第三章 协方差传播率

第三章 协方差传播律

一、 公式汇编

广义传播律

T YY XX T ZZ XX T YZ XX D FD F D KD K D FD K ⎫=⎪=⎬⎪=⎭220022

002200()()()T YY XX T ZZ XX YZ XX Q F Q F Q K Q K Q F Q K σσσσσσ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭T YY XX T ZZ XX YZ XX Q FQ F Q KQ K Q FQ K ⎫

=⎪⇒=⎬⎪=⎭

独立观测值权倒数

2

22

1122

1111

Z n n

f f f P L P L P L P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪

⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

方差与协因数阵

202020XX XX YY YY XY XY

D Q D Q D Q σσσ===22022

020i ii

j jj ji ij

Q Q Q σσσσσσ===

221

00XX XX XX D Q P σσ-==

权

202i i

p σσ=

二、 解题指南

1.观测值及其方差阵 写成向量、矩阵形式

,XX X D

2 按要求写出函数式，对函数式求全微分，写成矩阵形式 函数式

),,2,1(),,,,(21n i X X X f Z n i i ==

全微分

写成矩阵形式：

dZ KdX =

3应用协方差传播律求方差或协方差阵。

T ZZ XX D KD K =

三、 例题讲解

在三角形ABC 中观测三个内角 ，将闭合差平均分配后得到各角值及其方差阵为：

1

23ˆ4010'30"ˆˆ5005'20"ˆ8944'10"L L L L ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎢⎥⎣⎦ ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 解：1.观测量 及其方差

123ˆˆˆˆL L L L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦ ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 2.写出函数式

12

03

3

ˆˆsin sin ˆˆsin sin a b L L S S S S L

L

==

线性化

013

2

3

ˆˆln ln ln sin ln sin ˆˆln ln ln sin ln sin a b

S S L L S S L

L =+-=+-

1133

2

2

3

3

ˆˆˆˆcot cot ˆˆˆˆcot cot a a a b

b

b

dS S L dL S L dL dS S L dL S L dL

=-=-

1

2

3

ˆˆˆ,,L

L L 已知边长S0=1500.000m,求Sa 、Sb 的长度及他们的协方差阵 Dss

写成矩阵形式

11

332

33ˆˆˆcot 0cot ˆˆˆ0cot cot ˆa a a b b b dL

dS S L S L dS dL dS S L S L dL ⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣

⎦

1

313

2

33ˆˆcot cot ˆ0ˆˆˆcot cot ˆ0a a a b b b S L S L dL dS dS dL dS S L S L dL ρρρ

ρ⎡⎤⎡⎤-⎢

⎥⎢⎥⎡⎤

⎢

⎥==⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

⎢⎥⎣

⎦133ˆ1146041ˆˆ09625ˆdL dL KdL dL ρ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦

3.应用协方差传播律求方差或协方差阵

263311460114604136309620962533645Dss ρ--⎡⎤⎡⎤

-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢

⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦

2

1.860.770.77 1.32Dss cm -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

四、练习题

1. 已知观测值1L ，2L 的中误差12σσσ==，120σ=，设11225,2X L Y L L =+=-，

12Z L L =。试求X ，Y ，Z 的中误差。

2. 设有不等精度的独立观测值1L 、2L 及3L ，他们的中误差分别为1σ、2σ及3σ，试求

下列各函数的中误差。

1)、1110F k L L =+ （10,k L 为常数）

2)、23213F L L =-

3)、231231()2

F L L L =+-

3. 设有观测向量[]1

2

331

T L L L L =，其协方差阵为400030002LL D ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

分别求下列函数的

的方差：（1）1133F L L =-；（2）2233F L L =

4. 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高

程中误差不大于5cm ，问可以设多少站？

5. 有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？

6. 已知观测值向量21

L 的权阵为5224LL P -⎡⎤

=⎢

⎥

-⎣⎦

，试求观测值的权1L P 和2L P 7. 在某一个三角形中，各个角的中误差分别是4''±、3''±、2''±。求此三角形闭合差的

中误差。

8. 已知一组观测值321,,L L L ，其方差阵是I D LL =⨯3

3，有函数∑==

3

1

i i

i L

a x 、∑==

3

1

i i

i L

b y 。

求向量⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=y x Z 的方差阵。

9.

已知随机向量13⨯L 的自协方差阵是⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=210130004LL

D

。求函数向量⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=3221L L L Z 的方差阵。

10. 对一个梯形的上底、下底和高分别观测了n 次，一次测量的中误差分别为：σ上、σ下、

σ高，梯形面积的平均值由A =（上底＋下底）×高÷2 决定，试求该平均值的中误差A

σ的计算表达式。

11. 已知观测值向量L ，其协因数阵为单位阵。有如下方程：

L BX V -=， 0=-L B BX B T T ，

L B B B X T T 1)(-=，V L L

+=ˆ 式中：B 为已知的系数阵，B B T

为可逆矩阵。 求（1）协因数阵XX Q 、

L L Q ˆˆ；（2）证明V 与X 和L

ˆ均互不相关。