是精度 不高,误差会比较大，其次是误差无法估计.
能否用其它较简单的曲线函数来近似替代 复杂的连续函数f(x)呢？
事实上多项式函数
Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
是一种处处连续可导分析性质很好的函数， 在n>1时，它是一条连续的曲线函数。 因此在讨论较复杂的连续函数f(x)在某一个 邻域内的分析性质时，经常用多项式函数来 近似代替较复杂的连续函数。
f
(5)
(
)
6
2
.
例1 写出函数 f ( x) x3ln x 在 x0 1 处的四阶
泰勒公式.
解
f
(4) ( x)
6 x
,
f (4)(1) 6,
f
(5)(
x)
6 x2
中值定理和泰勒公式
中值定理和泰勒公式中值定理是微积分中的一个基本定理，它主要有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理都用于描述函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
拉格朗日中值定理是最基本的中值定理，它表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)中存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
换句话说，函数在开区间内的平均变化率等于其中一点的瞬时变化率。
柯西中值定理是对拉格朗日中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)不等于零，那么在(a,b)内存在一点c，使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
柯西中值定理可以看作是拉格朗日中值定理在多元函数中的扩展，它给出了函数f(x)和g(x)在区间内的变化率之间的关系。
罗尔中值定理是对拉格朗日中值定理的另一种形式，它表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)中存在一点c，使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明了如果在区间的两个端点处函数取相同的值，并且函数在区间内可导，那么在区间内存在一个点，该点处的导数为零。
泰勒公式是微积分中的另一个重要公式，它可以将一个函数表示为无穷级数的形式，从而方便地进行近似计算。
泰勒公式的基本形式如下：设函数f(x)在点a处具有n+1阶连续导数，那么对于a附近的任意x，函数f(x)可以表示为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)，其中R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是剩余项，是一个无穷小量。
第四章 微分中值定理与泰勒公式1-4
3. 拉格朗日中值定理的三个重要推论 (1)推论1 设f (x)在区间[a,b]上可导，且f (x)=0, x [a,b].则f (x)=C, x [a,b]. (C为常数)
证：x1,x2 [a,b], 不妨令x1<x2, 则f (x)在[x1, x2] 上满足拉格朗日中值定理条件，故有
(0 1)
f ( x x) f ( x) f ' ( x x)x, 0 1
或 或
y f ' ( x x)x, 0 1
y f ' ( )x, ,
在x与x x之间.
21
f (b) f (a) f ' ( )(b a)
当f ( ) m时，f ' ( 0) 0, f ' ( 0) 0, 故f ' ( ) 0.
注:(费马定理) 当最大(小)值点在(a,b)内达到时,其导数为零。
6
例1. 设f (x)=(x a)(xb)(xc)(xd) ，a<b<c<d为实 数. 证明方程 f (x)=0，有且仅有三个实根，并指
又 F(a) = F(b) = 0,
故由Rolle定理，至少存在一点(a, b)，使得 F ( )=0
16
f (b) f (a) F ( x) f ( x) f (a ) ( x a) ba f (b) f (a) F ' ( x) f ' ( x) . ba
x ( +)，
f ( x) 即要证 x 1, x ( , ), e
令
f ( x) ( x) x , x ( , ). e
而 F ' ( ) 0,
中值定理及泰勒公式
证： f 0 0 f x0 0 又 f x 在 0, x0 内可导。 由罗尔定理可知在 在 0, x0 内至少存在一个 ，使 f 4a0 3 3a1 2 2a2 a3 0
f (2) x1
(x2 2 x1 x2 , 0 1 x1)
x1 f ( )(2 1) 0 (1 2)
f (x1 x2) f (x1) f (x2)
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三、柯西(Cauchy)中值定理 及 满足 :
证： f x cos x f 0 f 2 0 f x sin x 在 [0, 2 ] 上满足罗尔定理的三个条件
且使 f x cos x 0 的点在 [0, 2 ] 是
x x 3
2
2
则有
1
2
2
3
2
使得 f 0
x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为 故
1 ln(1 x) ln1 1
1 x
x0
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例5. 证明不等式
x
tan
x
x cos2
x
证: 设 f (t) tan t
第六节
第二章
微分中值定理及泰勒公式
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 四、泰勒 ( Taylor )公式
