高数多元函数微分学

dzz duz dv z
u
vx
dx udx vdx
vv u 1(uvln u)coxs
xs ix n(c o xsl nxsi n x) x
CH8多元函数微分学
例 3设 zu vsitn， 而 uet， vcot， s
求 全 导 数 d.z dt
z
解 d zzd uzd vz dtudtvdtt
u vt
f
(x)f
x u x v x u
v
ux
2z(x)ff
xy
yu yv
CH8多元函数微分学
第八章 多元函数微分学
复习 １、多元函数全微分的概念；
CH8多元函数微分学
２、多元函数全微分的求法；
３、多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
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多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
CH8多元函数微分学
练习
z x
z u
u x
z v
v x
，
z y
z u
u y
z v
v y
仍为u、v的二元函数
观点要 明确！
即:
z u
fu
f1
u v
vzfv f2
u v
从而也x、 是 y的函.数
复合二阶偏导：
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z z u z v
x u x v x
f1
u x
f
2
v x
2z x 2
z x x
x
是多元函数的情况： z f [( x, y), ( x, y)].
定 理 2 如 果 u ( x, y)及 v ( x, y)都 在 点( x, y) 具 有 对 x 和 y 的 偏 导 数 ， 且 函 数 z f (u,v)在 对 应 点 (u,v)具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在 对 应 点 ( x , y ) 的 两
解： 令 uxy, vxy
u 则由复合函数求偏导数的链式法则可得
x
zf uf v z
x ux vx
v
y
f 1 (x y ,x ) y y f2 (x y ,x )y
z f uf v y uy v y
f1 xf2
复合高阶偏导数
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复合一 z阶 f(u,v偏 ) u导 u(x,y)： v ,v(x,y)
数存在，且可用下列公式计算
z
z
பைடு நூலகம்u
z v
z
w
,
x u x v x w x
z y
z u
u y
z v
v y
z w
w y
.
ux zv
wy
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例4设zeusivn， 而 uxy， vxy，
求z和 z.
u
x
解
x y
z
z x
z u
u x
z v
v x
v
y
eusivn yeuco v1 s
eu(ys ivncov)s
5
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一、中间变量为一元函数-----链式法则
定理 1 如果函数u (t )及v (t)都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应点t 可导，
且其导数可用下列公式计算：．
dz z du z dv dt u dt v dt
f1
u x
f
2
v x
f1 x
u x
f1
2u x 2
f2 x
v x
f
2
2v x 2
2z、2z 、2z 同理； y2 xy yx
例6 设z f(x)y,(y)x, f具有连C续 H8多的 元函数二 微分,阶 学
,可导，2求 z
xy
解：
u
x
记 u(x)y,v(y)x，则 z
v
y
z f u f v
求:zxln(x2y)的偏导数和全微分
zlnx(2y)x 1
x
x2y
z x 2 y x2y
d z(lx n2 (y)x 1 )d x 2 dy x2y x2y
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第四节 多元复合函数的求导法则
主要内容
一、复合函数的中间变量为一元函数； 二、复合函数的中间变量为多元函数； 三、复合函数的中间变量为特殊情况。
z
u vt
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上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 d zzd uzd vzdw dtudtvdtwdt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
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例1
设z eu2v , u sin x, v e x 求
dz dx
解:
z u
eu2v
du cos x dx
e x y y sx i n y cx o y s
z y
z u
u y
z v
v y
e u sv ix n e u cv o 1s
eu(xs ivncov)s
e x x y sx i n y cx o y s
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例5 设 zf(u,v) 可微，求 zf(xy,x)y 的偏导数。
vte u sit n co t s
e tcto e tsti n ctos
et(cto ssit)n co t. s
z 是 u ,v ,t的函 d z zd 数 u zd ， v zdt dt u dt vdt tdt
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二、中间变量为多元函数-----链式法则
上定理还可推广到中间变量不是一元函数而
设 u ( x , y ) 、v ( x , y ) 、w w ( x , y ) 都 在 点 ( x , y ) 具 有 对 x
y 的 偏 导 数 ， z f (u,v,w ) 在 对 应 点 (u,v,w ) 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则
合 函 数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w ( x , y )] 在 对 应 点 ( x , y ) 的 两 个 偏
个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
链式法则如图示
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u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
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类似地再推广：
z 2eu2v
v
z
dv e x
dx
u
x
v
d dx z u zd du x vzd dx veu2v(cox s2ex)
es ixn2ex(co xs2ex)
例2 求 d xsinx ( x 0) dx
这CH是8多幂元指函数函微分学 数的求导
可利用对数求导,可不可以用链式法则?
解 令 ux,vsixn ,zuv