克里格插值法

σ ij = Cov(ξ1 , ξ 2 ) = E[(ξ1 − E (ξ1 ) (ξ 2 − E (ξ 2 ) ] ） ）
= E (ξ1ξ 2 ) − E (ξ1 ) E (ξ 2 )
（4）相关系数 ） 协方差是有量纲的量，与随机变量分布的分散程度有关， 协方差是有量纲的量，与随机变量分布的分散程度有关，为 消除分散程度的影响，提出了相关系数这个指标。 消除分散程度的影响，提出了相关系数这个指标。
Cov[ Z ( x ), Z ( x + h)] = E[ Z ( x ) Z ( x + h)] − E[ Z ( x )]E[ Z ( x + h)]
工程数学
wenku.baidu.com
工程数学
五、平稳假设及内蕴假设
在地质统计学研究中是用变异函数表示矿化范围内区域 化变量的空间结构性的， 化变量的空间结构性的，用 1 γ ( x , h) = Var[ Z ( x ) − Z ( x + h)] 2 1 1 2 = E[ Z ( x ) − Z ( x + h)] − { E[ Z ( x )] − E[ Z ( x + h)]}2 2 2 计算变异函数时，必须要有Z(x)，Z(x+h)这一区域化变量的 计算变异函数时，必须要有 ， 这一区域化变量的 若干现实，而在实际工作中（尤其是地质、采矿工作中） 若干现实，而在实际工作中（尤其是地质、采矿工作中）只 有一对这样的现实，即在x,x+h两个点只能测得一对数据（因 两个点只能测得一对数据（ 有一对这样的现实，即在 两个点只能测得一对数据 为不可能恰在同一样点上取得第二个样品），也就是说， ），也就是说 为不可能恰在同一样点上取得第二个样品），也就是说，区 域化变量的取值是唯一的，不能重复。为了克服这个困难， 域化变量的取值是唯一的，不能重复。为了克服这个困难，
P (ξ = xk ) = p k , k = 1, 2, L
E (ξ ) = ∑ xk p k
k =1
工程数学
∞
工程数学
②设连续型随机变量ξ的可能取值区间为(-∞，+∞)， p(x)
为其概率密度函数
E (ξ ) = ∫
（2）方差 ）
+∞
−∞
xp( x)dx
方差是用来刻画随机变量分散性大小的指标。 方差是用来刻画随机变量分散性大小的指标。
工程数学
一、经典概率论与数理统计的理论方法在地质学研 究中的不足
（1）经典概率论及统计学要求每次抽样必须是独立进行的， ）经典概率论及统计学要求每次抽样必须是独立进行的， 即要求样本X(x1,x2,…,xn)中各 相互独立，而地质研究的 中各xi相互独立 即要求样本 中各 相互独立， 许多变量常常在空间上具有一定的相似性； 许多变量常常在空间上具有一定的相似性； （2）经典概率统计学研究的变量，原则上课无限次重复试 ）经典概率统计学研究的变量， 至少可以进行大量观测， 验，至少可以进行大量观测，但地质学所研究的地质变量 是唯一确定的数值； 是唯一确定的数值；
成立时，则该随机函数 成立时，则该随机函数Z(x)为平稳性随机函数。 为平稳性随机函数。 这实际上就是指，无论位移h多大，两个 维向量的随机变量 多大， 这实际上就是指，无论位移 多大 两个k维向量的随机变量
{ Z ( x1 ), Z ( x2 ),L , Z ( xk )} 和 { Z ( x1 + h), Z ( x2 + h),L , Z ( xk + h)}
D(ξ ) = Var (ξ ) = E[ξ − E (ξ )] = E (ξ ) − E (ξ )
2 2
2
工程数学
工程数学
（3）协方差 ） 协方差是用来刻画随机变量之间协同变化程度的指标， 协方差是用来刻画随机变量之间协同变化程度的指标，其 大小反映了随机变量之间的协同变化的密切程度。 大小反映了随机变量之间的协同变化的密切程度。
rij =
Cov(ξi , ξ j ) D(ξi ) D(ξ j )
工程数学
工程数学
四、地质统计学的核心：随机场的变异函数和协方 地质统计学的核心： 差函数
也称变差函数， （1）变异函数也称变差函数，是区域化变量 ）变异函数也称变差函数 是区域化变量Z(x)与Z(x+h)的 与 的 的方差之半 之半， 的方差之半，即 1 γ ( x , h) = Var[ Z ( x ) − Z ( x + h)] 2 1 1 2 = E[ Z ( x ) − Z ( x + h)] − { E[ Z ( x )] − E[ Z ( x + h)]}2 2 2 （2）协方差函数也称随机场的自协方差函数 ）协方差函数也称随机场的自协方差函数
工程数学
二、区域化变量的定义及其属性特征
