高数多元函数微分学

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高数多元函数微分学-偏导数

但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
13
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
如图
14
几何意义:
偏导数 f x ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0
x 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0Tx 对轴的
当( x , y ) (0,0)时,
( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0)
求 f ( x , y )的二阶混合偏导数 .
解
3 x 2 y( x 2 y 2 ) 2 x x 3 y 3 x2 y 2 x4 y f x ( x, y) 2 2 2 2 2 2 2 2, (x y ) x y (x y ) x3 2 x3 y2 f y ( x, y) 2 2 2 2 2, x y (x y )
( y | y |)
2
| y| 2 . 2 x y
7
z y
1 x 1 2 x y2
2
x x2 y2 yห้องสมุดไป่ตู้

x2 y2 ( xy ) 2 2 3 | y| (x y )
( y 0)
x 1 2 sgn 2 x y y
z 2 z z 2 z f xy ( x , y ), f yx ( x , y ) y x xy x y yx
纯偏导
混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
16
例6
设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1 ，

高数课件21多元函数微分学

设两点为 P( x1, x2,, xn ), Q( y1, y2,, yn ),
| PQ | ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间
两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
1
2
重点
多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。
难点
复合函数求导，多元函数极值。
函数的微分法从一元函数发展到二元函数本质
上要出现一些新东西，但从二元函数到二元以上
函数则可以类推，
因此这里基
本上只讨论二元函数。
一、多元函数的概念
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点，是某一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的邻域，记为U ( P0 , ) ，
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4x ；
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
( x, y) x 0, x y x；
8、 ( x, y) y 2 2x 0 .
3 x2 y2 1 2 x2 y2 4
x y2 0
x
y2
f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) x y2
例1 求解所求定义域为
的定义域．
设函数z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意取定的P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z)，当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称

高数红宝书——第五章多元函数微分学

一般地，存在下列关系：
如 ②全导（只有多空间曲线才存在全导）
而归结为一元函数求导，符合下列叠加原理：，称为全导。
陈氏第8技关于显隐式求偏导和等效表达式的结论。
● 如果（表达式，表达式，表达式），如，则用符号1， 2，3 分别代表对第1、第2、第3项求偏导，如。注意而。
● 一般情况下。因为为隐式求偏导，表示把复合函数中的当成不变量，对的偏导，而为显式求偏导表示把复合函数中的和都当成不变量，对的偏导。例如：
【例30】求函数在条件下的极值解：先计算在条件的极值即可使用拉氏乘数法则
或当λ=1时不适题意，故λ≠1 代入方程组可得及又
故分别为的极小值点的极小值点为：【例31】求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭域D上的最大值与最小值。
解：① 在D内只有驻点(2，1)
②求在D的边界上的最值在边界和上在边界上，代入
驻点有三类：第一类：第二类：第三类：边界上的最值综合上述结果，可得
评注由于积分是个区域，故需要讨论被积函数的无条件极值和有条件极值；如果题中所给积分曲线或曲面积分，则只需讨论有条件极值。【例34】求证：，其中：。证明：等效于求函数的最大值与最小值。先求开区域上的极值，再求边界上的极值，一起比较得出最大值与最小值。【例35】求坐标原点到曲线的最短距离。
正定
负定
不定时
形象记忆法：无根取极值，负负得正。 ④条件极值：对自变量有附加条件（一般以方程的形式给出）的极值。利用拉格朗日乘数法求解一般根据实际问题来判断求得的点是否为极值点以及是极大值还是极小值。 ⑤最值求法：比较区域内驻点的极值和边界曲线上的最大值与最小
值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

高数多元函数微分学教案第五讲隐函数的求导公式

第五讲隐函数的求导公式授课题目：§8.4 隐函数的求导公式教学目的与要求：会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

教学重点与难点：重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。

难点：求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

讲授内容：一、一个方程的情形隐函数存在定理1 设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. （2）公式（2）的推导：将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F 【x , f (x )】≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -= 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=，00==x dx dy ; 332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 1022-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数，一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂ （4）公式（4）的推导：将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F 【x , y , f (x , y )】≡0, 将它的两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设函数由方程3.=+-xy z e z 所确定, 求22x z ∂∂．解设F (x , y , z )= 3.-+-xy z e z , 则F x =y , F z =1-z e , zz z x e y e y F F x z -=--=-=∂∂11,3222222)1()1(1)1()(z z z z z z e e y e e y ye e x z e y x z -=--⋅=-∂∂--=∂∂ 二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 22y x x v +=．一般地，方程组 ⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F （5）如何根据原方程组求u , v 对x 和,y 的偏导数？介绍二阶行列式、简要介绍解线性方程的克莱姆法则。