第四章 微积分中值定理与泰勒公式
第四章 微积分中值定理与证明4.1 微分中值定理与证明一 基本结论 1．连续性定理：定理1（零点定理） 若()f x 在[,]a b 连续，()()0f a f b ⋅<，则(,)a b ξ∃∈，使得 ()0f ξ=。
定理2（最值定理） 若()f x 在[,]a b 连续，则存在12,x x 使得12(),()f x m f x M ==． 其中,m M 分别是()f x 在[,]a b 的最小值和最大值．定理3（介值定理）若()f x 在[,]a b 上连续，则存在最小值和最大值分别是,m M ，对 于任意的[,]C m M ∀∈，都存在[,]a b ξ∃∈使得()f C ξ=．更一般的结论：若()f x 在[,]a b 上连续，对1x ∀，2[,]x a b ∈，（假设12()()f x f x <），则12[(),()]C f x f x ∀∈，都存在12(,)x x ξ∈，使得()f C ξ=。
2．微分中值定理：定理1（费玛定理）如果0x 是极值点，且()f x 在0x 可导， 则0()0f x '=．定理2 （罗尔定理） 若()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，()()f a f b =，则(,)a b ξ∃∈， 使得()0f ξ'=．定理3（拉格朗日定理）若()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a b a f ξ'-=-．定理4（柯西定理） 若()f x ，()g x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，且()0g x '≠，则 (,)a b ξ∃∈使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-．定理5（泰勒公式和麦克劳林公式）（数三不要求）泰勒公式：设()f x 在0x 的某个邻域内0()U x 具有1n +阶导数，则0()x U x ∀∈，有 ()(1)1000000()()()()()()...()()!(1)!n n nn fx ff x f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+，其中ξ在x 和0x 之间，常常把ξ表示为00()x x x θ+-，01θ<<．麦克劳林公式：设()f x 在0的某个邻域内(0)U 具有1n +阶导数，则(0)x U ∀∈，有()(1)1(0)()()(0)(0)...!(1)!n n nn fff x f f x x xn n ξ++'=+++++，其中ξ在0和x 之间．3．连续定理和微分中值定理特点：（1）证明存在性，使函数在一点的函数值满足某个等式，常应用连续性定理：零点定 理、最值定理、介值定理，其中最常用的是零点定理．（2）证明存在性，使函数在一点的导函数值满足某个等式，常应用微分中值定理：费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式，其中最常用的是罗尔定理．（3）费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理仅仅涉及一个函数，而柯西中值定理涉及到两个函数；（4）若题设涉及到高阶导数，常应用到泰勒公式和麦克劳林公式；二 基本方法题型1 方程的根的讨论（函数的零点）1．方程根（函数的零点）的存在性：主要应用零点定理．2．方程根（函数的零点）的个数的讨论：求出单调区间，对每个单调区间应用零点定理来判断是否有零点，即是否有根，从而得到函数在给定的区间上根的个数以及根所处的位置（范围）．例1 证明：当230a b -<时，实系数方程320x ax bx c +++=只有唯一实根．证明 令32()f x x ax bx c =+++，则2()32f x x ax b '=++，由于230a b -<，于是2()320f x x ax b '=++>，即()f x 单调递增的．由于lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()x f x →-∞=-∞所以()y f x =与x 轴有且仅有一个交点．即方程320x ax bx c +++=只有唯一实根．例2 证明：方程1ln 0ex x +=只有一个实根．证明 设1()ln e f x x x =+，则()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，解得1ex =．显然在10,e⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，于是()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调减少；在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，于是()f x 在1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调增加，而10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以方程1ln 0e x x +=只有一个实根．例3 讨论方程33x x c -=中的常数c ，在什么情况仅有一个根，两个根，三个根？解 令3()3f x x x c =--，则2()33f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±．于是在(,1)-∞-上，()f x 单调增加，在(1,1)-上，()f x 单调减少；在(1,)∞上，()f x 单调增加。
多元函数泰勒公式