区域化变量是指以空间点 的三个直角坐标 区域化变量是指以空间点x的三个直角坐标 是指以空间点 的三个直角坐标(x1,x2,x3)为 为 自变量的随机场Z(x)=Z(x1,x2,x3)。当对它进行一次观测 自变量的随机场 。 就得到了它的一个现实z(x)，它是一个普通的三元实值 后，就得到了它的一个现实 ， 函数或空间点函数，即随机函数。 函数或空间点函数，即随机函数。 区域化变量的两重性表现在：观测前把它看成是随机场 区域化变量的两重性表现在： ），观测后把它看成是一个空间 （依赖于坐标(x1,x2,x3)），观测后把它看成是一个空间 点函数（即在具体的坐标上有一个具体的函数值）。 点函数（即在具体的坐标上有一个具体的函数值）。 区域化变量的属性特征：空间局限性、连续性、异向性、 区域化变量的属性特征：空间局限性、连续性、异向性、 受区域范围大小控制的相关性。 受区域范围大小控制的相关性。 区域化变量的分布律： 区域化变量的分布律：
工程数学
克里格（Kriging） 克里格（Kriging）插值
克里格方法也称克里金方法（ 克里格方法也称克里金方法（Kriging），是以 ） 南非矿业工程师D.G.Krige (克里格 名字命名的一 克里格)名字命名的一 南非矿业工程师 克里格 项实用空间估计技术， 地质统计学的重要组成部 项实用空间估计技术，是地质统计学的重要组成部 也是地质统计学的核心。 分，也是地质统计学的核心。 地质统计学由法国巴黎国立高等矿业学院 ．马 地质统计学由法国巴黎国立高等矿业学院G． 由法国巴黎国立高等矿业学院 特隆教授于1962年所创立。主要是为解决矿床储量 年所创立。 特隆教授于 年所创立 计算和误差估计问题而发展起来的，专著《 计算和误差估计问题而发展起来的，专著《应用地质 统计学论》 统计学论》。 1977年由美国福禄尔采矿金属有限公司 年由美国福禄尔采矿金属有限公司 H.M.Parker博士随美中贸易全国委员会矿业代表团 博士随美中贸易全国委员会矿业代表团 来华访问开始传入我国。 来华访问开始传入我国。 工程数学
工程数学
工程数学
（3）经典概率统计学所研究的对象应该是纯随机变量而且 ） 服从已知的概率分布，地质变量并非纯随机变量， 服从已知的概率分布，地质变量并非纯随机变量，它既有 随机性又有结构性（相关特征）； 随机性又有结构性（相关特征）； （4）经典概率统计学在统计观测值的频率并研究其分布律 ） 时要求有足够多的观测值， 时要求有足够多的观测值，而对每一个观测值的空间位置 不予重视， 不予重视，但是在地质研究中不但要考虑观测值的空间位 置，还要考虑这些观测值的空间变异性及所研究的地质变 量的空间分布特征。 量的空间分布特征。 考虑到地质变量的两重性（随机性及结构性）， ），数学地 考虑到地质变量的两重性（随机性及结构性），数学地 质学家结合地质工作的特点， 质学家结合地质工作的特点，提出了地质统计学（geostatistics） ） 或空间信息统计学这个新兴的边缘学科。 或空间信息统计学这个新兴的边缘学科。地质统计学的定 义为： 区域化变量理论为基础 理论为基础， 变异函数为基本工具 为基本工具， 义为：以区域化变量理论为基础，以变异函数为基本工具， 研究那些在空间分布上既具有随机性又具有结构性 空间分布上既具有随机性又具有结构性的自然 研究那些在空间分布上既具有随机性又具有结构性的自然 现象的科学。 现象的科学。 工程数学
有相同的分布律。通俗地说，在一个均匀的矿化带内， 有相同的分布律。通俗地说，在一个均匀的矿化带内，Z(x) 之间的相关性不依赖于它们在矿化带内的特定位置。 与Z(x+h)之间的相关性不依赖于它们在矿化带内的特定位置。 之间的相关性不依赖于它们在矿化带内的特定位置
工程数学
工程数学
工程数学
提出了如下的平稳假设及内蕴假设： 提出了如下的平稳假设及内蕴假设：
{ 随机函数： 随机函数：Z (u ), u ∈ 研究范围} ，其空间分布律不因平移 而改变，即若对任一向量h， 而改变，即若对任一向量 ，关系式
F ( z1 , z2 , ⋅⋅⋅; x1 , ⋅⋅⋅) = F ( z1 , z2 , ⋅⋅⋅; x1 + h, x2 + h, ⋅⋅⋅)
F ( z1 , ⋅⋅⋅, z K ; x1 , ⋅⋅⋅, x K ) = Pr ob{ Z ( x1 ) ≤ z1 , ⋅⋅⋅, Z ( x K ) ≤ z K }
工程数学
工程数学
三、随机变量的典型特征值复习
（1）数学期望 ） 数学期望（平均值）是随机变量 的整体代表性特征数 的整体代表性特征数。 数学期望（平均值）是随机变量ξ的整体代表性特征数。 ①设离散型随机变量ξ的所有可能取值为 x1，x2，…，其相 离散型随机变量 的所有可能取值为 ， 应的概率为