专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件

第七节二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。（3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节多元函数、极限和连续第二节偏导数与全微分第三节二元函数的极值第四节二重积分的概念和性质第五节直角坐标系下二重积分的计算第六节极坐标系下二重积分的计算
可以证明，一元函数关于极限的运算法则仍适用于多元函数，即多元连续函数的和、差、积为连续函数，在分母不为零处，连续函数的商也是连续函数，多元函数的复合函数也是连续函数 .由此还可得出如下结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一）偏导数
1. 偏导数的定义
定义设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限

高数多元函数微分学教案第一讲多元函数的基本概念

第八章多元函数微分法及其应用第一讲多元函数的基本概念授课题目：§8.1多元函数的基本概念教学目的与要求：1、理解多元函数的概念．2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质．教学重点与难点：重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念．讲授内容：一、平面点集 n 维空间1、平面点集平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即R 2=R ⨯R={(x , y )：x , y ∈R }坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }.例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )：x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成C ={P ：|OP |<r }.回顾数轴上点的邻域。

邻域：设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体，称为点P 0的δ邻域，记为U (P 0, δ)，即}||{),(00δδ<=PP P P U ：或 })()(),{(),(20200 y y x x y x P U δδ<-+-=：. 点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U ，即 }||0{),(00δδ<<=P P P P U ：.如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U．.点与点集之间的关系：任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种：（1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点．（2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点．（3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点．E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E ．E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ．（4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点．由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ．例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.，则满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点；满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点；它们都不属于E ；满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点；它们都属于E ；点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点．开集：如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集．闭集：如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是开集；E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是闭集；集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集．连通性：如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集．区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是区域．闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域．例如，E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}．有界集：对于平面点集E , 如果存在某一正数r ，使得E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集．无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集．例如，集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域；集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域；集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.．2．n 维空间设n 为取定的一个自然数，我们用表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合记为R n ，即R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )：x i ∈R ，i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间．R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与点y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )之间的距离，记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ．R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中，通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x ．采用这一记号，结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x ．二、多元函数概念回顾一元函数的概念。

高数下多元微分学复习

。
解：
z x
2xy
1 y2
，
2z xy
2x2
2 y3
。
7．已知 z ln ex ey ，求 z 和 2 z 。 x xy
解：
z x
ex ex ey
，
2z xy
exey ex ey
。
2
8．设 z exy yx2 ，则 zx 1,2 [ C ]。
(A) e 4 ； (B) e2 4 ；(C) 2e2 4 ；(D) 2e 4 。
9．已知
f
x,
y
cos x cos x
y y
，求
fy
,
4
。
解：
f
,
y
cos y cos y
1，故
fy
,
4
0。
10．已知 f x, y, z ex2 y2 z2 ，求 fyy 5,1, 0 。解： f 5, y,0 e25y2 ， f y 5, y,0 2 ye25 y2 ，
f yy 5, y, 0 2 4 y2 e25y2 ， fyy 5,1,0 6e26 。
11．试证函数 z y arcsin x 满足 x z y z 0 。
x
y
x y
解：
z x
y x2
arcsin
x y
y x
1 1
1 x y2 y
y x2
arcsin
x y
x
y； y2 x2
2 x2 y2 z2
x2 y2 z2
15．若 z f x, y 在点 x0, y0 处有连续一阶偏导数，
则 f x, y 在 x0, y0 处 [ B ]。
(A)不一定可微；

