插板法解决组合问题.

插板法解决组合问题

基本概念

基本公式

排列公式：

组合公式：

解决排列组合问题，首先我们要明白此题是分步还是分类来解决，分步用乘法，分类用加法，另外还需掌握排列是有顺序的，组合是没有顺序的，比如四个人站成一排，请问有多少种排列方法？

这是一道非常简单的排列组合题，首先要明白，四个人站成一排，比如让这四个人分别编号为1、2、3、4，位置同样也编号，1这个人站在1号位置和2站在1号位置，排列的方法是不一样的，因此他们之间是有顺序的，

即这是一道排列题，即是四个人全排列，答案为。P44 =4

下面我们来看几道比较典型的题目：

例1、参加会议的人两两都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有（）人。

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

解析：解答这道题之前，首先要明白这是一道排列还是组合的题目，参加会议的人两两握手，比如说我和你握手，和你和我握手，这是算一次还是两次。很显然，不管是我和你握手还是你和我握手，都只是我们两在握手，

这算一次，没有顺序，因此这是一道组合题，设到会的总共有n个人，从n个人中挑出2个人来握手，即=36，

所以n=9,即到会的有9人。

例2、某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（）

A. 7

B. 9

C. 10

D. 12

解析：这是2010年的国考题，首先我们考虑，要想每个部门至少发9份，有几种发法呢？

（1）10 10 10 （2）9 10 11 （3）9 9 12 ········

很显然，这是个分类的问题，用加法原理来解决，首先我们来看第一种情况，每个部门都分10本，那就只有一种选择，就是每个部分给10本；第二种情况，即一个部分给9本，另一个部门给10本，第三个部门给11本，即从三个部门中挑出一个部分给9本，再从剩下的两个部门中挑出一个部门给10本，那剩余的一个部门只能得

11本，这样共有=6种；第三种情况，即挑出三个部门中的其中一个给12本，那另外两个就只能每个部门

9本，所以=3种，那这三种情况加起来即是1++=10种。

这是一道典型的排列组合问题，题目中给的条件是至少每个部门给9份，出现了“至少”两字，那么我们可以用“插板法”来解决这类问题，首先举个简单的例子来介绍什么是“插板法”。

例3、有6个相同的苹果，分给3个小朋友，每个小朋友至少分一个，问有多少种分配方法？

解析：6个苹果是相同的，要求分给3个小朋友，而且每个小朋友至少分得一个，那我们就运用插板法来解决，6个苹果中间含有5个空，在5个空中挑出两个空来，插入两个板子，即把这6个苹果分成了3部分，让这

三个小朋友分别对应这三部分即可保证每个小朋友至少分一个的情况，即=10。

注意：有的同学会有这样的疑问，为什么是而不能是的情况呢？我们来考虑为什么错了，首先要清楚的意思是从5个空中挑出一个空来插一个板子，然后从剩下的4个空中再挑出一个空来，插另外一道板

子，那我们思考这种情况是否是重复了呢？举个简单的例子，我们第一次先在1号空位插一个板子，然后再在3号空位插第二块板子，这种插法和首先在3号空位插第一个板子，然后在1号空位插第二个板子，苹果被分成的

是相同的三部分，因此这两种是重复情况，应该去掉，即插板法是一道组合题，而非排列题。

这就是插板法的具体应用，如果题目中出现了“至少满足一个”条件的排列组合题，那我们就考虑此题可不可以用插板法来解决。

例4、有6个相同的苹果，分给三个小朋友，问分配的方法有几种？

解析：此题貌似和上题一样，但细读之后就会发现有所差别，这里没有至少得一个的情况，也就是有的小朋友可以没有苹果，有的小朋友可以有6个苹果，那我们如果转换成至少得一个的情况，用插板法来做呢?

我们这样来考虑，如果我先向每个小朋友借一个苹果，那就意味着等会发苹果的时候得先还每人一个苹果，每人借一个苹果后，这就变成了9个苹果，分给3个小朋友，每人至少得一个的情况，这和上题就类似了，9个

苹果中间8个空，从中挑出2个空来插2个板子，即。

那我们再来看2010年的这道国家公务员考试题，

某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？

解析：这是每个部分至少发9份的情况，那能否用插板法，转换成每个部门发一份的情况呢，答案是肯定的。

解法一：题目要求每个部分发9份，也就是说每个部门我先给他们8份，那再发的话，就转换成每个部门至

少得一份的情况，8×3=24，即转化为6本材料分给3个部门，每个部门至少得一份的情况，即=10。

解法二：先每个部门发9份，则剩下3份，向3个部门每人借一份，则变为6份材料发个3个部门每个部门

至少发一份，即=10。

例5：有9颗相同的糖，从明天起，每天至少吃一颗糖，吃完为止，问一共有多少种吃糖的方法？

解析一：首先这道题可以用归纳法来做，9颗糖算起来比较麻烦，所以可以从简单的试一试：

1颗糖：1 1种吃法

2颗糖：1+1，2 2种吃法

3颗糖：1+1+1，1+2，2+1,3 4种吃法

所以猜测吃n颗糖的方式一共有2n-1；那么吃9颗糖应该就是28=256种方式。

【解析二】此题我们也可以转成成用插板法来做，9颗糖可以1天吃完，也可2天吃完，……，也可9天吃完，即变为9颗糖中间有8个空，可以插一道板子，也可插2道板子，……，也可插8道板子，即共有

=256.

因此，熟练掌握插板法的应用，在解决排列组合这类问题时将是一个很好的方法。