高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式

一、二元函数的泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y

1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
h cos k sin
M n 1 n 1 ( cos sin ) (n 1) !
利用 max ( x 1 x 2 ) 2
[ 0,1]
M n 1 n 1 n ( 2 ) n 1 o ( )y0 k ) Rn ( n 1 ( h k ) f ( x h , ()n 1 ) ! 0 ! x y
定理2. 设 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有
n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 h , y0 k )为此邻域内任 一点, 则有
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
p 4 p p 3 p
1 (1 x y ) 2

2! (1 x y ) 3! (1 x y )
4 3
( p 0 ,1, 2 , 3 ) ( p 0 ,1, 2 , 3 , 4)
因此, (h x k y ) f (0, 0) h f x (0, 0) k f y (0, 0) h k
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格 朗日型余项 .
(0 1)
证:
令 (t ) f ( x0 t h, y0 t k ) (0 t 1),
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k ) 则 利用多元复合函数求导法则可得:
(h x 2
2 k y)
f (0, 0)
2
h f x x (0, 0) 2hk f x y (0, 0) k f y y (0, 0) (h k )
3
2
3 f p p 3 p 3 (h x k y ) f (0, 0) C3 h k p 3 p (0,0) x y p 0 2(h k )3 又 f (0, 0) 0 ,将 h x , k y 代入三阶泰勒公式得 1 1 2 ln(1 x y) x y ( x y ) ( x y )3 R3 2 3 其中 4 1 ( x y ) R3 (h x k y ) 4 f ( h, k ) h x 4 (1 x y ) 4 ky (0 1)
h 2 f x x ( x0 , y0 ) 2hk f x y ( x0 , y0 ) k 2 f y y ( x0 , y0 )
m • 一般地, (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y m m f p p m p Cm h k x p y m p ( x , y ) 0 0 p 0
定理1： 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) h f x ( x0 h, y0 k ) k f y ( x0 h, y0 k ) (0 1)
推论： 若函数 z f ( x, y ) 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f ( x, y ) 常数 .
2hk f x y ( x0 ht , y0 k t )
k 2 f y y ( x0 ht , y0 k t )
2 (0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
一般地,
m f ( m) p p m p (t ) C m h k p m p ( x ht , y k t ) x y 0 0 p 0
(t ) h f x ( x0 ht , y0 k t ) k f y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
2 (t ) h f x x ( x0 ht , y0 k t )