完整版高数一知识点

完整版高数一知识点一、导数与微分高等数学中，导数是一种表示函数变化率的工具。

它是研究函数在某一点上的局部性质和变化趋势的基本概念。

导数可以通过极限的概念进行定义，表示函数在某一点上的瞬时变化率。

导函数的计算方法包括：1. 基本函数的导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

2. 四则运算法则：求导的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。

3. 复合函数的求导：使用链式法则求解复合函数的导数。

微分是导数的应用之一，用于研究函数的近似变化。

微分的计算方法包括：1. 微分的定义：微分可以通过导数来进行计算，表示函数在某一点上的变化量。

2. 微分的近似计算：使用微分近似计算可以帮助我们在没有具体数值的情况下估计函数的变化。

二、不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。

不定积分可以表示函数的面积、函数的平均值等。

计算不定积分的方法包括：1. 基本积分公式：根据一些基本函数的导数公式，可以得到相应的不定积分公式。

2. 积分的线性性质：积分具有线性性质，即函数的线性组合的积分等于各组成函数的积分之和。

3. 特殊函数的积分：对于一些特殊的函数，可以通过一些特殊的方法进行积分。

定积分是求解函数在某一区间上的面积的过程，也被称为积分。

定积分可以表示弧长、质量、体积等物理量。

计算定积分的方法包括：1. 定积分的定义：定积分可以通过分割区间，计算分割点上函数值与区间长度的乘积之和来进行计算。

2. 积分的性质：定积分具有一些性质，例如积分的线性性质、积分的区间可加性等。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式给出了定积分与不定积分之间的关系。

三、常微分方程常微分方程是研究函数的导数与自变量之间关系的方程。

它是高等数学中一个重要的分支，应用广泛。

常微分方程的求解方法包括：1. 可分离变量法：对于可分离变量的常微分方程，可以通过分离变量并积分的方法进行求解。

大学高数第八章多元函数微分学习题解课后参考答案及知识总结

第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。

思路：应用有理化方法去根号。

高数多元函数微分学教案第三讲全微分

第三讲全微分授课题目：§8.3 全微分教学目的与要求：1、深刻理解全微分的概念．2、了解全微分存在的必要条件和充分条件．教学重点与难点：重点：全微分的概念难点：函数可微分的条件的证明．讲授内容：一、全微分的定义回顾一元函数的微分的概念．根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )称为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 称为函数对x 的偏微分;f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )称为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 称为函数对y 的偏微分.全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之.定义如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分.可微与连续的关系：可微必连续．这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ),于是 0lim 0=∆→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ. 因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.函数可微分的条件：定理1(必要条件) 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂= 证设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分，于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限，就得A xx o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00 从而偏导数x z ∂∂存在, 且A xz =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B yz =∂∂，所以 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、y z ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如, 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0，所以])0,0()0,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆＝,)()(22y x yx ∆+∆∆⋅∆这是因为当点P '(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x . 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小．所以但函数在点(0, 0)处全微分不存在．定理2(充分条件) 如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分.定理２证明对一般学生比较难，可只讲一下证明思路。

高数二多元函数微分学课件

条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中，得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后，利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向，全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数

高数多元函数微分学-多元函数的极值

必有 f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
y y2
1
0
y
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.
15
三、条件极值拉格朗日乘数法
实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
Gx0
x02 a2
0,
y02 b2
Gy0
y02 c2
0, 1
Gz0 0
0
,
22
1
x0
2x0
a2
0
即
1 y0
2y0
b2
0
可得
13
例3
求z
x2
x y y2
的最大值和最小值.
1
解
由
( x2 y2 1) 2x( x y)

高数

第五章多元函数微分法及其应用1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。

反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。

例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。

性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。

这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。

4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。

6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。

《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学

高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个多元函数在某一点的偏导数等于零，并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当其他变量保持不变时，函数关于某个特定变量的一阶导数存在，则称这个导数为该函数在该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴方向的切线斜率。