的一阶偏导数为仍存在偏导数则称它们为函数的二阶偏导数连续都在点例如对三元函数u说明
4 泰勒公式与极值
高阶导数 中值定理和泰勒公式
问题
一、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的一阶偏导数为 fx ( x, y) , f y ( x, y) 仍存在偏导数，则称它们为函数 z f ( x, y) 的二阶
其中记号
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
f xy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
四微分中值定理与泰勒公式
四微分中值定理与泰勒公式一、四微分中值定理若函数f(x)在区间[a,b]内连续，在开区间(a,b)内可微，并且在a 和b处的导数存在，则存在一点c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]=f'(a)(b-a)+(1/2)f''(a)(b-a)^2+(1/6)f'''(a)(b-a)^3+(1/24)f''''(a)(b-a)^4其中，f'(a)、f''(a)、f'''(a)和f''''(a)分别是a处的一至四阶导数。
四微分中值定理是一个推广的中值定理，它表示函数在其中一区间上的增量可以用函数及其导数的其中一种组合表示。
这个定理的一个重要应用是近似计算函数的值，特别是当函数的导数容易求出时，可以通过多次求导来逼近函数的值。
二、泰勒公式泰勒公式是函数在其中一点附近的展开近似。
对于函数f(x)在点a 处具有n+1阶连续导数的情况，泰勒公式表述如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+⋯+(1/n!)f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)其中，R_n(x)是带有拉格朗日余项的公式，形式为R_n(x)=(1/(n+1)!)[f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)]其中，c是a和x之间的其中一点。
泰勒公式表示了函数在其中一点附近的多项式展开式，其中的余项由高阶导数决定。
当x足够接近a时，高阶导数的贡献逐渐变小，此时可以截断展开式，用有限项的多项式来近似计算函数的值。
泰勒公式的应用非常广泛，可以用于各种函数近似计算和数值分析问题。
特别地，当取n=0时，泰勒公式变为函数的一阶线性近似，即线性逼近。
总结起来，四微分中值定理和泰勒公式都是微积分中的重要定理，用于近似计算函数的值和研究函数的性质。
高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用泰勒公式课件
Pn( n ) ( x0 ) an . n! 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶
导数所确定的.
设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n ),
即
f ( x ) Pn ( x ) lim 0, n x x0 ( x x0 )
( 3 ) 式称为 f ( x )在点 x0 处的带有佩亚诺型余项的 n
阶泰勒公式. 注1 即使 f ( x ) 在点 x0 附近满足
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n )
( 4)
也不能说明 Pn ( x ) 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式.
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有佩亚诺型余项685-1731, 英国 ) 麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 )
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
例1 验证下列公式
2 n x x x 1. e x 1 o( x n ); 1! 2! n!
即 f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( n ) ( x0 ) ( 3) ( x x0 )n o(( x x0 )n ). n! n 证 设 Rn ( x ) f ( x ) Tn ( x ) , Qn ( x ) ( x x0 ) , 故只需证
x
的麦克劳林 由定理 6.8 的注 2, 可知上式就是 e 公式, 由泰勒系数公式可知 x 98和x 99的系数为 1 ( 98) ( 1)49 1 ( 99) f 49 , f ( 0) 0 , 98! 2 49! 99!
高等数学：第三节 泰勒公式
Rn( x)
f
(n1) ( )
n1 !
(
x
x0
)n1
Lagrange型余项
11
（2）n 0时，Taylor公式变为Lagrange中值公式：
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
（3）若对某固定的n，当x (a, b)时，| f ( (n1) x) | M ,则
第三节 泰勒（Taylor）公式
一、问题的提出 二、泰勒（Taylor）中值定理 三、常见函数的Taylor（Maclaurin)公式 四、简单的应用 五、小结 思考题 六、作业
1
一、问题的提出
复杂函数用简单函数逼近（近似表示） 多项式表示的函数很简单（只含有加、减、乘三种运 算，易于计算函数值，更易于在计算机上实现运算）
n k0
f
(k ) ( x0 k!
)
(x
x0 )k
.