考研数学高数8多元函数微分学

第八讲：多元函数的微分学多元函数概念定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.多元函数的极限定义2 若A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)), 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限,上述定义的极限也称为二重极限.例：设22221sin)(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(2222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,00lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f .当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.例：求x xy y x )sin(lim )2,0(),(→. 解: y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim →→⋅==1⨯2=2.偏导数偏导数的定义及其计算对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.定义设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00y y x x xz ==, 或),(00y x f x .例如xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000.类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记作y y x x y z ==∂∂, 00y y x x y f ==∂∂,0y y x x yz ==, 或f y (x 0, y 0).偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂, xf ∂∂, x z , 或),(y x f x.偏导函数的定义式: x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.求x f ∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求yf ∂∂时, 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数.偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim ),,(0,例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解y x xz 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z,7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz .例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数.解y x xz 2sin 2=∂∂, y x y z 2cos 22=∂∂.例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: zyz x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证1-=∂∂y yx xz , x x y z y ln =∂∂.zx x x x xyx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-.例4 求222z y x r ++=的偏导数. 解 r x z y x x x r =++=∂∂222; ry z y x y y r =++=∂∂222.二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率. f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示:0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ; 0)]0 ,([)0 ,0(==x f dxd f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f y.当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有00lim )0 ,(lim ),(lim)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有20 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.高阶偏导数设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x=∂∂, ),(y x f y z y =∂∂,那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx =∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f y x z x z y xy=∂∂∂=∂∂∂∂,),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂.其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f xy z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数. 22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂, y x z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)(,x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, 22)(y z y z y ∂∂=∂∂∂∂.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33xz ∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2.解y y y x xz --=∂∂32233, x xy y x y z --=∂∂2392;2226xy x z =∂∂, 2336y x z =∂∂;196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x xy z .由例6观察到的问题:yx z x y z ∂∂∂=∂∂∂22 定理：如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂yz x z . 证因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以y x x x z +=∂∂, 22y x y y z +=∂∂, 222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂,222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z . 例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u , 其中222z y x r ++=.证:32211r x r x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂,52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂.同理 5232231ry r y u +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂. 因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂033)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r . 提示: 233323)()(rx r r x r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂.全微分根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ) 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ), 于是 0lim 0=∆→z ρ,从而),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=.例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时, ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x yx .定理2(充分条件) 如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分.例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分. 解因为xy xz 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂,所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分. 解因为xy ye xz =∂∂, xy xe y z =∂∂,212e x z y x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==, 所以 dz =e 2dx +2e 2dy . 例3 计算函数yze y x u ++=2sin 的全微分. 解因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂,所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(.多元复合函数的求导法则设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dtdz ？设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求x z ∂∂和yz ∂∂？1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有 dt dt du du =, dt dtdv dv =, 代入上式得dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dtdw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=. 上述dtdz 称为全导数.2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yw w z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？提示:x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.(2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？提示:x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, yf y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂.这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, x z ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数, xf ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有 x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和yz ∂∂. 解xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1 =e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1 =e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]. 例2 设222),,(z y x e z y x f u ++==, 而y x z sin 2=. 求x u ∂∂和yu ∂∂. 解xzz f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze xe z y xz y xsin 222222222⋅+=++++yx y x e y x x 2422sin 22)sin 21(2++++=.yz z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze ye z y xz y xcos 222222222⋅+=++++y x y xe y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dtdz . 解tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= =v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t =e t cos t -e t sin t +cos t =e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求x w ∂∂及zx w ∂∂∂2. 