6
当f ( x)在x0处有直到n阶的导数时，用f (k)( x0 )构造出
pn( x)的系数ak
f (k) ( x0 ) , 从而得 k!
n
pn ( x) ak ( x x0 )k ,
k0
这个多项式在x0点与f ( x)具有相同的函数值及相同 直至n阶的导数值，该多项式称为函数f ( x)在x0处的
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn( x)
f (n1) ( ) (
(n 1)!
x
x0 )n1
微分中值定理与泰勒公式内容要点
微分中值定理与泰勒公式内容要点微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是描述函数在一些区间内的平均变化率与一些点处的瞬时变化率之间的关系。
泰勒公式是函数在一些点附近的局部展开式，它可以用来近似计算函数的值。
下面将详细介绍微分中值定理和泰勒公式的内容要点。
一、微分中值定理微分中值定理是由法国数学家Cauchy于1821年提出，并由德国数学家Rolle于1691年和法国数学家Lagrange于1797年分别独立给出证明。
微分中值定理主要有三个不同的版本：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的最简单形式。
它表述为：如果一个函数f(x)在区间[a,b]内连续，在区间的端点a和b处可导，并且在这两个端点处的函数值相等（f(a)=f(b)），那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
换句话说，函数在区间内至少存在一点处的导数为零。
罗尔中值定理可以应用于证明其他定理，例如求函数零点的存在性、证明最大值和最小值的存在性等。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最常用形式。
它表述为：如果一个函数f(x)在区间[a,b]内连续，在区间的内部可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
换句话说，函数在区间内至少存在一点处的导数等于函数在区间两端点连线上的斜率。
拉格朗日中值定理可以应用于证明平均值定理、证明函数的单调性、证明函数的增减性等。
3.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的一般形式。
它表述为：如果两个函数f(x)和g(x)在区间[a,b]内连续，在区间的内部可导，并且g'(x)≠0，那么存在一个点c∈(a,b)，使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
换句话说，在一定条件下，函数在区间内至少存在一点处的导数之比等于函数在区间两端点连线上函数值之差的比值。
GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式
再将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.证毕
定理2在多元函数的计算上有重要价值.其中拉格朗日余项
1 Rn = d n +1 f ( x 0 + θ ∆ x , y 0 + θ ∆ y ) ( n + 1)!
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y
或写成
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) + df ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ).
记
f ( Pt ) = f ( x0 + t ∆x, y0 + t ∆y ), 则上式又可写成为
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ),
可用偏导数来估计. 假定其 n + 1 阶偏导数有界,即有常数 M , 使
∂ n +1 f ≤ M, l n +1−l ∂x ∂y
则
l = 0,1,⋯ , n + 1;
M Rn ≤ ( ∆x + ∆y ( n + 1) !
)
n +1
,
令 ρ = ∆x 2 + ∆y 2 ,
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ), (0 < θ < 1)
微分中值定理与泰勒公式
微分中值定理与泰勒公式微分中值定理是微积分中的一项重要定理，它建立了导数与函数平均变化率之间的关系。
而泰勒公式则使我们能够通过已知函数的某一点处的导数值，来逼近该点附近的函数值。
在本文中，我们将介绍微分中值定理和泰勒公式的基本原理和应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分中的基本定理之一，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理的基本思想都是利用导数的中间值性质，揭示了函数在某个区间内的特殊性质。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理描述了函数在一个闭区间内，存在一个点，使得该点的切线斜率等于函数在该区间上的平均变化率。
具体而言，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
拉格朗日中值定理的一个重要应用是证明函数的单调性和判定函数的极值。
通过证明函数在某一区间内的导数的符号，可以判断函数在该区间上的单调性和极值点的存在与否。
2. 柯西中值定理柯西中值定理描述了两个函数在一个闭区间内，满足一定条件时，它们的导数在该区间上至少有一个相等的点。
具体而言，若函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且g'(x)≠0，则存在一个点c∈(a,b)，使得[f'(c)/g'(c)] = [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
柯西中值定理在解决一些函数方程的问题时起到了重要的作用。
通过构造辅助函数，将原方程转化为柯西中值定理的形式，然后利用中值定理的性质解方程。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理描述了在一个闭区间内，如果函数在两个端点处的函数值相等，那么在该区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。
具体而言，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a) = f(b)，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
高等数学《中值定理-泰勒》课件
3x 4 2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
21!
1 2
(
1 2
1)
(
3 4
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
4 3x
2
3 4
x
1 4
196
x2
o( x2 )
原式
lim
x0
1 2
9 16
x2
o(
x2
)
x2
9 32
例7 证明
证明
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
使其精确到0.005,试确定 x 的适用范围.