解令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ).引入记号: u v u f f ∂∂='),(1, vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, zf yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注:1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zv v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂. 例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(y u x u ∂∂+∂∂; (2)2222yu x u ∂∂+∂∂.解由直角坐标与极坐标间的关系式得 u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ), 其中x =ρcos θ, y =ρsin θ,22y x +=ρ, xyarctan=θ. 应用复合函数求导法则, 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=,y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u .两式平方后相加, 得 22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u .再求二阶偏导数, 得xx u x x u x u ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u uρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u .同理可得2222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y uρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u .两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dyyz dx x z dz ∂∂+∂∂=dyyv v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dv vz du u z ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分. 解 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .隐函数的求偏导一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy-=.例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dyy x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(yy x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,1022-==x dx yd . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有 z x F F x z -=∂∂, zy F F y z -=∂∂.例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22xz∂∂.解设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,zx z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂.多元函数微分学的几何应用（数一数二）一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) 这里假定ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )都在[α, β]上可导.在曲线Γ上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0, y 0, z 0)及对应于t =t 0+∆t 的邻近一点M (x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ). 作曲线的割线MM 0, 其方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000, 当点M 沿着Γ趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线. 考虑t z z z ty y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000, 当M →M 0, 即∆t →0时, 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-. 曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)) 就是曲线Γ在点M 0处的一个切向量.法平面: 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M 0 处的法平面, 其法平面方程为ϕ'(t 0)(x -x 0)+ψ'(t 0)(y -y 0)+ω'(t 0)(z -z 0)=0.例1 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解因为x t '=1, y t '=2t , z t '=3t 2, 而点(1, 1, 1)所对应的参数t =1, 所以 T =(1, 2, 3). 于是, 切线方程为 312111-=-=-z y x ,法平面方程为(x -1)+2(y -1)+3(z -1)=0, 即x +2y +3z =6.讨论:1. 若曲线Γ的方程为 y =ϕ(x ), z =ψ(x ). 问其切线和法平面方程是什么形式?提示: 曲线方程可看作参数方程: x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 切向量为T =(1, ϕ'(x ), ψ'(x )). 2. 若曲线Γ的方程为F (x , y , z )=0,G (x , y , z )=0. 问其切线和法平面方程又是什么形式?提示: 两方程确定了两个隐函数: y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 曲线的参数方程为 x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz.切向量为) ,,1(dxdz dx dy =T . 例2 求曲线x 2+y 2+z 2=6, x +y +z =0在点(1, -2, 1)处的切线及法平面方程. 解为求切向量, 将所给方程的两边对x 求导数, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x , 解方程组得z y x z dx dy --=, zy y x dx dz --=. 在点(1, -2, 1)处,0=dx dy, 1-=dxdz . 从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为 110211--=+=-z y x ,法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0. 解为求切向量, 将所给方程的两边对x 求导数, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x . 方程组在点(1, -2, 1)处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dxdz dx dy dx dz dx dy ,解方程组得0=dx dy, 1-=dxdz . 从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为 110211--=+=-z y x ,法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0.二. 曲面的切平面与法线设曲面∑的方程为 F (x , y , z )=0,M 0(x 0, y 0, z 0)是曲面∑上的一点, 并设函数F (x , y , z )的偏导数在该点连续且不同时为零. 在曲面∑上, 通过点M 0任意引一条曲线Γ, 假定曲线Γ的参数方程式为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) ,t =t 0对应于点M 0(x 0, y 0, z 0), 且ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)不全为零. 曲线在点的切向量为 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)). 考虑曲面方程F (x , y , z )=0两端在t =t 0的全导数:F x (x 0, y 0, z 0)ϕ'(t 0)+F y (x 0, y 0, z 0)ψ'(t 0)+F z (x 0, y 0, z 0)ω'(t 0)=0. 引入向量n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)),易见T 与n 是垂直的. 因为曲线Γ是曲面∑上通过点M 0的任意一条曲线, 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直, 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上. 这个平面称为曲面∑在点M 0的切平面. 这切平面的方程式是F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0)+F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0)+F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0)=0.曲面的法线: 通过点M 0(x 0, y 0, z 0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-. 曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量 n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)) 就是曲面∑在点M 0处的一个法向量.例3 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式. 解 F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-14, F x =2x , F y =2y , F z =2z ,F x (1, 2, 3)=2, F y (1, 2, 3)=4, F z (1, 2, 3)=6. 法向量为n =(2, 4, 6), 或n =(1, 2, 3). 所求切平面方程为2(x -1)+4(y -2)+6(z -3)=0, 即x +2y +3z -14=0. 法线方程为332211-=-=-z y x .讨论: 若曲面方程为z =f (x , y ) , 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式? 提示: 此时F (x , y , z )=f (x , y )-z . n =(f x (x 0, y 0), f y (x 0, y 0), -1) 例4 求旋转抛物面z =x 2+y 2-1在点(2, 1, 4)处的切平面及法线方程. 解 f (x , y )=x 2+y 2-1,n =(f x , f y , -1)=(2x , 2y , -1), n |(2, 1, 4)=(4, 2, -1). 所以在点(2, 1, 4)处的切平面方程为4(x -2)+2(y -1)-(z -4)=0, 即4x +2y -z -6=0. 法线方程为 142142--=-=-z y x .方向导数与梯度（数一数二）一、方向导数定理如果函数z =f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有),(00y x lf∂∂βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=,其中cos α, cos β是方向l 的方向余弦.例1 求函数z =xe 2y 在点P (1, 0)沿从点P (1, 0)到点Q (2, -1)的方向的方向导数. 解这里方向l 即向量→)1 ,1(-=PQ 的方向, 与l 同向的单位向量为)21 ,21(-=l e .因为函数可微分, 且1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz, 22)0,1(2)0,1(==∂∂yxe yz ,所以所求方向导数为22)21(2211)0,1(-=-⋅+⋅=∂∂l z .对于三元函数f (x , y , z )来说, 它在空间一点P 0(x 0, y 0, z 0)沿e l =(cos α , cos β , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂tz y x f t z t y t x f t ),,()cos ,cos ,cos (lim 0000000-+++=+→γβα.如果函数f (x , y , z )在点(x 0, y 0, z 0)可微分, 则函数在该点沿着方向e l =(cos α , cos β , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂=f x (x 0, y 0, z 0)cos α+f y (x 0, y 0, z 0)cos β+f z (x 0, y 0, z 0)cos γ.例2求f (x , y , z )=xy +yz +zx 在点(1, 1, 2)沿方向l 的方向导数, 其中l 的方向角分别为60︒, 45︒, 60︒.解与l 同向的单位向量为e l =(cos60︒, cos 45︒, cos60︒))21 ,22 ,21(=. 因为函数可微分, 且f x (1, 1, 2)=(y +z )|(1, 1, 2)=3, f y (1, 1, 2)=(x +z )|(1, 1, 2)=3, f z (1, 1, 2)=(y +x )|(1, 1, 2)=2, 所以 )235(21212223213)2,1,1(+=⋅+⋅+⋅=∂∂lf .二. 梯度设函数z =f (x , y )在平面区域D 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0)∈D , 都可确定一个向量f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j ,这向量称为函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)的梯度, 记作grad f (x 0, y 0), 即 grad f (x 0, y 0)= f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j . 梯度与方向导数:如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, e l =(cos α , cos β )是与方向l 同方向的单位向量, 则),(00y x lf∂∂βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=,= grad f (x 0, y 0)⋅e l=| grad f (x 0, y 0)|⋅cos(grad f (x 0, y 0),^ e l ).这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系. 特别, 当向量e l 与grad f (x 0, y 0)的夹角θ=0, 即沿梯度方向时, 方向导数),(00y x lf ∂∂取得最大值, 这个最大值就是梯度的模|grad f (x 0, y 0)|. 这就是说: 函数在一点的梯度是个向量, 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向, 它的模就等于方向导数的最大值. 讨论:lf∂∂的最大值; 结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.我们知道, 一般说来二元函数z =f (x , y )在几何上表示一个曲面, 这曲面被平面z =c (c 是常数)所截得的曲线L 的方程为 ⎩⎨⎧==cz y x f z ),(. 这条曲线L 在xOy 面上的投影是一条平面曲线L *, 它在xOy 平面上的方程为 f (x , y )=c .对于曲线L *上的一切点, 已给函数的函数值都是c , 所以我们称平面曲线L *为函数z =f (x , y )的等值线.若f x , f y 不同时为零, 则等值线f (x , y )=c 上任一点P 0(x 0, y 0)处的一个单位法向量为 )),(),,((),(),(10000002002y x f y x f y x f y x f y x y x +=n .这表明梯度grad f (x 0, y 0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同, 而沿这个方向的方向导数nf∂∂就等于|grad f (x 0, y 0)|, 于是 n nfy x f ∂∂=),(00grad .这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系. 这说是说: 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同, 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线, 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.梯度概念可以推广到三元函数的情形. 设函数f (x , y , z )在空间区域G 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0, z 0)∈G , 都可定出一个向量 f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k ,这向量称为函数f (x , y , z )在点P 0(x 0, y 0, z 0)的梯度, 记为grad f (x 0, y 0, z 0), 即 grad f (x 0, y 0, z 0)=f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k .例3 求221y x +grad . 解这里221),(y x y x f +=.因为222)(2y x x x f +-=∂∂, 222)(2y x y y f +-=∂∂, 所以 221y x +grad j i 222222)(2)(2y x y y x x +-+-=.例4 设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求grad f (1, -1, 2). 解 grad f =(f x , f y , f z )=(2x , 2y , 2z ), 于是 grad f (1, -1, 2)=(2, -2, 4).多元函数的极值及其求法无条件极值定理1(必要条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)具有偏导数, 且在点(x 0, y 0)处有极值, 则有f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0.定理2(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下:(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值; (2) AC -B 2<0时没有极值;(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值.在函数f (x , y )的驻点处如果 f xx ⋅ f yy -f xy 2>0, 则函数具有极值, 且当f xx <0时有极大值, 当f xx >0时有极小值.极值的求法: 第一步解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0,求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C .第三步定出AC -B 2的符号, 按定理2的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值还是极小值.例：求函数f (x , y )=x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值.解解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f y x , 求得x =1, -3; y =0, 2. 于是得驻点为(1, 0)、(1, 2)、(-3, 0)、(-3, 2). 再求出二阶偏导数f xx (x , y )=6x +6, f xy (x , y )=0, f yy (x , y )=-6y +6.在点(1, 0)处, AC -B 2=12⋅6>0, 又A >0, 所以函数在(1, 0)处有极小值f (1, 0)=-5; 在点(1, 2)处, AC -B 2=12⋅(-6)<0, 所以f (1, 2)不是极值; 在点(-3, 0)处, AC -B 2=-12⋅6<0, 所以f (-3, 0)不是极值;在点(-3, 2)处, AC -B 2=-12⋅(-6)>0, 又A <0, 所以函数的(-3, 2)处有极大值f (-3, 2)=31. 应注意的问题:不是驻点也可能是极值点,例如,函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值, 但(0, 0)不是函数的驻点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑.例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解设水箱的长为x m , 宽为y m , 则其高应为xy8m . 此水箱所用材料的面积为 )0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yx xy xy x xy y xy A . 令0)8(22=-=x y A x , 0)8(22=-=y x A y , 得x =2, y =2. 根据题意可知, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域D ={(x , y )|x >0, y >0}内取得. 因为函数A 在D 内只有一个驻点, 所以此驻点一定是A 的最小值点, 即当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 水箱所用的材料最省.因此A 在D 内的唯一驻点(2, 2)处取得最小值,即长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 所用材料最省.条件极值拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 例如, 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则体积V =xyz . 又因假定表面积为a 2, 所以自变量x , y , z 还必须满足附加条件2(xy +yz +xz )=a 2.这个问题就是求函数V =xyz 在条件2(xy +yz +xz )=a 2下的最大值问题, 这是一个条件极值问题.对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题.例如上述问题,由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xy a z +-=, 于是得 V ))(2(22y x xy a xy +-=. 只需求V 的无条件极值问题.在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易. 需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.现在我们来寻求函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下取得极值的必要条件.如果函数z =f (x , y )在(x 0, y 0)取得所求的极值, 那么有ϕ(x 0, y 0)=0.假定在(x 0, y 0)的某一邻域内f (x , y )与ϕ(x , y )均有连续的一阶偏导数, 而ϕy (x 0, y 0)≠0. 由隐函数存在定理, 由方程ϕ(x , y )=0确定一个连续且具有连续导数的函数y =ψ(x ), 将其代入目标函数z =f (x , y ), 得一元函数z =f [x , ψ(x )].于是x =x 0是一元函数z =f [x , ψ(x )]的极值点, 由取得极值的必要条件, 有0),(),(000000=+===x x y x x x dx dyy x f y x f dx dz,即 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ. 从而函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下在(x 0, y 0)取得极值的必要条件是0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ与ϕ(x 0, y 0)=0同时成立. 设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 上述必要条件变为 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ.拉格朗日乘数法: 要找函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F (x , y )=f (x , y )+λϕ(x , y ) ,其中λ为某一常数. 然后解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(0),(),(),(0),(),(),(y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ.由这方程组解出x , y 及λ, 则其中(x , y )就是所要求的可能的极值点.这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.至于如何确定所求的点是否是极值点, 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.例7 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积.解设长方体的三棱的长为x , y , z , 则问题就是在条件2(xy +yz +xz )=a 2下求函数V =xyz 的最大值.构成辅助函数F (x , y , z )=xyz +λ(2xy +2yz +2xz -a 2),解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(axz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z y x λλλ, 得a z y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 因为由问题本身可知最大值一定存在, 所以最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。