解 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得 x 0.588
即当 x 0.588 时,由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
例6 求
用洛必塔法则
解 用泰勒公式将分子展到 x2 项,由于 不方便 !
由f（x）、Pn（x）的性质知，Rn（x）在（a ，b）内
有直至（n+1）阶的导数，且有
Rn(n1) (x) f (n1) (x)
而 Rn (x0) Rn(x0) Rn(n) (x0) 0
对于函数Rn（x）与（x－x0）n+1在以 x0、x 为端 点的区间上，应用柯西中值定理，则有
பைடு நூலகம்(x
x
x0
n1
高中数学：多元函数泰勒公式
2
上连续,在 D 的
所有内点可微, 则对 D 内任意两点 P ( a , b ),
证 引入函数 显然
( t ) f ( a h t , b kt ),
( 0 t 1).
( t ) C [0, 1], 在 (0, 1)
内可微 ,由中值定理
f ( a h , b k ) f ( h , k ) (1) (0 ) ( ).
F (x , y ) f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 y ) f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) ( x 0 )
( x0 x )
( y 0 x ) ( y 0 ) ( y 0 3 y ) y
(n)
1 2!
( 0 )
(n1)
(0)
1 ( n 1 )!
( ), ( 0 1 ).
将 ( 0 ) f ( x 0 , y 0 ) , (1 ) f ( x 0 h , y 0 k ) 及 上面求得的 ( t ) 直到 n 阶导数在 t 0 的值,以及
n 2
(1 )
其中
Rn k h ( n 1 )! x y 1
n1
f ( x 0 h , y 0 k ), (2)
( 0 1 ).
证毕
公 式 (1 ) 称 为 二 元 函 数 f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 的
( x x0 )
2 0
f
(n)
( x0 )
n!
n1
( x x0 )
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一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
h cos k sin
M n 1 n 1 ( cos sin ) (n 1) !
利用 max ( x 1 x 2 ) 2
[ 0,1]
M n 1 n 1 n ( 2 ) n 1 o ( )y0 k ) Rn ( n 1 ( h k ) f ( x h , ()n 1 ) ! 0 ! x y
定理2. 设 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有
n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 h , y0 k )为此邻域内任 一点, 则有
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
p 4 p p 3 p
1 (1 x y ) 2
2! (1 x y ) 3! (1 x y )
4 3
( p 0 ,1, 2 , 3 ) ( p 0 ,1, 2 , 3 , 4)
因此, (h x k y ) f (0, 0) h f x (0, 0) k f y (0, 0) h k
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格 朗日型余项 .
(0 1)
证:
令 (t ) f ( x0 t h, y0 t k ) (0 t 1),
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k ) 则 利用多元复合函数求导法则可得:
(h x 2
2 k y)
f (0, 0)
2
h f x x (0, 0) 2hk f x y (0, 0) k f y y (0, 0) (h k )
3
2
3 f p p 3 p 3 (h x k y ) f (0, 0) C3 h k p 3 p (0,0) x y p 0 2(h k )3 又 f (0, 0) 0 ,将 h x , k y 代入三阶泰勒公式得 1 1 2 ln(1 x y) x y ( x y ) ( x y )3 R3 2 3 其中 4 1 ( x y ) R3 (h x k y ) 4 f ( h, k ) h x 4 (1 x y ) 4 ky (0 1)
h 2 f x x ( x0 , y0 ) 2hk f x y ( x0 , y0 ) k 2 f y y ( x0 , y0 )
m • 一般地, (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y m m f p p m p Cm h k x p y m p ( x , y ) 0 0 p 0
定理1： 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) h f x ( x0 h, y0 k ) k f y ( x0 h, y0 k ) (0 1)
推论： 若函数 z f ( x, y ) 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f ( x, y ) 常数 .
2hk f x y ( x0 ht , y0 k t )
k 2 f y y ( x0 ht , y0 k t )
2 (0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
一般地,
m f ( m) p p m p (t ) C m h k p m p ( x ht , y k t ) x y 0 0 p 0
(t ) h f x ( x0 ht , y0 k t ) k f y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
2 (t ) h f x x ( x0 ht , y0 k t )