高数下第4讲：多元函数微分法(2)

=++z y x 6222=++z y x 1=x 221y x z ++=高数下第4讲：多元函数微分法(2)1.曲线的切线和法平面1.1 y 和z 都是x 的函数求曲线.1 处的切线和法平面方程在点)1,2-,1(P求曲线.2 轴正向的夹角处的切线与在点y )3,1,1(1.2 x,y,z 均用参数表达012,,.332=-++===z y x t z t y t x 切线平行于平面上求一点，使该点处的在曲线2.曲面的切平面和法线积是一个常数坐标面围成的四面体体上任一点的切平面与三求证：曲面3.4a xyz =aa a z y x 等于各坐标轴上截距之和上任何点处的切平面在求证：曲面)0(.5>=++12113262132.6222--=-=-=++z y x M z y x S 直线：过的方程，使平面处的切平面上某一点：求椭球面ππ面的夹角的余弦处的切平面与在点求椭球面xoy z y x )3,2,1(163.7222--=++λλ相切，求和椭球面平面16301633.8222=++=+-+z y x z y x0,022=+y x 0,2222≠++y x y x xy3.方向导数和梯度3.1 方向导数定义：=),(.9y x f 的方向导数方向处沿在点求l y x f +=)0,0(),(3.2 方向导数公式（注意必须在该点可微）：)0,(1)2,2(.102222>=+=b a b y a x b a P xy z 方向导数在此点的内法线方向的处沿曲线在点求函数3.3 梯度：及梯度数处外法线方向的方向导在点沿球面求函数),,(1.110000222z y x M z y x z y x u =++++=4.最值和极值4.1 极值存在的充分条件：C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x =====),(,),(,),(,0),(,0),(0000000000，函数在该点取极大值；，函数在该点取极小值0,00,022<<-><-A AC B A AC B ，函数在该点不取极值02>-AC B）的极值，（求2020)cos(cos sin .12ππ≤≤≤≤-++=y x y x y x z的极值所确定的隐函数求由方程),(10422.13222y x z z z y x z y x ==-+-++4.2 极值存在的必要条件：=-+++=a y xy ax x y x f 处取得极值，则在点函数)1,1(22),(.14225.拉格朗日乘数法上的最大值和最小值在有界闭区域求函数122),(.152222≤+-++=y x x xy y x y x f2222=-+z y x 53=++z y x ：已知曲线C .16 点平面最远的点和最近的上距离求xoy C和最短距离到这个椭圆的最长截成一个椭圆，求原点被平面抛物面1.1722=+++=z y x y x z之间的最短距离与椭圆求直线144.1822=+=+y x y x方体的球且有最大体积的长求内接于半径为a .19=++C By Ax 12222=+b y a x 的极值满足求函数)0,0,0(1)1)(1)(1(.20>>>=---=z y x z y x xyz u积最小如何选择尺寸使其表面的长方体无盖水池，应要建造一个容积为4.21附：求椭圆的面积。

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第六章多元函数微分学综述：本章是对⼀元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推⼴，主要考点是围绕偏导数的⼀系列计算，由于多元函数微分学计算的复杂性要⼤于⼀元函数，考试在微分学中的⼤题⼀般都出在本章.在考试中，每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在12分左右.本章的主要知识点有：⼆重极限的定义及其简单的性质，⼆元函数的连续、偏导数和可微，多元函数偏导数的计算，⽅向导数与梯度，多元函数的极值，曲线的切线与法平⾯，曲⾯的切平⾯与法线.其中学习的难点是⼆重极限、⼆元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这⼀部分考查的频率不⾼，且以⼩题为主，考⽣在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义，并与⼀元函数的相关概念进⾏⽐较.本章考查的重点在偏导数的计算及其应⽤上：⾸先，偏导数的计算与⼀元函数的求导并⽆本质区别，考⽣只需将⼀元函数求导的相关知识进⾏推⼴，就可以得到偏导数相应的计算公式；在全⾯掌握了偏导数的计算⽅法之后，考⽣还需要掌握偏导数的各种应⽤，包括多元函数的极值（⽆条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平⾯、曲⾯的切平⾯与法线，对于它们，考⽣只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可.本章常考的题型有：1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查；2.偏导数的计算；3.⽅向导数与梯度；4.极值，5.空间曲线的切线与法平⾯，6.空间曲⾯的切平⾯与法线.常考题型⼀：连续、偏导数与全微分1．【1994-1 3分】⼆元函数(,)f x y 在点()00,x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在是(,)f x y 在该点连续的（）()A 充分条件⽽⾮必要条件()B 必要条件⽽⾮充分条件 ()C 充分必要条件()D 既⾮充分条件⼜⾮必要条件2．【1997-1 3分】⼆元函数22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ?≠ += =?，，，在点(0,0)处（）()A 连续，偏导数存在 ()B 连续，偏导数不存在()C 不连续，偏导数存在()D 不连续，偏导数不存在3．【2002-1 3分】考虑⼆元函数(,)f x y 的下⾯4条性质，正确的是（）①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在()A ②?③?①()B ③?②?①()C ③?④?①()D ③?①?④4．【2003-3 4分】设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极⼩值，则下列结论正确的是()A ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. ()B ),(0y x f 在0y y =处的导数⼤于零. ()C ),(0y x f 在0y y =处的导数⼩于零. ()D ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.5．【2007-1 4分】⼆元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的⼀个充分条件是（）()A ()[](,)0,0lim (,)(0,0)0x y f x y f →-=.()B 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.()C ((,)0,0lim0x y →=.()D 00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→''''-=-=且. 6．【2008-3 4分】已知(,)f x y =()A (0,0)x f '，(0,0)y f '都存在()B (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 ()C (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在()D (0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在7．【2012-1 4分】如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 8．【2012-2 4分】设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都有(,)0f x y x ?>?，(,)0f x y y ?则使得1122(,)(,)f x y f x y <成⽴的⼀个充分条件是(A) 1212,x x y y ><(B)1212,x x y y >> (C)1212,x x y y <<(D)1212,x x y y <>9.【2012-3 4分】连续函数(,)z f x y =满⾜010x y →→=，则(0,1)dz=________。